空間向量及其運算的坐標表示（解析卷）

空間向量及其運算的坐標表示1.了解空間直角坐標系，理解空間向量的坐標表示，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；2.掌握空間向量運算的坐標表示，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)；3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應用，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；4.掌握空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，能運用公式解決問題，強化數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點：理解空間向量的坐標表示及其運算難點：運用空間向量的坐標運算解決簡單的立體幾何問題閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。問題1：在平面向量中，我們借助平面直角坐標系得到了平面向量的坐標表示和坐標運算．在平面直角坐標系中如何用坐標表示向量呢？【答案】在平面直角坐標系中，分別取x軸、y軸正方向上的單位向量i，j作為基底，由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)任一向量a，存在唯一實數(shù)對（x，y），使a＝xi＋yj．實數(shù)對（x，y）叫作向量a在平面直角坐標系中的坐標，記作a＝（x，y）．問題2：類似于平面向量基本定理，類比推廣到空間向量基本定理，能否將平面直角坐標系中的坐標表示向量類比推廣到空間呢？知識點一空間直角坐標系在空間中選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}．以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣我們就建立了空間直角坐標系．(1)空間直角坐標系的定義：在空間中選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}．以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸．這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分．(2)畫法：畫空間直角坐標系O-xyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)右手直角坐標系：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標軸為右手直角坐標系．本書建立的坐標系都是右手直角坐標系．(4)空間點的坐標表示：在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．(5)空間向量的坐標表示：在空間直角坐標系O-xyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記為a＝(x，y，z)．【探究1】與坐標軸或坐標平面垂直的向量坐標有何特點？【提示】xOy平面上的點的坐標為(x，y,0)，xOz平面上的點的坐標為(x,0，z)，yOz平面上的點的坐標為(0，y，z)，x軸上的點的坐標為(x,0,0)，y軸上的點的坐標為(0，y,0)，z軸上的點的坐標為(0,0，z)．【探究2】在空間直角坐標系中,向量OP的坐標與終點P的坐標有何關(guān)系?【提示】相同。1.若a=3i+2jk,且{i,j,k}為空間的一個單位正交基底,則a的坐標為.

【答案】(3,2,1)知識點二空間向量及其運算的坐標表示1、若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(5)若b≠0，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．(6)若a⊥b，則有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(7)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(8)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補）。=4\*GB3④與任意空間向量平行或垂直【思考】若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，則eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)對嗎？【提示】不一定正確，因為b1，b2，b3可能為0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0時才有eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)成立．2、若，則①即:一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。②，或.兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標表示，然后再用模長公式推出。3、空間線段中點坐標空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標為.已知棱長為1正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系，試完成下列問題：試求出正方體各個頂點的坐標；若是的中點，則的坐標為，=此時關(guān)于原點的對稱點的坐標為，關(guān)于平面的對稱點的坐標為，關(guān)于軸的對稱點的坐標為若，則的坐標為，若是線段上一點，若，則的坐標為【答案】1、A（1,0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），D（0,0,0），A1（1,0,1），B1（1,1,1），C1（0,1,1），D1（0,0,1），，1考點一求空間點的坐標角度1根據(jù)空間直角坐標系求坐標例1如圖所示的空間直角坐標系中，四棱錐的底面是正方形，平面，且，若，則點的空間直角坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算直接計算.【詳解】由題意得，，所以，所以，所以的坐標為．故選：B．求空間點、向量的坐標一般步驟(1)建系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標系；(2)運算：找出點在x軸、y軸、z軸上的射影的坐標；綜合利用向量的加減及數(shù)乘運算表示向量；(3)定結(jié)果：根據(jù)射影坐標寫出點的坐標；將所求向量用已知的基底向量表示出來確定坐標.【對點演練】1.正方體的棱長為2，是上的點，且，以D為坐標原點，DA、DC、方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系則點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】D2.已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各頂點的坐標．【答案】∵正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，∴正四棱錐的高為2eq\r(23).則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2eq\r(23))．角度2根據(jù)對稱性求坐標例2.在空間直角坐標系中，已知點P(－2,1,4)．(1)求點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標；(2)求點P關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標．解(1)由于點P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P1(－2，－1，－4)．(2)由點P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P2(－2,1，－4)．(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐標為(6，－3，－12)．【對點演練】1、已知空間點，則點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間直角坐標系點關(guān)于坐標軸對稱的特點求解作答.【詳解】依題意，點關(guān)于y軸對稱的點的坐標為.故選：D2、已知點P(2,3，－1)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點為P1，點P1關(guān)于坐標平面yOz的對稱點為P2，點P2關(guān)于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為________．答案(2，－3,1)解析點P(2,3，－1)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點P1的坐標為(2,3,1)，點P1關(guān)于坐標平面yOz的對稱點P2的坐標為(－2,3,1)，點P2關(guān)于z軸的對稱點P3的坐標是(2，－3,1)．角度3根據(jù)向量的運算求坐標例3（2023北京高二北京第一六一中期中）已知平行四邊形，且，，，則頂點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，，由題意得：，即，解得：，故頂點的坐標為.故選：D【對點演練】1.已知點，向量，則點坐標是（）A．B．C．D．【答案】D2.若空間一點在軸上，則（）A．1B．0C．D．【答案】D3、（2023·全國·高二專題練習）平行六面體中，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，∵，又，∴，解得，即.故選：B.4.（2023·高二課時練習）已知向量，向量，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖：因為向量，向量，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為，所以，，所以，解得，所以.故選：A5.（2023·高二課時練習）若?，點C在線段AB上，且，則點C的坐標是___________.【答案】【解析】點?，為線段上一點，且，所以，設點的坐標為，則，則，即，解得，即；故答案為：．考點二求空間向量的坐標例4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐標．解建立如圖所示的空間直角坐標系，設eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．【對點演練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點，如圖所示建立空間直角坐標系．(1)寫出各頂點的坐標；(2)寫出向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(B1F,\s\up6(→))，eq\o(A1E,\s\up6(→))的坐標．【解析】(1)設x軸，y軸，z軸的單位向量分別為i，j，k.因為正方體的棱長為2，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2j，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2k.因為D(0,0,0)，所以A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)．又因為eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2i＋2j，所以B(2,2,0)．同理可得，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)．(2)因為E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝－2i－j－k＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝－2i－j－2k＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2j－k＝(0,2，－1)．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0,2，－1)．考點三空間向量線性運算的坐標表示例5.已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，則＝（）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)【答案】A【解析】．故選：A【對點演練】1.（2023·全國·高二專題練習）在空間直角坐標系中，，，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，所以向量．故選：B.2.若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量線性關(guān)系的坐標運算求即可.【詳解】.故選：D考點四空間向量的共線與共面例6．（2023·全國·高二專題練習）已知，，若與共線，則實數(shù)（

）A．2 B． C． D．2【答案】B【解析】∵，，∴，.∵與共線，∴，即.故選：B.【對點演練1】（2023·福建漳州·高二校考期中）與向量共線的單位向量可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以與向量共線的單位向量可以是或.故選：D【對點演練2】（2023·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學考試）在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，若三點共線，則有，得，解得，，.故選：B例7（2022·全國·高二專題練習）已知，若四點共面，則實數(shù)為_______.【答案】8【分析】根據(jù)空間中四點共面可得向量共面，進而可求解.【詳解】四點共面，存在實數(shù)，使得，，解得.故答案為：8【對點演練1】（2022·福建寧德·高二期中）若向量，，，且、、共面，則______．【答案】【分析】設，可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得的值.【詳解】因為、、共面，設，其中、，所以，，解得.故答案為：.【對點演練2】（2022·全國·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點共面，則λ=___________.【答案】【分析】由已知可得共面，根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.【詳解】由P，A，B，C四點共面，可得共面，，，解得.故答案為：考點五空間向量數(shù)量積的坐標表示角度1求空間向量的數(shù)量積例8.若，，，則的值為（）A．B．5C．7D．36【答案】B【對點演練】1.)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(2a＋3b)·(a－2b)＝________.答案(1)－244解析(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.【對點演練】1已知向量，，若，則k的值等于（）A．1B．C．D．【答案】D2.（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學?？计谥校┮阎臻g直角坐標系中，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因點Q在直線上運動，則，設，于是有，因為，，所以，，因此，，于是得，則當時，，此時點Q，所以當取得最小值時，點Q的坐標為.故選：C角度2求空間向量的投影向量例9．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．【詳解】因為，0，，，2，，則向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量是．故選：．【對點演練1】（2022·全國·高二課時練習）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出向量在向量上的投影，從而求出投影向量，【詳解】解：因為，所以，所以向量在向量上的投影為設向量在向量上的投影向量為，則且，所以，所以，解得所以故選：B【對點演練2】已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C【對點演練3】在標準正交基下，已知向量，，求向量在和上的投影．【答案】－2；3.【分析】求出坐標，利用投影公式即可計算.【詳解】，在上的投影為，在上的投影為角度3空間向量的夾角問題例10（1）（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））已知，，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用空間向量的夾角余弦值公式即可求得.【詳解】解：，，.故選：B.（2）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H是C1G的中點．(1)求FH的長；(2)求EF與C1G所成角的余弦值．【分析】建立空間直角坐標系，確定點的坐標，然后利用向量的坐標運算來解決．【解析】如圖所示，以DA，DC，DD1為單位正交基底建立空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，E(0,0，eq\f(1,2))，F(xiàn)(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，eq\f(3,4)，0)．(1)∵H是C1G的中點，∴H.又F，∴FH＝|eq\o(FH,\s\up6(→))|＝＝eq\f(\r(41),8).(2)∵eq\o(C1G,\s\up6(→))＝，則|eq\o(C1G,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),4).又|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，且eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\f(3,8)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(C1G,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(51),17)，即EF與C1G所成角的余弦值為eq\f(\r(51),17).運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；(2)求坐標：①求出相關(guān)點的坐標；②寫出向量的坐標；(3)論證、計算：結(jié)合公式進行論證、計算；(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．【對點演練】1．（2022·江蘇宿遷·高二期中）若向量，，則向量與的夾角為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積的定義，直接計算即可.【詳解】設向量與的夾角為，且，所以，，所以，故選：D2..若向量，，，，，，且與的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為A． B．11 C．3 D．或11【答案】A【解析】向量，，，，，，，，，且與的夾角余弦值為，，整理得，解得或（不合題意，舍去），的值為．3.已知，，且，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C4．已知，，向量與的夾角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量夾角的坐標表示直接計算可得.【詳解】因為向量與的夾角，所以又，解得.故選：B5.已知向量，若a與b的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為_____________．答案解析由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－eq\f(52,5)，因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝tλ，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq\f(6,5)，故t的取值范圍是6.如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點．(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值．【解析】如圖，以eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))為單位正交基底建立空間直角坐標系C-xyz.(1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3)，∴線段BN的長為eq\r(3).(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(30),10).故A1B與B1C所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).角度4平行與垂直問題例11已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.【解析】(1)因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以設c＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝eq\r(－2λ2＋－λ2＋2λ2)＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)因為a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).(1)平行與垂直的判斷①應用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線．②判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應用①適當引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程．②選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的．【對點演練1】（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，則______.【答案】/【解析】空間向量，，由，得，解得，所以.故答案為：【對點演練2】已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，則y﹣2A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4【解答】解：∵A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），∴AB→=(-1，∵AB→∥AC→，∴-12=2y-1=-2z-3，解得y＝﹣3【對點演練3】已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→-A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：向量a→=（1，1，0），b→=（1，0，2），∴ka→-b→=（k﹣1，k，﹣2），2a→+b→=（3，2，2），∵k【對點演練4】正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\o(PD1,\s\up6(→))，若PQ⊥AE，eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(DQ,\s\up6(→))，求λ的值．【解析】如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體棱長為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設點P的坐標為(a，a,1)，因為3eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\o(PD1,\s\up6(→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq\f(3,4)，所以點P的坐標為.由題意可設點Q的坐標為(b，b,0)，因為PQ⊥AE，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，所以＝0，解得b＝eq\f(1,4)，所以點Q的坐標為.因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(DQ,\s\up6(→))，所以(－1，－1,0)＝λ，所以eq\f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.【變式】若G是A1D的中點，點H在平面xDy上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置．【解析】因為G是A1D的中點，所以點G的坐標為(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))，因為點H在平面xDy上，設點H的坐標為(m，n,0)，因為eq\o(GH,\s\up6(→))＝(m，n,0)－(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))＝(m－eq\f(1,2)，n，－eq\f(1,2))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)且eq\o(GH,\s\up6(→))∥eq\o(BD1,\s\up6(→))，所以eq\f(m－\f(1,2),－1)＝eq\f(n,－1)＝eq\f(－\f(1,2),1)，解得m＝1，n＝eq\f(1,2).所以點H的坐標為(1，eq\f(1,2)，0)，所以H為線段AB的中點．角度5空間向量的長度（模）問題例12.設、，向量，，且，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，則，解得，則，因為，則，解得，即，所以，，因此，.【對點演練】1.在空間直角坐標系中，若點，，則（）A．2B．C．6D．【答案】D2.（2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）已知.則__________．【答案】【解析】因為，且，所以，解得，則，故，所以.故答案為：．3.已知點，，則，兩點的距離的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為點，所以有二次函數(shù)易知，當時，取得最小值為的最小值為故選：C.4..在正方體中，，O是側(cè)面的中心，E，F(xiàn)分別是，的中點，點M，N分別在線段，上運動，則的最小值為（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】以D為坐標原點，DA、DC、方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，由題意，，，，，因為點M，N分別在線段，上運動，所以設，，所以，，所以，所以當時，，所以的最小值為，故選：C.1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標原點，若eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點B的坐標應為()A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)【答案】B【解析】eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝(9,1,1)．2．若△ABC的三個頂點坐標分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)．由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞0，得A為銳角；由eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＞0，得C為銳角；由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0，得B為銳角．所以△ABC為銳角三角形．3．已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是()A．(1,1,1) B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)【答案】B【解析】若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)【答案】D【解析】依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq\f(7,5).5．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于()A．3eq\r(10)B．2eq\r(10)C.eq\r(10)D．5【答案】A【解析】a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3eq\r(10).6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b為共線向量，則()A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2) D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)【答案】C【解析】∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9)(y≠0)，∴x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).7．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學?？茧A段練習）下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，設，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設，所以三個向量共面，故不可以作為空間向量一個基底，故B正確.對于C，設，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設，無解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故D錯誤.故選：B.8．（2023·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【解析】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.多選題9.已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．與夾角的余弦值為【答案】BCD【解析】因為，，而，故A不正確；因為，，所以，故B正確；因為，故C正確；又，故D正確.故選BCD.10．（2023·浙江·高二浙江省開化中學校聯(lián)考期中）空間直角坐標系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標為或D．在方向上的投影向量的坐標為【答案】AC【解析】根據(jù)空間向量的線性運算，，選項A正確；計算可得，三條邊不相等，選項B不正確；與平行的單位向量為：選項C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項D不正確，故選：AC.11．（2023·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學校考期末）已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實數(shù)，使得D．若，則【答案】ACD【解析】對于A項，由可得，解得，故A項正確；對于B項，由可得，解得，故B項錯誤；對于C項，假設存在實數(shù)，使得，則，所以不存在實數(shù)，使得，故C項正確；對于D項，由可得，解得，所以，故D項正確.故選：ACD.11．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學校考期中）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B．若，則的夾角是鈍角C．已知，，若與垂直，則D．已知A、B、C是空間中不共線的三個點，若點O滿足，則點O是唯一的，且一定與A、B、C共面【答案】ACD【解析】因為向量是空間的一個基底，則不共面，所以也不共面，所以也可以作為空間的一個基底，故A正確；當與的夾角為時，也可得，所以B錯誤；因為，，則，，且與垂直，所以，解得，故C正確；因為，所以，所以共面，所以四點共面，如圖，取中點為，取中點為，則，又因為，故，所以，即，則在上且靠近的三等分點處，即滿足此關(guān)系的點只有一個，所以點唯一，且與共面，故D正確；故選:ACD12．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且，若線段DE上存在點P，使得，則邊CG長度的可能值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】CD【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，即，又，所以，由，得，顯然且，則，所以，因為，所以，所以，所以.故選：CD.填空題13．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為________．【答案】eq\f(π,3)【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，又∵〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).14．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，則k＝________.【答案】－eq\r(39)【解析】∵a·b＝2k，|a|＝eq\r(13)，|b|＝eq\r(k2＋9)，且k＜0，∴cos120°＝eq\f(2k,\r(13)×\r(k2＋9))，∴k＝－eq\r(39).15．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x＋y的值為________．【答案】4【解析】由題意知a∥b，所以eq\f(x,1)＝eq\f(x2＋y－2,2)＝eq\f(y,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，①,x2＋y－2＝2x，②))把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1.當x＝－2時，y＝－6；當x＝1時，y＝3.當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－6))時，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，向量a，b反向，不符合題意，所以舍去．當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))時，b＝(1,2,3)＝a，a與b同向，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))此時x＋y＝4.16.（2023·遼寧大連·高二大連市第三十六中學校考期中）已知向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】且【解析】因為，所以，，因為向量與的夾角為銳角，所以，解得，當時，，解得，所以實數(shù)的取值范圍為且.故答案為：且.四、解答題17．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)當(λa＋b)∥(a－3b)時，求實數(shù)λ的值；(2)當(a－3b)⊥(λa＋b)時，求實數(shù)λ的值．【解析】∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴eq\f(λ－2,7)＝eq\f(5λ＋3,－4)＝eq\f(－λ＋5,－16)，解得λ＝－eq\f(1,3).(2)∵(a－3