2023屆高考數(shù)學二輪復習大題專講專練第27講切點弦結論含解析

第27講切點弦結論平面內一點引曲線的兩條切線，兩切點所在直線的方程叫作曲線的切點弦方程，切點弦方程是解析幾何中的熱點問題，而切線往往和導函數(shù)相關，近幾年高考數(shù)學的趨勢也是把解析幾何和導函數(shù)相結合作為壓軸題，這類題目綜合性強，難度一般較大，圓錐曲線的切線問題有兩種處理思路：(1)導數(shù)法：將圓錐曲線方程化為函數(shù)y＝f(x)，利用導數(shù)法求出函數(shù)y＝f(x)在點(x0，y0)處的切線方程，特別是焦點在y軸上的拋物線常用此法求切線．(2)判別式法：根據(jù)題中條件設出切線方程，將切線方程代入圓錐曲線方程，化為關于x(或y)的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件：判別式△＝0，可解出切線方程．圓錐曲線的切線問題要根據(jù)曲線不同，選擇不同的方法．下面介紹一些切線和切點弦相關的結論，來幫助快速解題．一、圓相關的切線結論結論一：點在圓上，過點作圓的切線方程為．結論二：點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．結論三：點在圓內，過點作圓的弦(不過圓心)，分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．證明：由上述結論二可得過的圓的切點弦的直線方程為．又弦過點，即，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．二、一般圓相關的結論結論四：點在圓上，過點作圓的切線方程為．結論五：點在圓外，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．結論六：點在圓內，過點作圓的弦(不過圓心)，分別過作圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為．三、橢圓相關結論結論七：點在橢圓上，過點作橢圓的切線方程為．結論八：點在橢圓外，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．結論九：點在橢圓內，過點作橢圓的弦(不過橢圓中心)，分別過作橢圓的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．證明：由上述結論八可得過的橢圓的切點弦的直線方程為，又弦過點，即，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．四、雙曲線相關結論結論十：點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．結論十一：點在雙曲線外，過點作雙曲線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．結論十二：點在雙曲線內，過點作雙曲線的弦(不過雙曲線中心)，分別過作雙曲線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．五、拋物線相關結論結論十三：點在拋物線上，過點作拋物線的切線方程為．結論十四：點在拋物線外，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則切點弦的直線方程為．結論十五：點在拋物線內，過點作拋物線的弦，分別過作拋物線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為直線．切線方程問題【例1】若點為曲線1上任意一點．證明：直線與曲線恒有且只有一個公共點．【解析】證明：(1)當時，由可得．①當時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點．②當時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點．(2)當時得，代入，消去整理得．①由點為曲線上一點，故，即，于是方程①可以化簡為，解得．將代入得．說明直線與曲線有且只有一個交點．綜上，不論點在何位置，直線與曲線恒有且只有一個交點，交點即．【例2】已知拋物線y2＝x的焦點為F，為拋物線上一點．證明：過點的切線萬程為：．【解析】證明：由已知，切線的斜率存在且不等于0．設過點的切線方程為，則聯(lián)立方程，消去化簡可得．∵直線與拋物線相切，則，得，而點為拋物線上點，則，代入可得，∴．，即．用切點弦結論解決定點、定值問題【例1】已知橢圓，點為直線上的動點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．【解析】證明：設切點為，點．由切線方程結論得直線方程為，直線方程為．通過點，∴滿足方程：．∴直線恒過點．【例2】過橢圓上異于其頂點的任一點．作圓的切線，切點分別為不在坐標軸上)，若直線的橫縱截距分別為，求證：為定值．【解析】設點，點，點，由是切點可得．∵兩點唯一確定一條直線，∴直線，即．由截距式可知，．∵在橢圓上，∴．，即為定值．用切點弦結論解決最值問題【例1】已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，過直線上一點作拋物線的兩條切線，切點為，求與(O為拋物線的頂點)面積之和的最小值．【解析】設點，點．由切點弦結論可知切線的方程為的方程為．設均過，∴．故的方程為，由此可得恒過定點．聯(lián)立得，．設，則，∴，當且僅當，即時，等號成立．∴的最小值為3．【例2】如下圖所示，過圓上任意一點，作拋物線的兩條切線，與拋物線相切于點，與軸分別交于點，求四邊形面積的最大值．【解析】設點，點，點．切線的方程為，切線的方程為．點在兩切線上，從而滿足，因此切點弦的方程為．直線與拋物線進行方程聯(lián)立并化簡得，從而，且．點到直線的距離為，．，當時，，，當且僅當時，兩個等號同時成立，∴四邊形的最大值為．用切點弦結論解決范圍問題【例1】經過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，求面積的取值范圍．【解析】設點，點，則直線的方程為，直線的方程為．∵在直線上，∴．∴直線的方程為．由，結合，利用，同時消得，∴，∴．又∵點到直線的距離．，又，∴記，∴．【例2】以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點，作圓的兩條切線，設切點分別為，到直線