平面圖形的鑲嵌

創(chuàng)設情境，學習新知每天我們走到街上，或者我們家里裝修房子時，都會看到各種圖案的地磚，同學們是否注意到這些圖案是由哪些幾何圖形拼成的？正方形長方形創(chuàng)設情境，學習新知每天我們走到街上，或者我們家里裝修房子時，都會看到各種圖案的地磚，同學們是否注意到這些圖案是由哪些幾何圖形拼成的？正六邊形平行四邊形創(chuàng)設情境，學習新知同學們，你們知道為什么這些幾何圖形能鋪滿整個地面嗎？看來地磚中蘊含著豐富的數(shù)學問題，今天我們就一起通過實驗來探究地磚中的數(shù)學問題.工人師傅用地磚鋪地，用瓷磚貼墻時，都有哪些要求呢？磚與磚不留空隙把底面或墻面全部覆蓋創(chuàng)設情境，學習新知從數(shù)學的角度來看，就是用一些不重疊擺放的多邊形將屏幕的一部分（如底面、墻面等）完全覆蓋，通常把這類問題叫做平面鑲嵌.鑲嵌的原則是不重疊，又無空隙.創(chuàng)設情境，學習新知利用鑲嵌我們可以得到一些絢麗多彩的圖案，那么什么樣的多邊形能夠進行鑲嵌？是不是所有的多邊形都能進行平面鑲嵌呢？發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論請拿出準備好的正多邊形紙片，以小組為單位，試一試，用同一種正多邊形能否鑲嵌成平面圖案？如果能，共有幾種正多邊形能鑲嵌成平面圖案呢？發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論哪些可以鑲嵌？正方形、正三角形、正六邊形.為什么只有這三種正多邊形可以鑲嵌？因為拼圖時圍繞一點的各個角的和是360°，這三種正多邊形的內(nèi)角都是360°的約數(shù).想一想：多邊形鑲嵌成平面圖形的條件是什么？拼在同一點的各個角的和是360°.通過剛才的拼圖，你知道哪些正多邊形不能鑲嵌？正五邊形和正八邊形都不能鑲嵌，因為它們的內(nèi)角都不是360°的約數(shù).發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論用若干正三角形和若干正六邊形能鑲嵌整個平面嗎？如果能，請你試一試！方案一：用4個正三角形和1個正六邊形可以鑲嵌.為什么它們可以鑲嵌？因為正三角形的各個內(nèi)角是60°，正六邊形的各個內(nèi)角是120°，而4×60°+120°=360°，滿足鑲嵌條件.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論用若干正三角形和若干正六邊形能鑲嵌整個平面嗎？如果能，請你試一試！方案二：用2個正三角形和2個正六邊形可以鑲嵌.為什么它們可以鑲嵌？因為正三角形的各個內(nèi)角是60°，正六邊形的各個內(nèi)角是120°，而2×60°+2×120°=360°，滿足鑲嵌條件.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論除了正三角形和正六邊形可以鑲嵌外還有其他的組合嗎？正三角形和正方形組合、正八邊形和正方形組合、正三角形和正十二邊形組合、正五邊形和正十邊形組合.你能寫出計算過程嗎？發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論正三角形和正方形組合：3×60°+2×90°=360°正八邊形和正方形組合：2×135°+90°=360°正三角形和正十二邊形組合：60°+2×150°=360°正五邊形和正十邊形組合：2×108°+144°=360°.正五邊形和正十邊形雖然滿足鑲嵌條件，但不能鋪滿整個平面，說明鑲嵌還應滿足延續(xù)性.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論多種正多邊形只要滿足鑲嵌的條件，就可以鑲嵌成美麗的圖案.①用正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌成一個平面圖案，如下圖：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論②用任意三角形可以鑲嵌成一個平面圖案，用任意四邊形可以鑲嵌成一個平面圖案，如下圖：123123123123123123OA1234123412341234OA發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論③觀察上述實驗結果，得出多邊形能鑲嵌成一個平面圖案需要滿足的兩個條件：a：拼接在同一個點（例如上圖中的點O）的各個角的和恰好等于360°（周角）；b：相鄰的多邊形有公共邊（例如上圖中的點OA兩側的多邊形有公共邊OA）.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論三角形的內(nèi)角和等于180°，在上圖中，∠1+∠2+∠3=180°，因此，把6個全等的三角形適當?shù)仄唇釉谕稽c，一定能使以這個點為頂點的6個角的和恰好等于360°，并且使邊長相等的兩條邊貼在一起.于是，任意三角形能鑲嵌成一個平面圖案.123123123123123123OA解釋實驗結果：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結結論由多邊形內(nèi)角和公式，可以得到五邊形的內(nèi)角和等于（5-2）×180°=540°.因此，正五邊形的每個內(nèi)角都等于：540°÷5=108°.360°不是108°的整數(shù)倍，也就是說用一些108°的角拼不成360°的角.因此，用正五邊形不能鑲嵌成一個平面圖案.解釋實驗結果：正五邊形不能鑲嵌.運用知識，解決問題1.下列正多邊形不能夠鑲嵌成平面圖案的是（）A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形C運用知識，解決問題2.如圖，足球由正五邊形皮塊（黑色）和正六邊形皮塊（白色）縫成.如果取下一黑兩白兩兩相鄰的三塊皮塊，能不能將這三塊皮塊連在一起鋪平？為什么？解：因為正五邊形的一個內(nèi)角是108°，正六邊形的一個內(nèi)角是120°，而108°+2×120°不等于360°，所以不能將這三塊皮塊連在一起鋪平.運用知識，解決問題3.下列正多邊形的組合中，不能鑲嵌的是（）A.正方形和正三角形B.正方形和正八邊形C.正三角形和正十二邊形D.正方形和正六邊形D舉一反三，拓展延伸以小組為單位，任意剪出一些形狀、大小相同的四邊形，拼拼看，它們能否鑲嵌成平面圖案？拼圖時，讓四邊形相鄰的邊相同，然后圍繞一點的四個角正好是四邊形的四個內(nèi)角，每個內(nèi)角只用一次，就能鋪滿整個平面.通過剛才的拼圖，你們知道為什么任意四邊形能鑲嵌嗎？因為四邊形的內(nèi)角和是360°.還有哪些任意多邊形能鑲嵌呢？三角形、長方形、平行四邊形、菱形，因為它們的內(nèi)角和都是360°的約數(shù).舉一反三，拓展延伸欣賞美麗的鑲嵌圖片.舉一反三，拓展延伸一些不規(guī)則的圖形也能鑲嵌，請欣賞一幅飛馬鑲嵌圖案.反饋小結，分層