2019-2020學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡教育集團(tuán)七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷-(解析版)

2019-2020學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡教育集團(tuán)七年級(jí)第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共12小題）.1．3的平方根是（）A．3或﹣3 B．3 C． D．或﹣2．下列方程是二元一次方程的是（）A．+＝5 B．xy＝2 C．+y＝1 D．x2+x﹣2＝03．若m＞n，則下列不等式正確的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n4．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形5．已知三角形三邊長為2，3，x，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜5 C．1＜x＜5 D．﹣1＜x＜56．如圖，直線l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，則∠3等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°7．如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列條件還不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF8．已知且3x﹣2y＝0，則a的值為（）A．2 B．0 C．﹣4 D．59．《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三：人出七，不足四．問人數(shù)，物價(jià)各幾何？意思是：現(xiàn)有一些人共同買一個(gè)物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元．問共有多少人？這個(gè)物品的價(jià)格是多少？設(shè)共有x人，物品的價(jià)格為y元，可列方程組為（）A． B． C． D．10．如圖，一副直角三角板圖示放置，點(diǎn)C在DF的延長線上，點(diǎn)A在邊EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，則∠CAF＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°11．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝8，DE＝3，則△BCE的面積等于（）A．11 B．8 C．12 D．312．對(duì)于任意△ABC（見示意圖）．若AD是△ABC的邊BC上的中線，∠ADB、∠ADC的角平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF，那么EF、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF≥EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF＝EF二、填空題（每小題3分，共18分）13．在實(shí)數(shù)，，3.14159，﹣π，，中，無理數(shù)有個(gè)．14．已知方程4x+3y＝12，用x的代數(shù)式表示y為．15．如圖，已知AB∥CD，AF交CD于點(diǎn)E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，則∠A的度數(shù)是．16．若不等式組無解，則a的取值范圍是．17．如圖，由一個(gè)正六邊形和一個(gè)正五邊形組成的圖形中∠α的度數(shù)是．18．如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中正確的是．（填序號(hào)）①AC＝AF②CH＝CE③∠ACD＝∠B④CE＝EB三、解答題（共66分）19．解二元一次方程組：（1）（2）20．解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（1）；（2）．21．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，AE∥DF，CE∥BF，AE＝FD．求證：AB＝CD．下面是推理過程，請(qǐng)將下列過程填寫完整：證明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，（）．∵CE∥BF，∴∠ECA＝∠FBD，又∵AE＝DF，∴△AEC≌△DFB（），∴AC＝DB，∴AC﹣＝DB﹣，（）∴AB＝CD．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．23．某校七年級(jí)（6）班對(duì)半學(xué)期考試成績優(yōu)秀的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，頒發(fā)獎(jiǎng)品，班主任安排生活委員到某文具店購買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，若買甲種獎(jiǎng)品20個(gè)，乙種獎(jiǎng)品10個(gè)，共用110元，買甲種獎(jiǎng)品30個(gè)比買乙種獎(jiǎng)品20個(gè)少花10元．（1）求甲、乙兩種的單價(jià)各是多少元；（2）因獎(jiǎng)品數(shù)量的需要和班費(fèi)的限制，現(xiàn)要求本次購買甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量是乙種獎(jiǎng)品的數(shù)量的2倍還少10個(gè)，而且購買這兩種獎(jiǎng)品的總金額只能在280元到320元之間，請(qǐng)問有幾種購買方案？哪種方案最省錢？最省錢為多少？24．把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE、AD，且AD的延長線交BE于點(diǎn)F．（1）求證：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的長．25．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）求證：△AFD≌△AMD；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若，△AED的面積為28cm2，求△BDF的面積．26．我們定義：如圖1，在四邊形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，則把四邊形ABCD叫做互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形．（1）如圖2，在等腰△ABE中，∠EAB＝∠EBA，若四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，求證：△ABD≌△BAC；（2）如圖2，在（1）的條件下，若∠ABD＝∠BAC＝20°，求∠AEB的度數(shù)；（3）如圖3，在非等腰△ABE中（AE≠BE），若四邊形ABCD仍是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，求證∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共36分）1．3的平方根是（）A．3或﹣3 B．3 C． D．或﹣【分析】利用平方根定義計(jì)算即可．解：3的平方根是±．故選：D．2．下列方程是二元一次方程的是（）A．+＝5 B．xy＝2 C．+y＝1 D．x2+x﹣2＝0【分析】根據(jù)二元一次方程的定義求解可得答案．解：A、該方程屬于二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意．B、該方程的最高次數(shù)是2，屬于二元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意．C、該方程是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意．D、該方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3．若m＞n，則下列不等式正確的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n【分析】將原不等式兩邊分別都減2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根據(jù)不等式得基本性質(zhì)逐一判斷即可得．解：A、將m＞n兩邊都減2得：m﹣2＞n﹣2，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、將m＞n兩邊都除以4得：＞，此選項(xiàng)正確；C、將m＞n兩邊都乘以6得：6m＞6n，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、將m＞n兩邊都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．4．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【分析】設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°，∴△ABC是直角三角形．故選：A．5．已知三角形三邊長為2，3，x，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜5 C．1＜x＜5 D．﹣1＜x＜5【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊列出不等式，得到答案．解：由三角形三邊關(guān)系可知，3﹣2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，故選：C．6．如圖，直線l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，則∠3等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】由平行可得∠5的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和與∠2的對(duì)頂角，求出∠3．解：∵l1∥l2，∴∠1＝∠4＝35°．∵∠2＝∠5＝80°，又∵∠3+∠5+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠4＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故選：C．7．如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列條件還不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的條件和全等三角形的判定可以解答本題．解：已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一個(gè)條件是∠ABC＝∠DEF，根據(jù)條件不可以證明△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)A符合題意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一個(gè)條件是∠A＝∠D，根據(jù)SAS可以證明△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)B不符合題意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一個(gè)條件是EB＝CF，可得得到BC＝EF，根據(jù)SSS可以證明△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)C不符合題意；已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一個(gè)條件是BC＝EF，根據(jù)SSS可以證明△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．8．已知且3x﹣2y＝0，則a的值為（）A．2 B．0 C．﹣4 D．5【分析】利用加減消元法解方程組，得到關(guān)于a的x和y的值，代入方程3x﹣2y＝0，得到關(guān)于a的一元一次方程，解之即可．解：原方程組可整理得：，①﹣②得：5y＝5a，解得：y＝a，把y＝a代入①得：x+a＝a，解得：x＝0，即方程組的解為：，把代入3x﹣2y＝0得：﹣2a＝0，解得：a＝0，故選：B．9．《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三：人出七，不足四．問人數(shù)，物價(jià)各幾何？意思是：現(xiàn)有一些人共同買一個(gè)物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元．問共有多少人？這個(gè)物品的價(jià)格是多少？設(shè)共有x人，物品的價(jià)格為y元，可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．解：依題意，得：．故選：A．10．如圖，一副直角三角板圖示放置，點(diǎn)C在DF的延長線上，點(diǎn)A在邊EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，則∠CAF＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根據(jù)∠AFD＝∠CAF+∠ACF＝45°求解即可．解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，∵∠AFD＝∠CAF+∠ACF＝45°，∴∠CAF＝45°﹣30°＝15°，故選：B．11．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝8，DE＝3，則△BCE的面積等于（）A．11 B．8 C．12 D．3【分析】過E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF＝DE＝3，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．解：過E作EF⊥BC于F，∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，DE＝3，∴EF＝DE＝3，∴△BCE的面積S＝＝，故選：C．12．對(duì)于任意△ABC（見示意圖）．若AD是△ABC的邊BC上的中線，∠ADB、∠ADC的角平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF，那么EF、BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF≥EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF＝EF【分析】延長ED到H，使DE＝DH，連接CH，F(xiàn)H，證△EFD≌△HFD，推出EF＝FH，證△BDE≌△CDH，推出BE＝CH，在△CFH中，由三角形三邊關(guān)系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．【解答】證明：延長ED到H，使DE＝DH，連接CH，F(xiàn)H，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∵DE、DF分別為∠ADB和∠ADC的平分線，∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3+∠2＝90°，即∠EDF＝∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH中，由三角形三邊關(guān)系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．故選：A．二、填空題（每小題3分，共18分）13．在實(shí)數(shù)，，3.14159，﹣π，，中，無理數(shù)有2個(gè)．【分析】先計(jì)算＝2，＝2，然后根據(jù)無理數(shù)的定義得到在所給數(shù)中無理數(shù)有、﹣π．解：∵＝2，＝2，∴在實(shí)數(shù)，，3.14159，﹣π，，中，無理數(shù)有、﹣π．無理數(shù)有2個(gè)，故答案為：2．14．已知方程4x+3y＝12，用x的代數(shù)式表示y為y＝．【分析】把x看做已知數(shù)求出y即可．解：4x+3y＝12，解得：y＝．故答案為：y＝．15．如圖，已知AB∥CD，AF交CD于點(diǎn)E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，則∠A的度數(shù)是50°．【分析】由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出∠B的度數(shù)，由BE⊥AF可得出∠AEB＝90°，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A的度數(shù)．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED＝40°．∵BE⊥AF，∴∠AEB＝90°，∴∠A＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．故答案為：50°．16．若不等式組無解，則a的取值范圍是a≥1．【分析】根據(jù)不等式組無解，則兩個(gè)不等式的解集沒有公共部分解答．解：∵不等式組無解，∴a的取值范圍是a≥1．故答案為：a≥1．17．如圖，由一個(gè)正六邊形和一個(gè)正五邊形組成的圖形中∠α的度數(shù)是48°．【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出∠1，∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求出∠α即可解決問題．解：如圖，由題意得：∠1＝360°÷6＝60°，∠2＝360°÷5＝72°，則∠α＝180°﹣60°﹣72°＝48°．故答案為：48°．18．如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中正確的是①②③．（填序號(hào)）①AC＝AF②CH＝CE③∠ACD＝∠B④CE＝EB【分析】①根據(jù)直角三角形全等的判定定理HL即可；②由角平分線的性質(zhì)得到CE＝EF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)能求出∠CHE＝∠CEA，推出CH＝CE即可得到答案；③由CD是斜邊AB上的高，∠ACB＝90°，得到∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，即可得到答案；④根據(jù)邊得關(guān)系即可判斷．解：①∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，EF⊥AB，∴CE＝FE，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），∴AC＝AF，∴①正確；③∵CD是斜邊AB上的高，∠ACB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴③正確；②∵∠CHE＝∠CAE+ACD，∠CEA＝∠BAE+∠B，∠ACD＝∠B，∴∠CHE＝∠CEA，∴CH＝CE，∴②正確；④在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF＝CE，∴④錯(cuò)誤；故答案為：①②③．三、解答題（共66分）19．解二元一次方程組：（1）（2）【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．解：（1），①+②得：3x＝3，解得：x＝1，把x＝1代入②得：y＝4，則方程組的解為：；（2）方程②兩邊同時(shí)乘以12得：3（x﹣3）﹣4（y﹣3）＝1，化簡，得：3x﹣4y＝﹣2③，①+③，得：4x＝12，解得：x＝3，將x＝3代入①，得：3+4y＝14，解得：y＝，則原方程組的解為．20．解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（1）；（2）．【分析】（1）先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸表示出來即可；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸表示出來即可．解：（1），∵解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x＜4，∴不等式組的解集是3≤x＜4，在數(shù)軸上表示為：；（2），∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式組的解集是﹣3＜x≤2，在數(shù)軸上表示為：．21．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，AE∥DF，CE∥BF，AE＝FD．求證：AB＝CD．下面是推理過程，請(qǐng)將下列過程填寫完整：證明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵CE∥BF，∴∠ECA＝∠FBD，又∵AE＝DF，∴△AEC≌△DFB（AAS），∴AC＝DB，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，（等式的性質(zhì)）∴AB＝CD．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠D，∠ECA＝∠FBD，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△AEC≌△DFB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝DB，再求出答案即可．【解答】證明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵CE∥BF，∴∠ECA＝∠FBD，在△AEC和△DFB中∴△AEC≌△DFB（AAS），∴AC＝DB，∴AC﹣BC＝DB﹣BC（等式的性質(zhì)），∴AB＝CD，故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，AAS，BC，BC，等式的性質(zhì)．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由鄰補(bǔ)角定義得出∠CBD＝130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠F＝∠CEB＝25°．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．23．某校七年級(jí)（6）班對(duì)半學(xué)期考試成績優(yōu)秀的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，頒發(fā)獎(jiǎng)品，班主任安排生活委員到某文具店購買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，若買甲種獎(jiǎng)品20個(gè)，乙種獎(jiǎng)品10個(gè)，共用110元，買甲種獎(jiǎng)品30個(gè)比買乙種獎(jiǎng)品20個(gè)少花10元．（1）求甲、乙兩種的單價(jià)各是多少元；（2）因獎(jiǎng)品數(shù)量的需要和班費(fèi)的限制，現(xiàn)要求本次購買甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量是乙種獎(jiǎng)品的數(shù)量的2倍還少10個(gè)，而且購買這兩種獎(jiǎng)品的總金額只能在280元到320元之間，請(qǐng)問有幾種購買方案？哪種方案最省錢？最省錢為多少？【分析】（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，一種獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元，然后依據(jù)買甲種獎(jiǎng)品20個(gè)，乙種獎(jiǎng)品10個(gè)，共用110元，買甲種獎(jiǎng)品30個(gè)比買乙種獎(jiǎng)品20個(gè)少花10元列方程組求解即可；（2）設(shè)購買乙種獎(jiǎng)品的數(shù)量為a個(gè)，則購買甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量為（2a﹣10）個(gè)，然后依據(jù)總費(fèi)用在280元到320元之間列不等式組求解即可．解：（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，一種獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元．根據(jù)題意得：解得：x＝3，y＝5．答：甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為3元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)是5元．（2）設(shè)購買乙種獎(jiǎng)品的數(shù)量為a個(gè)，則購買甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量為（2a﹣10）個(gè)．根據(jù)題意得解得：≤a≤31．∵a只能取正整數(shù)，∴a＝29，30，31．∴有3中購買方案．方案①：購買乙種獎(jiǎng)品29個(gè)，購買甲種獎(jiǎng)品48個(gè)；方案②：購買乙種獎(jiǎng)品30個(gè)，購買甲種獎(jiǎng)品50個(gè)；方案③：購買乙種獎(jiǎng)品31個(gè)，購買甲種獎(jiǎng)品52個(gè)．方案①最省錢．∵3×48+5×29＝289元；3×50+5×30＝3009元；3×52+5×31＝311元，∴方案①最省錢．24．把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE、AD，且AD的延長線交BE于點(diǎn)F．（1）求證：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的長．【分析】（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知：對(duì)應(yīng)邊相等AD＝BE、對(duì)應(yīng)角相等∠BEC＝∠ADC；加上已知條件來求∠AFE＝90°即可；（2）可得出EC+AC＝8，AC﹣EC＝2，則可得出答案．【解答】證明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AF⊥BE．（2）解：∵AE＝8，∴EC+AC＝8①，∵DB＝2，∴BC﹣DC＝2．∵BC＝AC，EC＝DC，∴AC﹣EC＝2②，∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．25．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）求證：△AFD≌△AMD；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若，△AED的面積為28cm2，求△BDF的面積．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可知DF＝DM，根據(jù)HL可證明Rt△AFD≌Rt△AMD；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，②當(dāng)4＜t＜5時(shí)，分別根據(jù)△DFE≌△DMG，得出EF＝GM，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，進(jìn)行求解即可．（3）利用等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，即可求得答案．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM，在Rt△AFD和Rt△AMD中，∵，∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；（2）解：①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，點(diǎn)G在線段CM上，點(diǎn)E在線段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t，∴t＝6（不合題意，舍去）；②當(dāng)4＜t＜5時(shí)，點(diǎn)G在線段AM上，點(diǎn)E在線段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，∴10﹣2t＝t﹣4，∴t＝；綜上，t＝．綜上所述當(dāng)t＝時(shí)，△DFE與△DMG全等．（3）解：∵t＝，∴AE＝2t＝（cm），∵DF＝DM，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，∵AC＝14cm，∴AB＝（cm），∴BF＝AB﹣AF＝﹣10＝（cm），∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝，S△AED＝28cm2，∴S△BDF＝（