數學北師大版選修2-3學案第三章1回歸分析

§1回歸分析學習目標重點難點．2．會求相關系數，并用其判斷相關程度．3．會進行可線性化的回歸分析，擬合函數．并根據擬合程度調整函數關系.重點：利用所給數據求線性回歸直線方程．難點：函數模型的選取和確立以及函數的擬合.1．回歸分析(1)函數關系是一種確定性的關系，而相關關系是一種非確定性關系．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的常用方法．(2)線性回歸直線方程y＝a＋bx中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)2i－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).預習交流1線性回歸直線方程y＝a＋bx與一次函數y＝a＋kx有何區(qū)別？提示：一次函數y＝a＋kx是y與x的確定關系，給x一個值，y有唯一確定的值與之對應，而線性回歸直線方程是y與x的相關關系的近似反映，兩個數據x，y組成的點(x，y)可能適合線性回歸直線方程，也可能不適合．2．相關系數假設兩個隨機變量的數據分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關系數r的計算公式為：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2·\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)2i－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)2i－n\x\to(y)2)).變量之間相關系數r的取值范圍為[－1,1]，|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關程度越高，|r|值越接近于0，Q越大，變量之間的線性相關程度越低．當r＞0時，b＞0，兩個變量的值總體上呈現出同時增減的趨勢，此時稱兩個變量正相關；當r＜0時，b＜0，一個變量增加，另一個變量有減少的趨勢，稱兩個變量負相關；當r＝0時，稱兩個變量線性不相關．預習交流2如何由樣本的相關系數r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2·\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2))判定兩變量的相關性？提示：當r＞0時，表明兩個變量正相關，當r＜0時，表示兩個變量負相關，r的絕對值越接近于1，表明兩個變量線性相關性越強；r的絕對值越接近于0，表明兩變量之間幾乎不存在線性相關關系，通常當|r|＞0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系．3．可線性化的回歸分析通過變換先將非線性函數轉化成線性函數，利用最小二乘法得到線性回歸方程，再通過相應變換得到非線性回歸方程．預習交流3如何將函數y＝aebx轉化為線性函數？提示：先對y＝aebx兩邊取對數得lny＝lna＋bx.若記u＝lny，c＝lnA．則u＝c＋bx，就把函數y＝aebx轉化成了線性函數u＝c＋bx.一、線性回歸方程的求法某醫(yī)院用光電比色計檢驗尿汞時，得尿汞含量(毫克/升)與消光系數如下表：汞含量x246810消光系數y64138205285360(1)作散點圖；(2)如果y與x之間具有線性相關關系，求線性回歸方程．思路分析：求線性回歸方程必須先對兩個變量進行相關性判斷，若兩個變量存在較大的相關性，則可利用公式求線性回歸方程的系數；若兩個變量不具備相關關系，則求線性回歸方程將變得毫無意義．解：(1)散點圖如圖．(2)由散點圖可知，y與x呈相關關系，設線性回歸方程為：y＝bx＋A．經計算，得eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝220，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝7790.∴b＝eq\f(7790－5×6×,220－5×62)＝，a＝－×6＝－11.3.∴線性回歸方程為：y＝x－11.3.已知兩個變量x和y之間具有線性相關性，甲、乙兩個同學各自獨立地做了10次和15次試驗，并且利用線性回歸的方法求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個人在試驗中發(fā)現對變量x的觀測數據的平均數都為s，對變量y的觀測數據的平均數都是t，則下列說法正確的是()．A．l1與l2一定有公共點(s，t) B．l1與l2相交，但交點一定不是(s，t)C．l1與l2必定平行 D．l1與l2必定重合答案：A解析：由于回歸直線y＝bx＋a恒過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點，又兩人對變量x的觀測數據的平均值為s，對變量y的觀測數據的平均值為t，所以l1和l2恒過點(s，t)．作出散點圖可直觀地判斷兩個變量的相關關系．線性回歸直線方程y＝bx＋a一定過樣本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．二、相關系數及相關性檢驗現隨機抽取了我校10名學生在入學考試中的數學成績(x)與入學后的第一次考試中的數學成績(y)，數據如下表：學生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771試問：這10名學生的兩次數學考試成績是否具有顯著性線性相關關系？思路分析：先利用相關系數計算公式r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r((\i\su(i＝1,n,x)2i－n\x\to(x)2)(\i\su(i＝1,n,y)2i－n\x\to(y)2)))計算出r，當|r|越接近于1時，兩個變量越具有很強的線性關系．解：由題意得：eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\i\su(i＝1,10,x)2i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\i\su(i＝1,10,y)2i＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796，∴r＝eq\f(73796－10××68,\r((116584－10×2)·(47384－10×682)))≈6.∵6接近于1，∴兩次數學考試成績有顯著性線性相關關系．煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短．必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關系．如果已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量x與冶煉時間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一列數據，如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)y與x是否具有線性相關關系？(2)如果y與x具有線性相關關系，求線性回歸方程．(3)預測當鋼水含碳量為160個0.01%時，應冶煉多少分鐘？解：(1)列出下表，并用科學計算器進行計算：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125eq\x\to(x)＝159.8，eq\x\to(y)＝172，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,)i＝265448，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,)i＝312350，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝287640于是r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r((\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－10\x\to(y)2)))≈6.∵6非常接近于1，∴y與x具有顯著的線性相關關系．(2)設所求的線性回歸方程為y＝bx＋a，其中a，b的值使Q＝eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(yi－bxi－a)2的值最小．b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)≈1.267，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－30.47，即所求的線性回歸方程為yx－30.47.(3)當x＝160時，y×≈172，即大約冶煉172min.如果兩個變量不具備線性相關關系或者線性相關關系不顯著，即使求出線性回歸方程也無意義，用于估計和測量的結果也是不可信的．1．在下列各量與量之間的關系中是相關關系的是()．①正方體的體積與棱長之間的關系；②一塊農田的小麥的產量與施肥量之間的關系；③人的身高與年齡之間的關系；④家庭的收入與支出之間的關系；⑤某家庭用水量與水費之間的關系．A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④答案：D解析：①⑤屬于函數關系，②③④屬于相關關系．2．在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數r如下，其中擬合得最好的模型為()．A．模型1的相關指數r B．模型2的相關指數rC．模型3的相關指數r D．模型4的相關指數r答案：B解析：相關指數|r|的值越大，說明模型的擬合效果越好．3．對有線性相關關系的兩個變量建立的回歸直線方程y＝a＋bx中，回歸系數b()．A．可以小于0 B．大于0 C．能等于0 D．答案：A解析：因為b＝0時，則r＝0，這時不具有線性相關關系，但b可以大于0也可以小于0.4．某種產品的廣告費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有下表關系：x24568y3040605070若y與x之間是線性相關關系，，則廣告費支出最少是______萬元．答案：10解析：由已知eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)2i＝145，eq\i\su(i＝1,5,y)2i＝13500，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝1380，∴b＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×25)＝6.5.∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝17.5.∴回歸直線方程為yx＋17.5.∴由y≥x≥82.5，解得x≥10.故廣告費支出最少是10萬元．5．有一臺機床可以按各種不同的速度運轉，其加工的零件有一些是二級品，每小時生產的二級品零件的數量隨機床運轉的速度而變化，下面是實驗中記錄的數據.機床運轉的速度(轉/秒)每小時生產二級品的數量(個)851281491611(1)作出散點圖．(2)求出機床運轉的速度x與每小時生產的二級品數量y的回歸直線方程．(3)若