重慶市第一中學高三下學期5月適應性考試數(shù)學試題

2023年重慶一中高考數(shù)學適應性試卷一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1．（5分）A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{n|n＝2k﹣1，k∈Z}（）A．{1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{﹣5，﹣3，﹣1} D．{﹣5，﹣3，﹣1，1}2．（5分）復數(shù)z＝的共軛復數(shù)表示的點在復平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）⊙O的半徑為2，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，則＝（）A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣84．（5分）《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學家程大位畢生心血的結(jié)晶，載有一些等比數(shù)列的問題．某同學在翻閱《算法統(tǒng)宗》的古印本時，發(fā)現(xiàn)其中一個問題有部分內(nèi)容看不清（如圖1，該問題應從上到下從右到左讀），甲乙丙三個人依次按照公比為的等比數(shù)列來分這些銀子，丙可以看見分到“九十口兩”，其中口均代表一個看不清的漢字．根據(jù)題目提供的有效信息（）兩銀子．A．642 B．652 C．672 D．6825．（5分）體積為36π的球有一個內(nèi)接圓錐，若該圓錐的母線長為，則該圓錐的體積為（）A．16π B．32π C． D．6．（5分）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A與B不相鄰，則共有（）種排法．A．36 B．54 C．72 D．967．（5分）已知⊙O：x2+y2＝10，AB為⊙O的弦，且|AB|＝6，P為直線3x+4y+10＝0上一點，則線段MP的（）A．最小值為1 B．最小值為2 C．最大值為2 D．最大值為38．（5分）重慶一中圖書館一間閱讀室的天花板呈現(xiàn)了美妙的曲線（如圖1）．這樣的曲線可以通過多個三角函數(shù)“疊加“而來，圖2為函數(shù)f（x）（0＜ω＜7）的部分圖象，則f（x）（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目（多選）9．（5分）下列說法正確的有（）α＝P（x2＞xα）xαA．頻率分布直方圖中各組小長方形的面積等于相應各組的頻率 B．隨機變量ξ～N（1，4），因為P（ξ＜﹣3）+P（ξ＜5）＝1，故事件“ξ＜﹣3”與事件“ξ＜5”互為對立事件 C．若根據(jù)分類變量X和Y的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到的χ2＝6，因為6＜6.635，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，沒有99%的把握認為X和Y相關 D．經(jīng)驗回歸方程＝2x+4.2，若＝3.4，則＝11（多選）10．（5分）已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的實軸長為2，右焦點為F，若D（2，1）（）A．雙曲線E的離心率為 B．雙曲線E的兩條漸近線的夾角為60° C．過點D且與雙曲線E共漸近線的雙曲線方程為 D．若P為雙曲線E上動點，則PF+PD的最小值為（多選）11．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x，y∈R（x+y）＝f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞﹣1（1）＝1，則下列說法正確的有（）A．f（0）＝0 B．f（x）關于（1，1）對稱 C．f（x）在R上單調(diào)遞增 D．f（1）+f（2）+…+f（2023）＝20232（多選）12．（5分）如圖，已知圓柱體OO1的軸截面ABB1A1是邊長等于2的正方形，C為圓柱底面圓上不同于A，B的一點1C（不含端點）上的動點，則下列說法正確的有（）A．AD⊥BA1 B．若C為弧AB的中點，則異面直線AC與A1B所成角為 C．沿著圓柱表面從點A到點B1的最短路徑長度為 D．若VA1﹣ABC＝2VA1﹣ABD，當VA1﹣ABC最大時，CD與平面ABD所成角的正弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分：13．（5分）已知兩條直線ax+2y+4＝0與3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，則a＝．14．（5分）已知，則sin2x＝．15．（5分）已知y＝ex+1+x與y＝ex+x+2有一條公切線，則該公切線的斜率為．16．（5分）我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，如1234（10）＝1×103+2×102+3×101+4×100，表示十進制的數(shù)要用0～9這10個數(shù)字，而電子計算機用的數(shù)是二進制數(shù)，只需0和1兩個數(shù)字（10）＝0×20＝0（2），1（10）＝1×20＝1（2），2（10）＝1×21＝10（2），3（10）＝1×21+1×20＝11（2），4（10）＝1×22＝100（2），7（10）＝1×22+1×21+1×20＝111（2）（下標中的（10）和（2）表示該數(shù)是十進制數(shù)還是二進制數(shù)）．在二進制下，用若干個寫有0或1的數(shù)牌表示前M個自然數(shù)中的任意一個數(shù)，定義所需準備的最少數(shù)牌個數(shù)為f2（M）．如上例，在二進制下，用數(shù)牌表示前4個自然數(shù)（即0，1，2，3），至少需要準備1個寫有0的數(shù)牌和2個寫有1的數(shù)牌，故f2（4）＝1+2＝3，同理f2（5）＝2+2＝4．則f2（16）＝，若f2（M）＝12，則M的最小值為.（用十進制數(shù)表示）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝2，{}是公差為的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn．18．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABEF為正方形，AD∥BC，AD⊥DC，P是棱DF上的一點且滿足．（1）求證：PC∥平面ABEF；（2）求平面DEF和平面ADF夾角的余弦值．19．（12分）ChatGPT是由人工智能研究實驗室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機器人模型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話，ChatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習），如果輸入的問題沒有語法錯誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，ChatGPT的回答被采納的概率為50%．（1）在某次測試中輸入了8個問題，ChatGPT的回答有5個被采納．現(xiàn)從這8個問題中抽取3個，以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%，（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯誤的概率．20．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＝sin2B（1）求證：a2﹣b2＝bc；（2）若b+c＝a，且△ABC的外接圓半徑為，求△ABC的面積．21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸上滑動，點B在y軸上滑動，且點P的軌跡為曲線C．（1）求點P的軌跡方程；（2）曲線C與x軸負半軸交于點T，過點T的直線TM，TN分別與曲線C交于M，直線TM，TN的斜率分別為kTM，kTN，且kTM?kTN＝﹣，求證：直線MN過定點，并求△TMN面積的最大值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xex+ax2+ax﹣1．（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)F（x）＝2f（x）﹣ax2﹣（4a+1）x﹣2lnx恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．2023年重慶一中高考數(shù)學適應性試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1．（5分）A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{n|n＝2k﹣1，k∈Z}（）A．{1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{﹣5，﹣3，﹣1} D．{﹣5，﹣3，﹣1，1}【答案】B【分析】由已知結(jié)合集合交集運算即可求解．【解答】解：因為A＝{x|x2﹣5x﹣8≤0}＝[﹣1，5]，故A∩B＝{﹣1，1，8，5}．故選：B．【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎題．2．（5分）復數(shù)z＝的共軛復數(shù)表示的點在復平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，化簡復數(shù)然后求出共軛復數(shù)的坐標即可．【解答】解：復數(shù)z＝＝＝＝．＝，對應點的坐標（．故選：D．【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的幾何意義，考查計算能力．3．（5分）⊙O的半徑為2，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，則＝（）A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8【答案】B【分析】由正弦定理可求得AB，由平面幾何性質(zhì)知，再由平面向量的數(shù)量積計算即可．【解答】解：由正弦定理，由題易知，故＝＝﹣6．故選：B．【點評】本題考查正弦定理和平面向量的數(shù)量積，屬于基礎題．4．（5分）《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學家程大位畢生心血的結(jié)晶，載有一些等比數(shù)列的問題．某同學在翻閱《算法統(tǒng)宗》的古印本時，發(fā)現(xiàn)其中一個問題有部分內(nèi)容看不清（如圖1，該問題應從上到下從右到左讀），甲乙丙三個人依次按照公比為的等比數(shù)列來分這些銀子，丙可以看見分到“九十口兩”，其中口均代表一個看不清的漢字．根據(jù)題目提供的有效信息（）兩銀子．A．642 B．652 C．672 D．682【答案】C【分析】設丙分配到了90+x（1≤x≤9，x∈N*）兩，利用等比數(shù)列性質(zhì)列方程，結(jié)合總的銀子的個位數(shù)為2，能求出結(jié)果．【解答】解：設丙分配到了90+x（1≤x≤9，x∈N*）兩，甲乙丙三個人依次按照公比為的等比數(shù)列來分這些銀子，則由等比數(shù)列的性質(zhì)得：共有銀子兩，又總的銀子的個位數(shù)為2，故只能取x＝5，從而共有銀子672兩．故選：C．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及應用等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5．（5分）體積為36π的球有一個內(nèi)接圓錐，若該圓錐的母線長為，則該圓錐的體積為（）A．16π B．32π C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出球的半徑，作出圓錐和球的軸截面，設圓錐的底面半徑為r，高為h，分析可得關于r、h的方程，求出r、h的值，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，球的體積為36π，則有＝36π，如圖：作圓錐和球的軸截面，設圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的母線長為，球的半徑R＝6，則有，解可得h＝2；故圓錐的體積V＝πr2h＝．故選：C．【點評】本題考查圓錐的體積計算，涉及圓錐與球的關系，屬于基礎題．6．（5分）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A與B不相鄰，則共有（）種排法．A．36 B．54 C．72 D．96【答案】A【分析】利用間接法，結(jié)合插空法求解．【解答】解：利用間接法，僅考慮C排在A后面的情況，然后BDE插空，其中AB相鄰的有×5×4＝24種（將AB捆綁，有種，故C排在A后面且AB不相鄰的有60﹣24＝36種．故選：A．【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題．7．（5分）已知⊙O：x2+y2＝10，AB為⊙O的弦，且|AB|＝6，P為直線3x+4y+10＝0上一點，則線段MP的（）A．最小值為1 B．最小值為2 C．最大值為2 D．最大值為3【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點到直線的距離公式，以及垂徑定理，即可求解．【解答】解：⊙O：x2+y2＝10，AB為⊙O的弦，則圓O的半徑r5＝5，故，故點M的軌跡是以O為圓心，則MP≥OP﹣OM≥d．故選：A．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題．8．（5分）重慶一中圖書館一間閱讀室的天花板呈現(xiàn)了美妙的曲線（如圖1）．這樣的曲線可以通過多個三角函數(shù)“疊加“而來，圖2為函數(shù)f（x）（0＜ω＜7）的部分圖象，則f（x）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象利用f（）＝0，求出ω＝3，利用兩角和差的三角公式進行化簡，利用換元法進行換元，然后求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可．【解答】解：由圖2知f（）＝sinω＝0，即sinω＝﹣1，則ω＝﹣，k∈Z，即ω＝﹣1+4k，∵8＜ω＜7，∴當k＝1時ω＝8，故f（x）＝sinx+sin3x＝sinx+sinxcos2x+cosxsin3x＝sinx+sinx（1﹣2sin5x）+2cos2xsinx＝sinx+sinx（4﹣2sin2x）+2（2﹣sin2x）sinx＝4sinx﹣4sin3x，令t＝sinx（t∈[﹣1，7]）3，故y′＝4﹣12t8，由y′＝4﹣12t2，函數(shù)y＝4t﹣8r3為增函數(shù)，由4﹣12t7＜0，得＜t≤1或﹣1≤t＜﹣時3為減函數(shù)，則當時，此時函數(shù)取得極大值，當t＝﹣1時，y＝2，故所求最大值為．故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，最值和導數(shù)的關系進行求解是解決本題的關鍵，是中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目（多選）9．（5分）下列說法正確的有（）α＝P（x2＞xα）xαA．頻率分布直方圖中各組小長方形的面積等于相應各組的頻率 B．隨機變量ξ～N（1，4），因為P（ξ＜﹣3）+P（ξ＜5）＝1，故事件“ξ＜﹣3”與事件“ξ＜5”互為對立事件 C．若根據(jù)分類變量X和Y的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到的χ2＝6，因為6＜6.635，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，沒有99%的把握認為X和Y相關 D．經(jīng)驗回歸方程＝2x+4.2，若＝3.4，則＝11【答案】ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖、對立事件、獨立性檢驗相關知識可解．【解答】解：對于A，根據(jù)頻率分布直方圖相關性質(zhì)知A正確；對于B，概率和為1并不能說明兩個事件是對立事件；對于C，由獨立性檢驗思想的定義知C正確；對于D，回歸直線必過數(shù)據(jù)中心點．故選：ACD．【點評】本題考查頻率分布直方圖相關知識，屬于基礎題．（多選）10．（5分）已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的實軸長為2，右焦點為F，若D（2，1）（）A．雙曲線E的離心率為 B．雙曲線E的兩條漸近線的夾角為60° C．過點D且與雙曲線E共漸近線的雙曲線方程為 D．若P為雙曲線E上動點，則PF+PD的最小值為【答案】AC【分析】由已知求解a，b，c的值，進一步分析判斷A與B；利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程判斷C；結(jié)合雙曲線的定義求最值判斷D．【解答】解：由已知可得，，c＝2．∴e＝，故A正確；雙曲線E的兩條漸近線方程為y＝±x，兩漸近線的夾角為90°；E：，設與E共漸近線的雙曲線方程設為x4﹣y2＝λ（λ≠0），代入D點坐標，得λ＝5，故C正確；若P在雙曲線右支上，設雙曲線左焦點為F3（﹣2，0），由雙曲線的定義：，得|PF|+|PD|＝|PD|+≥，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，訓練了雙曲線中最值的求法，考查運算求解能力，是中檔題．（多選）11．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x，y∈R（x+y）＝f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞﹣1（1）＝1，則下列說法正確的有（）A．f（0）＝0 B．f（x）關于（1，1）對稱 C．f（x）在R上單調(diào)遞增 D．f（1）+f（2）+…+f（2023）＝20232【答案】BCD【分析】利用賦值法可求得f（0），即可判斷A；利用賦值法求出f（2）＝3，令y＝2﹣x，可得f（x）+f（2﹣x）＝2，即可判斷B；利用單調(diào)性的定義即可判斷C；令x＝n，y＝1，可得f（n）﹣f（n﹣1）＝2，利用累加法可得f（n）＝2，計算即可判斷D．【解答】解：對于A，令x＝y(tǒng)＝0，可得f（0）＝﹣1；對于B，令x＝y(tǒng)＝7，令y＝2﹣x，則f（2）＝f（x）+f（2﹣x）+3?f（x）+f（2﹣x）＝2，故B對；對于C，設x6＞x2，則f（x1）＝f（x4﹣x2+x2）＝f（x8﹣x2）+f（x2）+8?f（x1）﹣f（x2）＝f（x3﹣x2）+1，因為x3﹣x2＞0，故f（x6﹣x2）＞﹣1，故f（x3）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）+1＞0，故f（x）在R上單調(diào)遞增；對于D，x＝n，故f（n）＝f（n﹣8）+f（1）+1?f（n）﹣f（n﹣1）＝5，所以f（n）＝f（n）﹣f（n﹣1）+f（n﹣1）﹣f（n﹣5）+…+f（2）﹣f（1）+f（1）＝2n﹣1，故，故D對．故選：BCD．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）12．（5分）如圖，已知圓柱體OO1的軸截面ABB1A1是邊長等于2的正方形，C為圓柱底面圓上不同于A，B的一點1C（不含端點）上的動點，則下列說法正確的有（）A．AD⊥BA1 B．若C為弧AB的中點，則異面直線AC與A1B所成角為 C．沿著圓柱表面從點A到點B1的最短路徑長度為 D．若VA1﹣ABC＝2VA1﹣ABD，當VA1﹣ABC最大時，CD與平面ABD所成角的正弦值為【答案】CD【分析】選項A，易證BC⊥平面A1AC，從而知AD⊥BC，采用反證法，假設選項所給結(jié)論正確，推出AD⊥平面A1BC，有AD⊥A1C，這與點D是線段A1C（不含端點）上的動點相矛盾；選項B，取弧AB的另一個中點E，連接BE，A1E，可知∠A1BE或其補角即為所求，再結(jié)合勾股定理與三角函數(shù)，求解即可；選項C，計算半圓柱的側(cè)面展開圖的對角線即可；選項D，通過已知條件，推出D為A1C的中點，點C是弧AB的中點，再利用等體積法求得點C到平面ABD的距離d，然后計算的值，即可．【解答】解：選項A，因為點C是圓O上一點，由圓柱的性質(zhì)知，AA1⊥平面ABC，因為BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，又AC∩AA7＝A，AC1?平面A1AC，所以BC⊥平面A4AC，而AD?平面A1AC，所以AD⊥BC，若AD⊥BA1，由于BC∩BA4＝B，BC1?平面A1BC，則AD⊥平面A6BC，因為A1C?平面A1BC，所以AD⊥A3C，這與點D是線段A1C（不含端點）上的動點相矛盾，即選項A錯誤；選項B，取弧AB的另一個中點E，A1E，則AC＝BC＝BE＝AE，所以四邊形ACBE是菱形，所以AC∥BE，故∠A7BE或其補角為異面直線AC與A1B所成角，由選項A可知BC⊥平面A1AC，由圓柱的對稱性知，BE⊥平面A6AE，因為A1E?平面A1AE，所以BE⊥A2E，在Rt△A1BE中，A1B＝2，BE＝4BE＝＝，所以∠A1BE＝，即選項B錯誤；選項C，考慮半圓柱的側(cè)面展開圖是長為π，此時對角線即為所求最短路徑，為＝；選項D，若VA1﹣ABC＝2VA1﹣ABD，則，所以D為A1C的中點，當VA7﹣ABC最大時，底面△ABC的面積最大，即△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝，所以AD＝CD＝A1C＝＝，BD＝＝，在△ABD中，由余弦定理得＝＝，所以sin∠ADB＝＝，所以＝×××＝，設點C到平面ABD的距離為d，由VC﹣ABD＝VD﹣ABC知，d?S△ABD＝A1A?S△ABC，所以d?＝?6?，即d＝，所以CD與平面ABD所成角的正弦值為＝＝，即選項D正確．故選：CD．【點評】本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，異面直線夾角和線面角的求法，等體積法是解題的關鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運算能力，屬于難題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分：13．（5分）已知兩條直線ax+2y+4＝0與3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，則a＝3．【答案】3．【分析】利用直線與直線平行的性質(zhì)直接求解．【解答】解：兩條直線ax+2y+4＝4與3x+（a﹣1）y﹣8＝0平行，由直線平行得a（a﹣1）﹣2×3＝0，解得a＝8或﹣2，經(jīng)檢驗，a＝﹣2時直線重合，故a＝2．故答案為：3．【點評】本題考查直線與直線平行的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．14．（5分）已知，則sin2x＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由誘導公式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡所求，結(jié)合已知即可計算求值．【解答】解：∵，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查了誘導公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．15．（5分）已知y＝ex+1+x與y＝ex+x+2有一條公切線，則該公切線的斜率為3．【答案】3．【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義及斜率公式，方程思想，即可求解．【解答】解：設公切線與y＝ex+1+x和y＝ex+x+2的切點分別為（x2，y1），（x2，y7），則+x，，又y＝ex+1+x與y＝ex+x+6的導數(shù)分別為y′＝ex+1+1與y′＝ex+8，∴公切線的斜率k＝＝＝，∴x1+1＝x5，∴x1﹣x2＝﹣8，∴＝﹣8，∴k＝＝＝3，即公切線斜率為3．故答案為：7．【點評】本題考查兩函數(shù)的公切線問題，導數(shù)的幾何意義及斜率公式的應用，方程思想，屬中檔題．16．（5分）我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，如1234（10）＝1×103+2×102+3×101+4×100，表示十進制的數(shù)要用0～9這10個數(shù)字，而電子計算機用的數(shù)是二進制數(shù)，只需0和1兩個數(shù)字（10）＝0×20＝0（2），1（10）＝1×20＝1（2），2（10）＝1×21＝10（2），3（10）＝1×21+1×20＝11（2），4（10）＝1×22＝100（2），7（10）＝1×22+1×21+1×20＝111（2）（下標中的（10）和（2）表示該數(shù)是十進制數(shù)還是二進制數(shù)）．在二進制下，用若干個寫有0或1的數(shù)牌表示前M個自然數(shù)中的任意一個數(shù)，定義所需準備的最少數(shù)牌個數(shù)為f2（M）．如上例，在二進制下，用數(shù)牌表示前4個自然數(shù)（即0，1，2，3），至少需要準備1個寫有0的數(shù)牌和2個寫有1的數(shù)牌，故f2（4）＝1+2＝3，同理f2（5）＝2+2＝4．則f2（16）＝7，若f2（M）＝12，則M的最小值為65.（用十進制數(shù)表示）【答案】7；65．【分析】根據(jù)二進制的定義求解．【解答】解：因為是最大的2位二進制數(shù)，故至少需要4個1，又因為所有4位以內(nèi)的二進制數(shù)至多含有3個0（如409＝1000a），故至少需要3個0，故f2（16）＝3+4＝3，由題易知，f2（M）一定是不減的，即隨著M增大，f2（M）不會減少，且f7（M）用到的0和1個數(shù)要么相等，要么5比0多一個，因為f2（M）＝12，故需要6個0和6個8，又因為表示最大的六位二進制數(shù)+1×28+1×28+1×28+1×25＝26﹣5＝6300需要6個1，而所有六位以內(nèi)的二進制數(shù)至多有2個0，所以f2（64）＝8+6＝11，又因為最小的七位二進制數(shù)，有3個0，所以f2（65）＝5+6＝12，由f2（M）的不減性知，使得f7（M）＝12成立M的最小值等于65．故答案為：7；65．【點評】本題主要考查了二進制的定義，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝2，{}是公差為的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn．【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝（﹣﹣）．【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的通項與前n項和的關系求得＝，再由數(shù)列的恒等式可得所求通項公式；（2）求得bn＝＝（﹣），再由數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和．【解答】解：（1）由a1＝2，{}是公差為，可得＝，即Sn＝an，故，兩式相減得an+6＝an+4﹣an，即＝，即an＝a1???...??...?；（2）令bn＝＝＝（﹣），則Tn＝（3﹣+﹣+﹣﹣+﹣）＝（﹣﹣）．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列恒等式的運用，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想、運算能力，屬于中檔題．18．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABEF為正方形，AD∥BC，AD⊥DC，P是棱DF上的一點且滿足．（1）求證：PC∥平面ABEF；（2）求平面DEF和平面ADF夾角的余弦值．【答案】（1）證明過程請看解答；（2）．【分析】（1）取AD的靠近點A的三等分點Q，連接PQ，CQ，分別證明PQ∥AF，CQ∥AB，從而知平面PCQ∥平面ABEF，再由面面平行的性質(zhì)定理，得證；（2）以點C為坐標原點建立空間直角坐標系，求得平面DEF和平面ADF的法向量與，再由空間向量的夾角公式，得解．【解答】（1）證明：取AD的靠近點A的三等分點Q，連接PQ，因為，所以PQ∥AF，因為PQ?平面ABEF，AF?平面ABEF，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，所以AQ∥BC，AQ＝8＝BC，所以CQ∥AB，又CQ?平面ABEF，AB?平面ABEF，因為PQ∩CQ＝Q，PQ，所以平面PCQ∥平面ABEF，又PC?平面PCQ，所以PC∥平面ABEF．（2）解：因為四邊形ABEF為正方形，所以BE⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，以點C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（6，2，8），2，0），5，2），F(xiàn)（2，2，2），所以＝（2，2），＝（6，0，6），，0，2），設平面DEF的法向量為＝（x1，y1，z3），則，即，令x1＝，則y1＝﹣2，z1＝﹣3，所以，﹣2，設平面ADF的法向量為＝（x8，y2，z2），則，即，令y2＝6，則x2＝z2＝4，所以，1，0），所以|cos＜，＞|＝＝＝，故平面DEF和平面ADF夾角的余弦值為．【點評】本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面、面面平行的判定定理，利用空間向量求平面與平面夾角的方法是解題的關鍵，考查空間立體感，推理論證能力和運算能力，屬于中檔題．19．（12分）ChatGPT是由人工智能研究實驗室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機器人模型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話，ChatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習），如果輸入的問題沒有語法錯誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，ChatGPT的回答被采納的概率為50%．（1）在某次測試中輸入了8個問題，ChatGPT的回答有5個被采納．現(xiàn)從這8個問題中抽取3個，以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%，（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯誤的概率．【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學期望為；（2）（i）概率為0.815；（ii）概率為．【分析】（1）由題意，得到ξ的所有取值，求出相對應的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；（2）（i）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“ChatGPT的回答被采納”為事件C，根據(jù)全概率公式進行求解即可．（ii）結(jié)合（i）中所得信息以及條件概率公式進行求解即可．【解答】解：（1）易知ξ的所有取值為0，1，3，3，此時P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列為：0173P則E（ξ）＝0×+4×+3×＝；（2）（i）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“ChatGPT的回答被采納”為事件C，易知P（B）＝0.1，所以P（A）＝5.9，P（C|A）＝0.85，則P（C）＝P（AC）+P（BC）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B××0.3＝0.815；（ii）若ChatGPT的回答被采納，則該問題的輸入沒有語法錯誤的概率P（A|C）＝＝＝＝．【點評】本題考查離散型隨機變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運算能力．20．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＝sin2B（1）求證：a2﹣b2＝bc；（2）若b+c＝a，且△ABC的外接圓半徑為，求△ABC的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）代入二倍角公式，利用正弦定理、余弦定理即可得；（2）由（1）和已知組成方程組有，根據(jù)余弦定理可得B的函數(shù)值，即可得三角形面積．【解答】（1）證明：∵sinA＝sin2B，∴sinA＝2sinBcosB，由正弦定理、余弦定理可得：①且b≠c，故a2＝b（c+b）即a3﹣b2＝bc；（2）解：，得，則有，由余弦定理得，，又由正弦定理可得，所以．【點評】本題考查正弦定理，余弦定理，屬于中檔題．21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸上滑動，點B在y軸上滑動，且點P的軌跡為曲線C．（1）求點P的軌跡方程；（2）曲線C與x軸負半軸交于點T，過點T的直線TM，TN分別與曲線C交于M，直線TM，TN的斜率分別為kTM，kTN，且kTM?kTN＝﹣，求證：直線MN過定點，并求△TMN面積的最大值．【答案】（1）．（2）證明見解析；直線MN過定點D（﹣1，0），△AMN的面積最大值為．【分析】（1）由題意得a2+b2＝9，由得（x，y﹣b）＝2（a﹣x，﹣y），消去a、b得出點P的軌跡方程．（2）由曲線C的方程求出點T坐標，設直線MN的方程為x＝my+n，與曲線C的方程聯(lián)立，消去x得關于y的方程，利用根與系數(shù)的關系求出y1+y2和y1y2，再求x1+x2和x1x2，利用kTM?kTN＝﹣求出n＝﹣1，證明直線MN過定點D（﹣1，0），再求△TMN面積的最大值．【解答】（1）