新教材高中人教B版數(shù)學(xué)選擇性學(xué)案第3章3-1-1第2課時基本計數(shù)原理的應(yīng)用

第2課時基本計數(shù)原理的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．熟練應(yīng)用兩個計數(shù)原理．(重點)2．能運用兩個計數(shù)原理解決一些綜合性的問題．(難點)1．借助兩個計數(shù)原理解題，提升數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．2．通過合理分類或分步解決問題，提升邏輯推理的素養(yǎng)．類型1組數(shù)問題【例1】(對接教材P6例2)用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的：(1)銀行存折的四位密碼？(2)四位整數(shù)？(3)比2000大的四位偶數(shù)？[思路點撥](1)用分步乘法計數(shù)原理求解(1)問；(2)0不能作首位，優(yōu)先排首位，用分步乘法計數(shù)原理求解；(3)可以按末位是0,2,4分三類，也可以按千位是2,3,4,5分四類解決，也可以用間接法求解．[解](1)分步解決．第一步：選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有6種選取方法；第二步：選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步：選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第四步：選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有3種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理知，可組成不同的四位密碼共有6×5×4×3＝360(個)．(2)分步解決．第一步：萬位數(shù)字有5種選取方法；第二步：百位數(shù)字有5種選取方法；第三步：十位數(shù)字有4種選取方法；第四步：個位數(shù)字有3種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理知，可組成四位整數(shù)有5×5×4×3＝300(個)．(3)法一：按末位是0,2,4分為三類：第一類：末位是0的有4×4×3＝48個；第二類：末位是2的有3×4×3＝36個；第三類：末位是4的有3×4×3＝36個．則由分類加法計數(shù)原理有N＝48＋36＋36＝120(個)．法二：按千位是2,3,4,5分四類：第一類：千位是2的有2×4×3＝24(個)；第二類：千位是3的有3×4×3＝36(個)；第三類：千位是4的有2×4×3＝24(個)；第四類：千位是5的有3×4×3＝36(個)．則由分類加法計數(shù)原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(個)．法三：用0,1,2,3,4,5可以組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)分兩類：第一類：末位是0的有5×4×3＝60(個)；第二類：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(個)．共有60＋96＝156(個)．其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(個)，所以符合條件的四位偶數(shù)共有156－36＝120(個)．1．對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．2．解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“1”“A．6B．9C．12D．24B[法一：(列舉法)根據(jù)0的位置分類：第一類：0在個位有：2110,1210,1120，共3個．第二類：0在十位有：2101,1201,1102，共3個．第三類：0在百位有：2011,1021,1012，共3個．故共有3＋3＋3＝9個不同的四位數(shù)，故選B．法二：(樹形圖法)如圖，可知這樣的數(shù)共有9個，故選B．]類型2抽取(分配)問題【例2】(1)高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．16種B．18種C．37種D．48種(2)甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)有________種．[思路點撥](1)由于去甲工廠的班級分配情況較多，而其對立面較少，可考慮間接法求解．(2)先讓一人去抽，再讓被抽到賀卡所寫人去抽．(1)C(2)9[(1)高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐有43種不同的分配方案，若三個班都不去工廠甲則有33種不同的分配方案．則滿足條件的不同的分配方案有43－33＝37(種)．故選C．(2)不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，共3種取法，余下來的人，都只有1種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種)．]求解抽取(分配)問題的方法1．當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．2．當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接法：直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？[解]法一：(以小球為研究對象)分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝5×4×3＝60(種)．法二：(以盒子為研究對象)盒子標上序號1,2,3,4,5，分成以下10類：第一類：空盒子標號為(1,2)：選法有3×2×1＝6(種)；第二類：空盒子標號為(1,3)：選法有3×2×1＝6(種)；第三類：空盒子標號為(1,4)：選法有3×2×1＝6(種)；分類還有以下幾種情況：空盒子標號分別為(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10類，每一類都有6種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共有方法數(shù)N＝6＋6＋…＋6＝60(種)．類型3涂色(種植)問題1．用3種不同顏色填涂圖中A，B，C，D四個區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？ABCD[提示]涂A區(qū)有3種涂法，B，C，D區(qū)域各有2種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理將A，B，C，D四個區(qū)域涂色共有3×2×2×2＝24(種)不同方案．2．在上述問題中，若恰好用3種不同顏色涂A，B，C，D四個區(qū)域，那么哪些區(qū)域必同色？把四個區(qū)域涂色，共有多少種不同的涂色方案？[提示]恰用3種不同顏色涂四個區(qū)域，則A，C區(qū)域，或A，D區(qū)域，或B，D區(qū)域必同色．由分類加法計數(shù)原理可得恰用3種不同顏色涂四個區(qū)域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(種)不同的方案．3．在上述問題中，若恰好用2種不同顏色涂完四個區(qū)域，則哪些區(qū)域必同色？共有多少種不同的涂色方案？[提示]若恰好用2種不同顏色涂四個區(qū)域，則A，C區(qū)域必同色，且B，D區(qū)域必同色．先從3種不同顏色中任取兩種顏色，共3種不同的取法，然后用所取的2種顏色涂四個區(qū)域共2種不同的涂法．由分步乘法計數(shù)原理可得恰好用2種不同顏色涂四個區(qū)域共有3×2＝6(種)不同的涂色方案．【例3】將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？1234[思路點撥]注意小方格中第2個和第3個所涂顏色可能相同，也可能不同，故應(yīng)分兩類：所涂顏色相同和不同，分別求解．[解]第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．①當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法．②當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法．由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法．(變條件)本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？①②④③[解]依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色．第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成．第1步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第2步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第3步涂③與第4步涂④時，分別有3種涂法和2種涂法．于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法為5×4×3×2＝120(種)．第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成3步來完成．第1步涂①④，有5種涂法；第2步涂②，有4種涂法；第3步涂③，有3種涂法．于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(種)．綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種)．求解涂色種植問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：1按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；2以顏色種植作物為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；3對于涂色問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.eq\o([跟進訓(xùn)練])3．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？[解](1)當使用4種顏色時，先著色第1區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個區(qū)域，由分步乘法計數(shù)原理得共有4×3×2×2×1＝48(種)．(2)當僅使用3種顏色時，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色第1區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂4個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2,4區(qū)域，另一種顏色涂第3,5區(qū)域，有2種著色方法，由分步乘法計數(shù)原理得有4×3×2＝24(種)．綜上，共有48＋24＝72種不同的著色方法．1．某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有()A．6種B．7種C．8種D．9種D[可按女生人數(shù)分類：若選派一名女生，有2×3＝6種；若選派2名女生，則有3種．由分類加法計數(shù)原理，共有9種不同的選派方法．]2．從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A．30B．20C．10D．6D[從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種取法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種取法．故由分類加法計數(shù)原理得，共有N＝3＋3＝6種取法．]3．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．108[A有4種涂法，B有3種涂法，C有3種涂法，D有3種涂法，共有4×3×3×3＝108(種)涂法．]4．5名班委進行分工，其中A不適合當班長，B只適合當學(xué)習(xí)委員，則不同的分工方案種數(shù)為________．18[根據(jù)題意，B只適合當學(xué)習(xí)委員，有1種情況，A不適合當班長，也不能當學(xué)習(xí)委員，有3種安排方法，剩余的3人擔任剩余的工作，有3×2×1＝6種情況，由分步乘法計數(shù)原理，可得共有1×3×6＝18種分工方案．]5．小張正在玩一款種菜的游戲，他計劃從倉庫里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡蘿卜這5種種子中選出4種分別種植在四塊不同的空地上(一塊空地只能種植一種作物)，若小張已決定在第一塊空地上種茄子或辣椒，則不同的種植方案共有________種．48[當?shù)谝粔K地種茄子時，有4×3×2＝24種不同的種法；當?shù)谝粔K地種辣椒時，有4×3×2＝24種不同的種法，故共有48種不同的種植方案．]回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：1．解決較為復(fù)雜的計數(shù)問題時，如何做到合理分類、準確分步？[提示](1)處理計數(shù)問題，應(yīng)