江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案三角函數(shù)第5課三角函數(shù)的最值問題

第5課三角函數(shù)的最值問題一、教學(xué)目標(biāo)1．會(huì)通過三角恒等變形，將函數(shù)關(guān)系式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)形式（即），然后借助于三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求三角函數(shù)的最值和值域；2．能利用換元、求導(dǎo)、數(shù)形結(jié)合等方法求三角函數(shù)的最值和值域。二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧與梳理1、函數(shù)的值域?yàn)椤窘虒W(xué)建議】本題主要是幫助學(xué)生回顧三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并進(jìn)一步讓學(xué)生知道連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值不一定在端點(diǎn)處取得！2、函數(shù)的最大值是，此時(shí)的值為?！窘虒W(xué)建議】本題選自必修四第44頁習(xí)題1.3第四題，主要是復(fù)習(xí)三角函數(shù)的最值、周期性，有了第1題的鋪墊，不妨令，則轉(zhuǎn)化為的最值問題，故問題迎刃而解。3、函數(shù)（均為正數(shù)）的最大值是【教學(xué)建議】本題選自必修四第99頁習(xí)題3.1第13題，是求三角函數(shù)最值（或值域）問題中的一種基本模型。處理方法：引入輔助角，化為,利用函數(shù)即可求解。形如型亦可以化為此類。4、函數(shù)的值域是?！窘虒W(xué)建議】如何化簡原函數(shù)？方向是什么？減少角的個(gè)數(shù)，將，得到再換元得，強(qiáng)調(diào)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像求解。三、診斷練習(xí)診斷練習(xí)點(diǎn)評(píng)題1：函數(shù)的值域?yàn)?；【分析與點(diǎn)評(píng)】,學(xué)生要熟悉求三角最值兩種最基本的方法：1.函數(shù)圖象法，2.單位圓法.結(jié)果注意區(qū)間開閉.題2．函數(shù)的最小值是．【分析與點(diǎn)評(píng)】問題1：三角函數(shù)式化簡的基本原則是什么？消滅三角函數(shù)式在“角、名（函數(shù)名稱）、次（式子次數(shù)）”等方面的差異性，走向統(tǒng)一，從而達(dá)到化簡之目的。問題2：如何統(tǒng)一三角函數(shù)名？往往是對(duì)兩角和與差的正弦、余弦公式的使用，尤其是逆使用，即輔助角公式。注意對(duì)輔助角公式的靈活運(yùn)用。題3．若函數(shù)，則的最大值為.【分析與點(diǎn)評(píng)】問題1：三角函數(shù)式化簡的基本原則是什么？消滅三角函數(shù)式在“角、名（函數(shù)名稱）、次（式子次數(shù)）”等方面的差異性，走向統(tǒng)一，從而達(dá)到化簡之目的。問題2：此題如何消滅在“名稱”上存在的差異？切化弦！易得，追問角的范圍的作用是什么？如果改為求此函數(shù)的值域呢？體現(xiàn)整體思想和單調(diào)性的作用。題4．已知()，則的最小值是．【分析與點(diǎn)評(píng)】問題1：這是什么函數(shù)？三角函數(shù)。從整體上看，這又是什么函數(shù)？二次函數(shù)。如何操作？問題2：最值問題常與函數(shù)的哪個(gè)性質(zhì)有關(guān)？單調(diào)性！如何研究二次函數(shù)的單調(diào)性？二次函數(shù)的最值是否一定在對(duì)稱軸取得？要點(diǎn)歸納（1）通過上述問題的交流,讓學(xué)生了解:求三角函數(shù)值域（或最值）問題時(shí)，我們常常將所給函數(shù)化為熟知的函數(shù)類型如、二次函數(shù)等。進(jìn)而通過研究這些函數(shù)的單調(diào)性，求出原函數(shù)的值域（或最值）。（2）求解的關(guān)鍵是借助三角公式將所給的三角函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變形，化為我們熟悉的、已知的函數(shù)模型，或用導(dǎo)數(shù)求極值，因此應(yīng)要求學(xué)生熟記三角公式（特別是二倍角公式及其變形公式?。?。（3）強(qiáng)化函數(shù)定義域優(yōu)先的意識(shí)?；嗊^程中也應(yīng)對(duì)自變量的取值范圍所發(fā)生的變化進(jìn)行仔細(xì)地考察，理解定義域發(fā)生變化后，值域（或最值）可能隨之發(fā)生變化。四、范例導(dǎo)析例1、已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最大值和最小值?！窘虒W(xué)處理】可讓學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng)；【引導(dǎo)分析與精講建議】問題1：對(duì)應(yīng)的具體表達(dá)式是什么？亦即目標(biāo)要具體化!通過具體化發(fā)現(xiàn)是求特殊角的三角函數(shù)值，因此，不難求得答案。問題2：可化簡嗎？化簡的方向是什么？！消滅角上的差異性，統(tǒng)一為關(guān)于角的形式的三角函數(shù)，經(jīng)過化簡發(fā)現(xiàn)是“”的二次函數(shù)型。借助我們熟知的二次函數(shù)知識(shí)就可以順利求解?！咀兪健壳蠛瘮?shù)的最大值和最小值?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】問題：化簡的方向？異角化同角得，換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，其中要注意什么？換元就要換范圍！令，則，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在“動(dòng)軸定區(qū)間”上的最值問題，數(shù)形結(jié)合得解。例1變式：求函數(shù)的最大值與最小值.解：，例2：已知函數(shù)．（1）若點(diǎn)()為函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的值域．【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨(dú)立思考并解題，指名學(xué)生板演，老師巡視指導(dǎo)了解學(xué)情；再結(jié)合板演情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。也可在學(xué)生恒等變形過程中遇到困難時(shí)，教師適時(shí)介入與學(xué)生交流，并給予指導(dǎo)?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】問題1：圖像有公共點(diǎn)是什么意思？如何轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件？問題2：如何解三角函數(shù)方程？問題3：條件是二次形式，能化為二次函數(shù)模型嗎？學(xué)生通過嘗試，感受解題失??！知道解題不會(huì)一帆風(fēng)順，有時(shí)，事先制定的解題計(jì)劃需要調(diào)整，從而逐漸的積累解題經(jīng)驗(yàn)，一步步提升解題能力。問題4：能否化為？強(qiáng)調(diào)這種類型是三角函數(shù)中的常見題型。的本質(zhì)是什么？一個(gè)角！一個(gè)三角函數(shù)！一次式！那么這樣的二次式能降為一次嗎？充分挖掘公式的變化形式，顯然，∴，至此，應(yīng)水到渠成了。問題5：求型函數(shù)的值域應(yīng)注意什么？角的整體范圍?！军c(diǎn)評(píng)】本題通過逆用二倍角公式降次后，將函數(shù)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的形式，即型的函數(shù)，再應(yīng)用三角函數(shù)的有界性求解。例2變式1：已知函數(shù)（課后復(fù)習(xí)題改編）（1）如果，求函數(shù)的最大值；（2）如果函數(shù)的最小值是，求的值。解：（1）；（2）變式2：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，求常?shù)的值變式3：已知函數(shù)（1）當(dāng)，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)，求函數(shù)的值域例3：（1）已知，求函數(shù)的最小值．（2）已知，求函數(shù)的最大值；（3）求函數(shù)的最大、最小值．【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨(dú)立思考并解題，點(diǎn)幾名學(xué)生板演，老師巡視指導(dǎo)了解學(xué)情；再結(jié)合板演情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。也可在學(xué)生恒等變形過程中遇到困難時(shí)，教師適時(shí)介入與學(xué)生交流，并給予指導(dǎo)?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】（1）題1直接利用三角函數(shù)的有界性，并直接利用基本不等式去求解。（2）題2首先是對(duì)分?jǐn)?shù)函數(shù)的一般的處理方式，然后回到題1的步驟去解決。（3）型三角函數(shù)求最值，當(dāng)，時(shí)，不能用均值不等式求最值，適宜用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解．（4）題3含有“正、余弦三姐妹”，即含有的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令,將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．在轉(zhuǎn)化過程中尤其要注意新變量的范圍的確定。例3變式：(1)求函數(shù)的最小值.(2)若0<x<，求函數(shù)的最小值.解：(1)，所以最小值為(2)，令，則，∴，由，得，∴函數(shù)的最小值為.五、解題反思1、求三角函數(shù)最值（或值域）的常用方法有：①配方法（主要利用二次函數(shù)性質(zhì)及三角函數(shù)的有界性），如例1；②化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性），如例2；③基本不等式法，如例3（1）和（2）；④含有的，進(jìn)行整體代換，轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)，如例3（3）。2、三角函數(shù)的最值（或值域）都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)中所給出的區(qū)間.（1）求三角函數(shù)最值（或值域）時(shí)，一般要進(jìn)行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及正、余弦函數(shù)的有界性，如例2中變式3.（2）含參數(shù)的三角函數(shù)的最值問題，要注意參數(shù)的作用和影響。如例2中變式23、要養(yǎng)成用設(shè)角的方法解決圖形問題的意識(shí)，要掌握用導(dǎo)數(shù)方法求三角函數(shù)的最值的技能。六、課后鞏固：1、函數(shù)y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________答案：2、設(shè)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則函數(shù)y＝eq\f(2sin2x＋1,sin2x)的最小值為________答案：3、函數(shù)f(x)＝cos2x－2sinx的最大值為________答案：4、已知函數(shù)(),若有最大值.(1),求實(shí)數(shù)的值;(2)x[0,]求函數(shù)的值域.解:(1)f(x)=cos2x+sin2x+a+1=2sin(2x+)+a+1因?yàn)閒(x)的最大值是2,所以a=1(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,