北京四中2021屆上學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷

北京四中2021屆上學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷

(試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘)、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)1已知全集。=尺，集合A={xl2x<l},6={xlx—2<0},則(。A)PB=( )uA{xIx>2}B{xI0<x<2}C{xI0<x<2}D{x\x<2}2下列命題中的假命題是( )???AXx(RR,sinx=B3xeR,lnx=J2CVxeR,x2>0 dVxeR,2x>03已知向量a={5,m},b={2,-2},若a—b與b共線，則實(shí)數(shù)m=TOC\o"1-5"\h\zA—1 B1 C2 D—54已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=10glx，則f(x)>0的解集是()2A(—1,0)B(0,1)C(-8,-1)U(0,1) D(-1,0)U(0,1).一兀、 兀5將函數(shù)f(x)=sm(2x--)的圖象向左平移丁個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=(6 3Asin(2x+一)Bsin(2x+——) Ccos2x d一cos2x6 36若a,beR，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是( )1 1 2 b a _Aa2+b2>2abBa+b>2%:ab C+> D—+—>2a b abb a b7已知三角形ABC,那么“IA月+ACl>lAB-ACI”是“三角形ABC為銳角三角形”的( )A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件x8聲音的等級(jí)f(x)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度(單位：W/m2)滿足f(x)=10義1g――，噴氣式飛機(jī)起1義10-12飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為140dB；一般說(shuō)話時(shí)，聲音的等級(jí)約為60dB,那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般TOC\o"1-5"\h\z說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度的( )A106倍 B108倍 C1010倍 D1012倍_.. 兀?！?一.一—. ’9函數(shù)y=x-2smx,xe--,—的大致圖象是( )\ax+1,x<0,10已知函數(shù)f(x)=， 八給出下列三個(gè)結(jié)論：[IlnxI,x>0.①當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1)；②若函數(shù)f(x)無(wú)最小值，則a的取值范圍為(0,+8)；③若a<1且a豐0,則3beR，使得函數(shù)y=f(x)-b恰有3個(gè)零點(diǎn)x,x,x，且xxx=-1。1 2 3 123其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)

1112函數(shù)1112函數(shù)y二“；X=2的定義域是3，且sma=5，則cosa=113已知非零向量a,b滿足Ia曰a-bI,則a-5b與b的夾角等于13直線l的方程為14圓x2+y2-ax+2=0與直線l相切于點(diǎn)4直線l的方程為15關(guān)于的方程g(x)=t(teR)的實(shí)根個(gè)數(shù)記為f(t)。若g(x)=Inx，則f(t)=；x,x<0,若g(x)=〈 c 3。eR),存在t使得f(t+2)>f(t)成立，則|a的取值范圍是—x2+2ax+a,x>0,(ID用。”d(M)表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù)，求C”汨(XAA)+C“汨(XA好的最小值;(III)有多少個(gè)集合對(duì)(RQ),滿足尸，。之AU8,M(PAA)A(2AB)=AAB一1 ,一、:3 ..(II)在^ABC中，,「一1 ,一、:3 ..(II)在^ABC中，,「cosB———,sinB— ,由正弦定理有：11?：b>c,「.B>C,/.C為銳角，.二cosC——,144V;3「.sin(B—C)=sinBcosC—cosBsinC=7。sinCsinB'...sinC—空1417解：(I)由f(x)=x3—x，得尸(x)=3x2—1, 1分所以f'(1)=2，又f(1)=0 2分所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為：y—0=2(x—1),即：2x—y—2=0。 3分(0走亭)f(x)0十f(x)\極小值/(II)令f心)=0,得x=土^3, 4分f(x)與f'(x)在區(qū)間［0,2］的情況如下:6分【試題答案】、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，題號(hào)12345678910答案BADCCDBBDC、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分題號(hào)1112131415答案[2,+8)-4,-7兀2<12,x+y—4=01,(1,+8)三、解答題(本大題共6小題，共85分)116解：(I),/a=3,b—c=2,cosB———,?,.由余弦定理b2—a2+c2—2accosB,21二.b—7,「.c—b—2=5；因?yàn)閒(0)=0,f(2)=6,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為6。 8分(III)證明：設(shè)h(x)=f(x)—g(x)=x3—3x+3,則h'(x)=3x2—3=3(x—1)(x+1), 9分令h'(x)=0,得x=士1。h(x)與h'(x)隨的變化情況如下：(—8,—1)一1(—1,1)1(1,+8)h'(x)十00十h(x)/極大值\極小值/則h(x)的增區(qū)間為(—8,—1),(1,+8),減區(qū)間為(—1,1)。 11分又h(1)=1>0,h(—1)>h(1)>0，所以函數(shù)h(x)在(—1,+8)沒(méi)有零點(diǎn)，又h(—3)——15<0,所以函數(shù)h(x)在(-8,-1)上有唯一零點(diǎn)x0。

TOC\o"1-5"\h\z綜上，在(一8,+8)上存在唯一的X，使得f(X)=g(X)。 14分0 0 018解：(I)f(0)=2cos20+sin0=2。(II)選擇條件①，f(X)的一個(gè)周期為兀,f(x)=2cos2x+sin2x=(cos2x+1)+sin2x=<2(-^-?-sin2x+ cos2x)+1=、氏sin(2x+—)+1。2 2 4因?yàn)閤G[——,—],所以2x+—G[—3—，7—],所以-1<sin(2x+—)<1,所以1-姮<f(X)<1+&,26 4 412 4- — — 3— 「——、當(dāng)2X+ =——時(shí)，即X=———時(shí)，f(X)在[——,—]取得最小值1—V2。4 2 8 26選擇條件②，f(x)的一個(gè)周期為2—,1、 17f(x)=2cos2x+sinx=2(1-sin2x)+sinx=-2(sinx——)2+一,4 8—— . 1因?yàn)閄G[—-,—],所以sinXG[—1,-],26 2. 一 兀 7171所以，當(dāng)sinX=—1時(shí)，即X=--時(shí)，f(X)在［—-,-］取得最小值一1。2 2619解：f'(x)=cosx—(cosx-xsinx)=xsinx(I)fg=0(II)令g(X)=f(X)—3X3，則g'(x)=xsinx—x2=x(sinx—x), 5分71 ,當(dāng)xg(0,—)時(shí)，設(shè)t(x)=sinx—x，則t(x)=cosx—1<0271所以t(X)在xG(0,—)單調(diào)遞減，t(X)=sinX—X<t(0)=02TOC\o"1-5"\h\z即sinx<x，所以g'(X)<0 7分，、.，c兀、一 ，、 ，c、 c所以g(x)在(0,-)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)=0,1所以f(X)<3X3。 9分? , 71(III)原題等價(jià)于sinx>kx對(duì)xg(0,)恒成立，.sinx ——、.即k<對(duì)Xg(0,彳)恒成立， 10分X 2*、sinx xcosx—sinx f(x)令h(x)二——，則h'(x)= 二_。X X2 X2. ?71易知f(x)=xsinx>0，即f(x)在(0,-)單調(diào)遞增，所以f(X)>f(0)=0，所以h'(X)<0,故h(X)在(0,—)單調(diào)遞減，所以k<h(—)——。綜上所述，的最大值為2。20解：(I)依題意，直線l的斜率存在，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(—2,0),可設(shè)直線l:y—k(x+2),8分8分12分14分15分1分1 1 1X2+y2—1|OP|=|OQ|=1OP-OQ——-OP-OQ—IOPI?lOQI-cos/POQ——-l—2< 2< 2<

k=±巫15x-<15y+2=0x+<15y+2=0P/”,Qk=±巫15x-<15y+2=0x+<15y+2=0P/”,Q(x2,y2)MQ=(x+2,y),MP=(x+2,y)<x+2=2(x+2)21y=2y21x=2(x+1)Ix2+y2=1

2 1 1 1x2+y2=1114(x+1)2+4y2=1y1=±78,<15lk=k=±MPP與^OPQ的面積相等，所以MQ=2MP設(shè)P(x,y),Q(x,y),1 1 2 2所以x+2=2(x+2)所以MQ=(x+2,y),MP=(x+2,y),2 2 1 1即2x—x=-2 ①；12消去y得(k2+1)x2+4k2x+(4k2-1)=0,9分由韋達(dá)定理知x1+x由①②可知，x1=-x-x126k2-2帶入③得36k4-43(k2+1)4k2-13(k2+1)，12分9(k2+1)2 k2+1，所以k=±14分21解：(I)f(1)=1,f(1)=-1,AAB={1,6,10,16]。(II)根據(jù)題意可知：對(duì)于集合C,X,①若aeC且aeX，則Card(CA(XU{a}))=Card(II)根據(jù)題意可知：對(duì)于集合C,X,①若ae②若aeC且aeX，則Card(CA(XU｛a｝))=Card(CAX)+1,所以，要使Card(XAA)+Card(XAB)的值最小，2,4,8一定屬于集合X:1,6,10,16是否屬于X不影響Card(XAA)+Card(XAB)的值；集合X不能含有AUB之外的元素。所以，當(dāng)X為｛1,6,10,16］的子集｛2,4,8｝的并集時(shí)，Card(XAA)+Card(XAB)取到最小值4。所以，8分(III)因?yàn)锳AB={xIf(x)?f(x)=-1],A B所以AAB=BAA,由定義可知：f(x)=f(x)?f(x),AAB A B所以，對(duì)任意元素，f(x)=f(x)?f(x)=f(x)?f(x)?f(x),(AAB)AC AAB C ABCf (x)=f(x)?f(x)=f(x)?f(x)?f(x)。AA(BAC) A BAC ABC所以f (x)=f (x),(AAB)AC AA(BAC)所以(AAB)AC=AA(BAC),由(PAA)A(QAB)=AAB知：(PAQ)A(AAB)=AAB,所以(PAQ)A(AAB)A(AAB)=(AAB)A(AAB),所以PAQA0=0。所以PAQ=0，即P=Q。因?yàn)镻,QcAUB,所以，滿足題意的集合對(duì)(P,Q)的個(gè)數(shù)為27=128。 14分三、解答題(本大題共6小題，共85分)16(本小題滿分14分)1在^ABC中，a=3,b—c=2,cosB=——。2(I)求b,c的值；(II)求sin(B—C)的值。17(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=x*1234—x,g(x)=2x—3。(I)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線