北京市西城區(qū)第三中學高二上學期期中考試數學（理）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精北京三中2016-2017學年度第一學期學業(yè)測試高二年級數學期中試卷A卷(必修2）滿分100分一、選擇題（每題4分，共48分．每題只有一個正確答案）1。圓的圓心和半徑分別為(）．A。B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：，所以圓心坐標和半徑分別為（2,0)和2，選B.考點：圓標準方程2.過點與的直線的傾斜角是（)．A。B.C?；駾.【答案】A【解析】,又，∴．故選．②正切函數在[0，π）不單調，借助圖象或單位圓數形結合，確定傾斜角α的取值范圍。3。已知正四棱柱的高為，底面邊長為,則正四棱柱體對角線長為（)．A。B.C.D?！敬鸢浮緽【解析】對角線，故選．4.圓與圓的位置關系是（）．A.內切B。相交C.外切D。相率【答案】C【解析】圓心分別為,,則，又，故兩圓外切，故選．【點睛】判斷直線與圓的位置關系的常見方法（1)幾何法:利用d與r的關系.（2）代數法：聯立方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關系法:若直線恒過定點且定點在圓內,可判斷直線與圓相交。上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題。5.若直線與直線平行，則的值為(）．A。B?；駽。D.【答案】B【解析】∵，∴，解得或，又當時,兩條直線重合，故．故選．【點睛】兩條直線平行的判斷對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2。特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時,l1與l2平行.6。關于空間兩條直線，和平面，下列命題正確的是（）．A.若，，則B。若,，則C.若,，則D.若,，則【答案】D【解析】中，直線可能在面內，錯誤;中，與可能平行或異面，錯誤；中，與可能平行，可能相交，異面,錯誤；中，正確．故選．【點睛】1。在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內,否則，會出現錯誤。2.面面平行的判定中易忽視“面內兩條相交線”這一條件.3。如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質上也可以相交。4.運用性質定理，要遵從由“高維"到“低維”,但也要注意,轉化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化"。7。將圓錐的底面半徑和高都擴大到原來的倍，則所得圓錐的側面積是原來的（）．A.倍B.倍C.倍D.倍【答案】C【解析】把一個圓柱的底面半徑和高都擴大到原來的倍，則側面積就擴大倍．故選．8.直線截圓得到的弦長為(）．A.B.C.D.【答案】D【解析】圓心到直線的距離為,則截得弦長．故選．【點睛】弦長的兩種求法①代數方法：將直線和圓的方程聯立方程組，消元后得到一個一元二次方程。在判別式Δ＞0的前提下,利用根與系數的關系,根據弦長公式求弦長.②幾何方法:若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.9.如圖，三棱柱的側棱長和底面邊長均為,且側棱底面,其正（主）視圖是邊長為的正方形，則此三棱柱側(左）視圖的面積為(）．A。B。C.D?！敬鸢浮緽【解析】試題分析：由已知得已知三棱柱側（左）視圖是一個長為,寬為2的矩形，所以其面積為：;故選B．考點：三視圖．10。已知正三棱錐的側棱兩兩互相垂直,且都等于，則頂點到底面的距離是(）．A。B.C。D.【答案】C【解析】設正三棱錐為，點到面的距離為，則，∴，根據，可得，∴．故選．11.如圖，正方體的棱線長為，線段上有兩個動點，，且，則下列結論中錯誤的是（）．A.B.平面C。三棱錐的體積為定值D。的面積與的面積相等【答案】D【解析】試題分析：連接，則，所以平面,則，故A正確；因為平面，所以平面，故B正確；因為三棱錐的底面是底邊為，高為棱長的三角形，面積為,三棱錐的高為點到平面的距離,所以三棱錐的體積是定值,故C正確;顯然的面積與的有相同的底邊，且到的距離是棱長1，且到的距離是，即兩三角形的面積不相等，故D錯誤；；故選D．考點：1.空間中垂直關系的轉化;2.線面平行的判定;3.三棱錐的體積．【思路點睛】本題以正方體為載體考查線線、線面間的垂直關系、平行關系、點到直線的距離、點到平面的距離以及定值問題的探究，屬于難題；在求四面體的體積時,要注意頂點選擇的靈活性和合理性，如本題中求的體積時，因為在對角面上，且已證平面，所以容易想到求該三棱錐的體積時，以為底面。12.若點在圓外，則直線與圓的位置關系是（）．A.相離B。相切C.相交D。不確定【答案】C【解析】直線方程：，假設有一條過圓心且與已知直線垂直的直線方程為：;兩條直線的交點坐標為：，，那么此交點到圓心的距離的平方，帶入后求的距離的平方為：,由已知條件帶你在圓外，此距離一定小于，故選．二、填空題(每題4分，共32分)13.若，是異面直線，直線,則與的位置關系是__________．【答案】可能異面，可能相交．【解析】若，則由可得到，與，是兩條異面直線矛盾，所以與可能相交；也可能異面，不可能平行,故與的位置關系為相交或異面．14.點到直線的距離為__________．【答案】【解析】試題分析：根據已知的直線的方程，變形為一般式x—y-1=0,那么利用點到直線的距離公式：d=,故所求的答案為。考點：本試題考查了點到直線的距離的求解。點評：點到直線的距離是我們距離公式中常考常用的公式，運用公式時注意，要將原直線方程化為一般式，然后將點的坐標代入公式中求解得到，屬于基礎題。15。底面半徑為的圓柱側面積為，則其體積為__________．【答案】16【解析】底面周長，側面積高，高，體積．16。過點且與直線平行的直線方程是__________．【答案】【解析】斜率為，直線方程為，即．17。若與直線垂直，那么__________．【答案】【解析】由兩條直線垂直知，得．18。半徑為的球被平面所截得的截面圓半徑為，則球心到截面的距離為__________．【答案】【解析】球心到截面的距離．19.過點且與圓相切的直線方程為__________．【答案】或【解析】①當切線與軸垂直時,切線為．②設切線,即．則點到切線距離．解得，即，切線為或．【點睛】圓的切線方程的兩種求法①代數法：設切線方程為y－y0＝k（x－x0），與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.②幾何法：設切線方程為y－y0＝k（x－x0）,利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d＝r,進而求出k.20。有以下命題：①斜率互為負倒數的兩直線垂直．②空間的四個點最多可確定個平面．③已知一個平面，那么對于空間內的任意一條直線，在平面內一定存在一條直線，使得與異面．④已知兩條異面直線,和兩個平面，，若,，,，則．其中正確命題的序號為__________．【答案】①②【解析】①②正確．③中，當直線在面上時，結論不成立．④中，與可能都平行于與相交的直線,故④錯誤．三、解答題(每題10分，共20分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)21.已知直線經過直線與直線的交點，且垂直于直線．(Ⅰ）求直線的方程．（Ⅱ）求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)【解析】試題分析：（Ⅰ）聯立兩直線方程，解得交點的坐標,由兩直線垂直可得所求直線的斜率，再由點斜式方程寫出直線方程化簡為一般式即可;（Ⅱ）在直線方程中分別令可求得直線與軸交點的坐標，從而可得三角形面積．試題解析：（Ⅰ），得，故為，又,∴．直線．即(Ⅱ）時，,時，，故．22。如圖,在四棱錐中,，,且，平面底面，,和分別是和的中點．（Ⅰ)求證：底面．（Ⅱ）求證：平面．(Ⅲ）求證：平面底面．【答案】（Ⅰ)答案見解析；（Ⅱ）答案見解析；（Ⅲ）答案見解析．【解析】（Ⅰ）因為平面底面,且垂直于這兩個平面的交線,所以底面.（Ⅱ）因為，，是的中點，所以,且。所以為平行四邊形.所以,。又因為平面，平面,所以平面。(Ⅲ）因為，并且為平行四邊形，所以，。由(Ⅰ)知底面，所以，所以平面。所以.因為和分別是和的中點，所以。所以.所以平面.所以平面平面?！究键c定位】本題考查了直線和平面平行、垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理和性質定理，考查推理論證能力。B卷［必修2+選修簡易邏輯］滿分50分一、填空題（每題5分，共40分)23。命題“，”的否定是__________．【答案】，【解析】命題的否定，將“”變?yōu)椤啊?，將“”變?yōu)椤?．24.點關于直線的對稱點的坐標為__________．【答案】【解析】由圖象可知，點關于點對稱點為．25。下圖中的三個直角三角形是一個體積為的幾何體的三視圖，則等于__________．【答案】4得．26.如右上圖，直線垂直于圓所在的平面，內接于圓，且為圓的直徑,點為線段的中點，現有以下命題:①；②平面;③點到平面的距離等于線段的長．其中正確的命題序號是__________．【答案】①②③【解析】∵面，面，∴，又,，∴面，而面，∴，故①正確．∵點為線段的中點，點為的中點，∴,又面，面，∴面,故②正確．∵面,∴點到面的距離等于線段的長，故③正確．27。已知命題“”是假命題，給出下列四個結論:①命題“”是真命題；②命題“”是假命題；③命題“”是真命題；④命題“”是假命題;其中正確的結論為__________．【答案】①④【解析】由“”是假命題，則，都為假命題,可知，都為真命題．因而可知：①④是真命題．【點睛】(1）“p∨q"、“p∧q"、“p"形式命題真假的判斷關鍵是對邏輯聯結詞“或"“且”“非”含義的理解，其操作步驟是：①明確其構成形式；②判斷其中命題p，q的真假；③確定“p∨q”“p∧q”“p”形式命題的真假.(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p則是“與p的真假相反”.28。點是圓上任意一點,則的最小值是__________．【答案】【解析】根據題意畫出圖形,連接,如圖所示：由圓的方程，得到，半徑，∵直線為圓的切線，∴,即，又，，∴，∵為圓上任一點,且表示直線的斜率，∴，則的最小值為．29。在中，若、的坐標分別是、，邊上的中線的長度為,則點的軌跡方程是__________．【答案】【解析】由題意知：點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓,除去軸上的兩個交點，點的軸跡方程為：．30。如右圖，平面，點為垂足,平面，，若,，則__________．【答案】【解析】因為平面，平面,，所以根據三垂線定理可得：．設，因為,,所以，，,所以在中有，并且，,所以．二、解答題（本題10分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）31。已知圓過,，且圓心在直線上．（Ⅰ）求此圓的方程．（Ⅱ）求與直線垂直且與圓相切的直線方程．（Ⅲ）若點為圓上任意點，求的面積的最大值．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）圓過兩點,則圓心必在線段的