第二章：解析函數(shù)

第二章：解析函數(shù)§1解析函數(shù)的概念1.

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(1)導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù),存在，則稱在點可導(dǎo),并把這個極限值稱為

z0是區(qū)域D內(nèi)的一點.若極限

在點的導(dǎo)數(shù)，記做或

定義中的極限式可以寫為注意的方式是任意的.若在區(qū)域D內(nèi)每一點都可導(dǎo),則稱在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)。例1求例2問是否可導(dǎo)。z(2)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)，則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).

由知,在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).但是二元實函數(shù)連續(xù),于是根據(jù)知,函數(shù)連續(xù).(3)求導(dǎo)法則(1)其中c為復(fù)常數(shù).(2)其中n為正整數(shù).其中其中與是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù),且

復(fù)變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致.

微分定義設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若存在復(fù)常數(shù)A,使得

則稱在點可微，稱A△z為(4)

微分的概念記作定理復(fù)變函數(shù)在點可導(dǎo)的充分必要條件是在點可微，且這個定理表明,函數(shù)在可導(dǎo)與在可微等價.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱在區(qū)域D內(nèi)可微。2.

解析函數(shù)的概念定義設(shè)在區(qū)域D有定義.(1)設(shè),若存在的一個鄰域，使得在此鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱在處解析,也稱是的解析點.(2)若在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱在區(qū)域D內(nèi)解析,或者稱是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).

(3)設(shè)G是一個區(qū)域，若閉區(qū)域且在G內(nèi)解析，則稱在閉區(qū)域上解析.若函數(shù)在處不解析，則稱是的奇點.若是的奇點,但在的某鄰域內(nèi),除外,沒有其他的奇點，則稱是函數(shù)的孤立奇點.δδ/2函數(shù)在處解析和在的某一個鄰域內(nèi)解析意義相同.

r=δ/2可導(dǎo)解析

復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價的.

事實上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo).

反之,設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo),則對任意存在z的某一個鄰域U,使得U

D,由在D內(nèi)可導(dǎo),可知在U內(nèi)可導(dǎo),即在z處解析.注:

上述結(jié)論對閉區(qū)域不成立。由例1和例2知,函數(shù)是全平面內(nèi)不解析的連續(xù)函數(shù).的解析函數(shù)，但是函數(shù)是處處例3：研究函數(shù)、和的解析性。根據(jù)求導(dǎo)法則，很容易得到下面的結(jié)論.1）設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析,則也在D內(nèi)解析.當(dāng)時,是的解析點.特別地,多項式P(z)在全平面內(nèi)解析,有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點之外解析,分母為零的點是有理分式的奇點.定理：2）設(shè)函數(shù)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析，函數(shù)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析。如果對D

內(nèi)的每一個點z，函數(shù)的對應(yīng)值h都屬于G，那么復(fù)合函數(shù)在D內(nèi)解析。GD§2.2

函數(shù)解析的充要條件

判斷函數(shù)的解析性定義其他方法？（復(fù)雜）一、函數(shù)可導(dǎo)的充要條件定理一、復(fù)變函數(shù)處可微(即可導(dǎo))的充分必要可微，并且在該點滿足Cauchy-Riemann方程此時在區(qū)域D內(nèi)有定義，則在D內(nèi)一點條件是二元函數(shù)在處都),(yx證明：必要性因為在z可微，故由(2.1.2)式有對于充分小的其中設(shè)于是我們有從而由于所以由此可知，和在可微，且滿足方程且滿足Cauchy-Riemann方程.充分性.

設(shè)在處可微,由于由在處可微,有因此我們有再由柯西-黎曼方程有因為故，當(dāng)△z趨向于零時，因此即函數(shù)在z=x+yi處可導(dǎo)。定理二復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是在區(qū)域D內(nèi)可微,且在D內(nèi)滿足Cauchy-Riemann方程二、函數(shù)解析的充要條件解析函數(shù)的判定方法:(1)定義(2)Cauchy-Riemann方程,例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析。例2設(shè)其中a,b,c,d是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r,函數(shù)f(z)在復(fù)平面上解析.

例3

如果在區(qū)域D內(nèi)處處為零,則f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).證明:由函數(shù)可導(dǎo)知所以都是常數(shù).因此f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).例4：如果為一解析函數(shù)，且，那么曲線族與必互相正交。其中c1,c2為常數(shù).§2.3

初等函數(shù)1指數(shù)函數(shù)2對數(shù)函數(shù)3冪函數(shù)4三角函數(shù)和雙曲函數(shù)5反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)目的:

將指數(shù)函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)的情形.由42頁例1可知,函數(shù)在z平面上解析，且當(dāng)z為實數(shù),即當(dāng)y=0時,與通常實指數(shù)函數(shù)一致,因此給出下面定義.

定義假設(shè)則由定義復(fù)指數(shù)函數(shù)，或簡記為記顯然

定理設(shè)為指數(shù)函數(shù)，則在全平面解析，且從而其中n正整數(shù);(1)(2)當(dāng)時,其中(3)是周期函數(shù),其周期是n非零整數(shù),(4)的充分必要條件是n為整數(shù).即2.

對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),即把滿足方程的函數(shù)稱為z的對數(shù)函數(shù)，記作令則由可得從而由復(fù)數(shù)的相等的定義知,即其中k為整數(shù),或所以由于是多值的，所以是多值函數(shù).如果記則對數(shù)函數(shù)可寫為對應(yīng)某個確定的k,稱為對數(shù)函數(shù)的第k個個分支,對應(yīng)k=0的分支，稱為對數(shù)函數(shù)主支.

即是對數(shù)主支,稱為對數(shù)函數(shù)的主值.

對數(shù)函數(shù)各分支之間，僅差的整數(shù)倍例1：求以及他們的相應(yīng)主值。注：①負(fù)數(shù)也有對數(shù)②正實數(shù)的對數(shù)也是無窮多值的

定理設(shè)為任意復(fù)數(shù)，則注：①②對數(shù)函數(shù)的解析性.

考慮對數(shù)主支

其在即在除去原點與負(fù)實軸的復(fù)平面上,

處處連續(xù).定理1.8對數(shù)主支在區(qū)域上解析(如圖),并且D對于其他各給定的對數(shù)分支，因為(k確定),所以也有因此，對于確定的k,稱為一個單值解析分支.補例求的值.解因為所以事實上，以上結(jié)果還可以由直接得到．3.

冪函數(shù)定義設(shè)z為不等于零的復(fù)變數(shù),m為任意為一個復(fù)數(shù)，定義冪函數(shù)即當(dāng)z為正實變數(shù)，m為實數(shù)時，它與實冪函數(shù)的定義一致，而z為復(fù)變數(shù)，m為復(fù)數(shù)時1.當(dāng)m是整數(shù)時，是單值函數(shù)；2.當(dāng)m為有理數(shù)時,其中為既約分?jǐn)?shù),那么是有限多值（q個）的，且3.當(dāng)m為無理數(shù)或虛部不為零的復(fù)數(shù)時，是無窮多值的.注:上述定義實質(zhì)上包含了復(fù)數(shù)的n次冪函數(shù)

與n次方根函數(shù)的定義.因為(1)當(dāng)m=n(n是正整數(shù))時,(指數(shù)為n項之和)(n個因子之積)(n個因子z之積)當(dāng)z給定時，它與復(fù)數(shù)z的n次方根的定義完全一致.(2)當(dāng)時，有因為的每一個分支都在區(qū)域上解析,所以冪函數(shù)在該區(qū)域上解析,并且根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,可得解例2求和的值.因為將兩式相加與相減,得定義1.10定義三角函數(shù)與雙曲函數(shù)如下:正弦函數(shù)余弦函數(shù)4三角函數(shù)和雙曲函數(shù)雙曲正弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)

當(dāng)z是實變數(shù)時，它們與實的正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)是一致的.由于在復(fù)平面上是解析的，所以正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)在整個復(fù)平面上都是解析的.容易證明并且具有下面的一些性質(zhì):是以(1)為周期的周期函數(shù)；是以為周期的周期函數(shù).(2)為奇函數(shù);為偶函數(shù).(3)一些恒等式關(guān)系仍成立.(4)

三角函數(shù)與雙曲函數(shù)滿足關(guān)系式(5)

不是有界函數(shù).因為所以雖然但是當(dāng)時,所以當(dāng)時,即是無界函數(shù).這與實正弦函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別.余弦函數(shù)類似.補例解方程解由得到關(guān)于的二次方程其根為兩邊取對數(shù)，有例1.20解方程解因為所以原方程可改寫為即所以可化簡得