中外數(shù)學競賽樣章

本書是我國著名數(shù)學家李炯生等人于#年編寫的一本數(shù)學競賽輔導資料書中輯錄了大量的國內(nèi)外中學生數(shù)學競賽試題根據(jù)其涉及的數(shù)學分支分為算術(shù)方程與不等式平面幾何立體幾何分析多項式組合數(shù)學等類別并把解題所需要的數(shù)學知識歸納總結(jié)為從#年中國數(shù)學會普及工作委員會成立到#年第!屆國際數(shù)學奧林匹克在北京成功舉辦我國的數(shù)學競賽活動在普及的基礎之上逐漸提高起來當時出版了一大批由我國著名數(shù)學家親自撰寫的科普讀物如上海教育出版社的中學生文庫叢書湖南教育出版社的走向數(shù)學叢書中國科學技術(shù)大學出版社的數(shù)學奧林匹克輔導叢書和數(shù)學奧林匹克競賽叢書等在當時的經(jīng)濟條件和國際環(huán)境下各種國外資料的收集和整理是一件非常不容易的工作可以說老一輩數(shù)學家的著作是他們的汗水和心血的結(jié)晶他們的學識和經(jīng)驗值得我們傳承下去$如今我國的經(jīng)濟快速發(fā)展國際地位不斷得到提升參加國際數(shù)學競賽所取得的成績也一直名列前茅隨著我國數(shù)學競賽活動的深入和廣泛開展以普及數(shù)學知識激發(fā)數(shù)學興趣促進數(shù)學教改提高數(shù)學素質(zhì)為宗旨的數(shù)學競賽活動被外界賦予了許多與數(shù)學競賽活動無關的職能在數(shù)學競賽乃至數(shù)學被妖魔化的今天再版重印這本書就顯得十分重要李炯生老師現(xiàn)已年近八旬應李炯生老師和中國科學技術(shù)大學出版社的邀請我對原書的稿樣進行了仔細的校對$與中國相比世界各地的中學生數(shù)學競賽活動都受到廣泛的重視數(shù)學競賽的水平也都非常高學生的能力并不比中國學生差例如在(年第'屆國際數(shù)學奧林匹克中韓國隊力壓中國隊取得團體第一名有鑒于此我從最近幾年的世界各地數(shù)學奧林匹克競賽真題中!精選了一百余道具有各種難度的典型試題配上自己的解答補充進書的新版中供讀者借鑒參考盡管題目的形式可能比較新穎難度也可能比較大但解題所需要的數(shù)學知識仍然離不開基本的數(shù)學概念數(shù)學方法和數(shù)學思維方式$本書主要面向從事數(shù)學競賽活動輔導的中學教師和參加高水平數(shù)學競賽的中學生可作為他們的培訓資料或參考書也可供廣大數(shù)學競賽愛好者使用參考由于水平的限制雖 然希望不辜負李炯生老師的期望但書的新版中仍難免有錯誤對題目的解答也很可能不是最好的方法衷心希望讀者批評指正并提出建議$'年 自從"年羅馬尼亞首次舉行中學畢業(yè)生數(shù)學競賽以來已經(jīng)整整一百年這期間許多國家如匈牙利蘇聯(lián)波蘭保加利亞南斯拉夫捷克斯洛伐克美國中國民主德國加拿大印度典越南古巴荷蘭意大利盧森堡亞等都先后舉行了數(shù)學競賽"年在羅馬尼亞倡議下首屆國際數(shù)學奧林匹克在布加勒斯特舉行以后每年由各國輪流舉辦迄今已進行了!屆其規(guī)模不斷擴大由開始幾個國家參加發(fā)展到現(xiàn)在每年有四五十個國家參加近年來還出現(xiàn)許多地區(qū)性數(shù)學競賽如奧地利波蘭數(shù)學競賽由希臘羅馬尼亞保加利亞參加的巴爾干地區(qū)數(shù)學競賽由丹麥冰島挪威芬蘭瑞典共同舉辦的斯堪德那維亞地區(qū)數(shù)學競賽以及由埃及利比亞突尼斯阿爾及利亞摩洛哥參加的馬格里布地區(qū)數(shù)學競賽數(shù)學競賽受到各國如此的重視這是因為數(shù)學競賽是普及數(shù)學教育發(fā)現(xiàn)人才和培養(yǎng)人才的一種特殊而有效的形式在以往數(shù)學競賽的優(yōu)勝者中已經(jīng)涌現(xiàn)許多著名的世界一流數(shù)學家例如在特別重視數(shù)學競賽的匈牙利+年的數(shù)學競賽金牌得主8在級數(shù)的可加性理論方面做出了許多杰出工作'年的金牌得主提出了測度為測度論的發(fā)展做出了杰出貢獻)年的金牌得主在泛函分析中提出了凸性定理(年的金牌得主H在逼近論方面的貢獻引人注目他和著名數(shù)學家合著的分析中的定理和問題已成為經(jīng)典性著作$在我國已故著名數(shù)學家華羅庚的倡導和支持下北京上海天津營口都在%*&年華羅庚親自主持全國八省市數(shù)萬名高中學生參加的數(shù)學競賽從!年起全國各省市自治區(qū)高中數(shù)學競賽每年在#月舉行%年開始舉辦每年一屆的全國初中數(shù)學競賽*年在高年級小學生和初中一二年級學生中又舉辦了華羅庚金杯賽$%年我國首次選派兩名選手參加首戰(zhàn)失利成績欠佳為改變這種局面年起我國每年都舉辦全國高中數(shù)學冬令營經(jīng)過集中強化訓練參加的六名選手的成+" ## 地位這一重大課題已經(jīng)擺在我們面前我國在中能取得優(yōu)異成績$除參賽選手的素質(zhì)和刻苦鉆研外教練員在系統(tǒng)輔導和強化訓練方面所做的工作也極其重要在數(shù)學競賽輔導方面我國已經(jīng)做了許多很好的工作積累了豐富經(jīng)驗但是在數(shù)學競賽輔導工作的系統(tǒng)化科學化規(guī)范化上仍有許多課題值得進一步探討例如數(shù)學競賽究竟涉及哪些數(shù)學分支,如何掌握每個分支在內(nèi)容上的廣度和深度,等等都是應當認真研究的問題$積極參與活動而且成績一貫優(yōu)異的蘇聯(lián)在這方面做了大量細致的工作他們的經(jīng)驗很值得借鑒+年蘇聯(lián)科學出版社推出了謝爾蓋耶娃主編的外國數(shù)學競賽$&&!!*一書書中把數(shù)學競賽涉及的數(shù)學分支歸納為代數(shù)幾何數(shù)論初等微積分"初等概率論組合數(shù)學和圖論并且把上述各分支經(jīng)常在數(shù)學競賽中應用的最為重要的事實歸納為#個定義和個定理然后應用它們來解#年代以來選自#多個國家和地區(qū)國際數(shù)學奧林匹克的試題以及國際數(shù)學奧林匹克的各屆評審委員會中#多個成員國提供的備選題共約道題顯示了這個定理的威力謝爾蓋耶娃等人實際上是提出了一種設想或者說是給出了一個邊界使得數(shù)學競賽輔導工作能夠擺脫那種在數(shù)學內(nèi)容的廣度上無限制擴展在深度上無限制延伸的局面這在數(shù)學競賽輔導工作中還是首次誠然!個定理是否足夠這個定理是否選得都合宜其中的定理是否都不可替代等等都是可以討論的基于這個原因我們將該書編譯介紹到國內(nèi)以期引起重視促使數(shù)學競賽輔導工作的系統(tǒng)化科學化規(guī)范化向更高層次發(fā)展$正如原著書名所表明的那樣原著沒有收入蘇聯(lián)的數(shù)學競賽試題我國的試題收入的也很少為彌補這方面的欠缺我們增補了適量的蘇聯(lián)和我國的試題希望本書在內(nèi)容上盡可能包含國內(nèi)外數(shù)學競賽中各種類型的題目在方法上能夠窮盡國內(nèi)外數(shù)學競賽中各種典型的解題技巧以適應有志于數(shù)學競賽的中學生自學的需要也便于中學數(shù)學教師和數(shù)學奧林匹克教練作為輔導教材之用讀者倘能悉心鉆研熟練掌握有關的數(shù)學知識體會解題方法之精妙不論對親自參加數(shù)學競賽還是對進行競賽輔導都是有益的$數(shù)學競賽活動將在我國繼續(xù)深入地開展下去我們謹把此書奉獻給全國廣大中學數(shù)學教師和中學生愿它能伴隨讀者在數(shù)學競賽中取得更好的成績$# 前 第!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第"部分題目!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第!章算術(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!整除性素數(shù)與合數(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 數(shù)集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%數(shù)的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 方程與方程組!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!&含整數(shù)部分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#圓!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!多邊形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '幾何不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)幾何極值問題!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第)章立體幾何!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%四面體!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第%章分析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+數(shù)&極

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"函數(shù)的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#函數(shù)方程!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第*章多項式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!多項式的根!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!((多項式的整除性和相等!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'多項式的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第+章組合數(shù)學

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+初等概率論!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!整除性素數(shù)與合數(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(方程的整數(shù)解和有理數(shù)解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'階乘與二項式系數(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)數(shù)集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%數(shù)的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第( *方程與方程組!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 平面幾何!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 圓!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 多邊形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(點線段與直線!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!目錄幾何不等式幾何極值問題第第) 立體幾何 四面體*多面體球面和其他集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第% 分析 數(shù)列 極值 函數(shù)的各種性質(zhì)# 函數(shù)方程第* 多項式! 多項式的根((多項式的整除性和相等 多項式的各種性質(zhì)第+ 組合數(shù)學()集合與子集% 利用圖的題目* 各種組合問題 初等概率論參考文獻第!部分概念和定理國內(nèi)外數(shù)學競賽試題涉及許多數(shù)學分支如代數(shù)幾何數(shù)論初等微積分初等概率論"組合數(shù)學和圖論等這一部分輯錄了求解各類數(shù)學競賽試題所必需的取自上述各分支的最重要的概念和定理數(shù)學名詞以及某些定理的名稱沿用現(xiàn)行中學數(shù)學教科書即參考文獻!或引用參考文獻#這一部分包含了個定理大部分都已注明出處從中可查到定理的證明至于比較簡單的定理則不再指明參考文獻當然如果能自行給出定理的證明!則不論對有關數(shù)學知識的理解與掌握還是對提高求解數(shù)學競賽題的能力都是有所裨益的關于集合的概念見參考文獻 定義!的每個元素都屬于集合#!稱為集合的子集記定義"集合和的并集"#是由所有至少屬于集合和中一個集合的元素組成的集合集合"和#的交集"$#是由所有既屬于"又屬于#的元素組成的集合!定義集合和的差集"%是集合的子集它由所有屬于但不屬于的元元素組由一些元素組成如果元素組中的元素相同而只是元素的排列次序不同不認為是不同的元素組比如$&$則稱為無序組如果元素組中的元素排列次序不同得到的元素組認為是不同的則稱為有序組!定義$集合"和的笛卡兒積"'#是所有有序元素對"#組成的定理狄利克雷原理 如果把&元集合表成它的'個子集的并集則有某個集至少含&個元素'定理數(shù)學歸納法原理 (%&命題成立如果對某個&&!'命題+成立則命題也成立則命題對每個&&!'都成立"# ,('!J LM+C">/!是兩條對棱C的長&是兩條對棱"+和#C的距離夾角則有第%題 定理棱錐的體積

!其中>%是棱錐底面的面積,!是它的高如果存在一個球它和棱錐的底面以及其他每個側(cè)J&# >! !其中2%是該球的半徑;!是棱錐的表面積定理參考文獻第題(外切于半徑為2!定理//和定理/"的公式對所有四面體均成立關于在平面上的射影也稱投影的概念見參考文獻#凡提到在平面上的應用定理有如下結(jié)論定理*)設平面!和$相交其二面角為在平面!上取面積為>的圖形$!#!定理)!設!是空間中的非零向量H是任意一個點則對每個'&"!!=&'定理參考文獻第"題("#+C中連接三對對棱的中點得到三條線段它們交于一點--是這三條線段的每一條線段的中點并且對任意第"部分 第!章 見第#部分定義定理 英國設+(是整數(shù)#+(是它們的一個排列證明##,$$,+,( 美國紐約設+&是任意整數(shù)試問&99'&9%9' 捷克英國在無限的三角形&#'%) 中國安徽省證明在任意五個整數(shù)中必有三個數(shù)它們的和能被!整除 捷克對任意素數(shù)的分子.被6整除

&&!' 6,), 個重要定理和競賽題精 /!即方程無解總之原方程有三個解!$!&!$.&$$&!即(設$由數(shù)的定義有$$$明當$/$時不等式$!$1!不滿足設$.則$$$$矛盾剩下只需研究$由#到由%到#及由#到$的情況&1 #中即在此區(qū)間中方程無解設$此時方程成為$!&!!由此$!但這個數(shù)大于1 &中也無解最后當# $時有方程成為 !它1

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! !$9端等 ''9''!!*1'.&&.!#&.1&.O&*第!部分 另一方面因此7對任意$&"都不成立.&&!.$!$$!即.$!&.$!$!&&+.&!當.&&時因為$1&!所以*+&&-&&.&&&& &#$&$ &&&!&1其次設對某個&&!則存在.&!使得

即 ##$$除但不被)整除不可能于是對任意&&!都有&&$&**#$,$, 中外數(shù)學競賽頂點的概率則質(zhì)點從出發(fā)最后停在的概率為用1表示質(zhì)點從出發(fā)最后停在的概率則質(zhì)點從#出發(fā)最后停在的概率為#由對稱性得到質(zhì)點從C