2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第33講函數(shù)的切線問題與第34講函數(shù)的單調(diào)性含解析

第33講函數(shù)的切線問題求切線方程題型:求曲線在以為切點(diǎn)處的切線方程:.解題核心:曲線在切點(diǎn)處的函數(shù)值等于切線的函數(shù)值,曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率,可得方程組,進(jìn)而得到切線方程,其中為切點(diǎn),一般有以下兩種命題形式:(1)切點(diǎn)已知:直接求導(dǎo)得到切線的斜率,代人點(diǎn)斜式方程化簡即可.(2)切點(diǎn)末知:需設(shè)切點(diǎn),求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),然后寫出點(diǎn)斜式方程,將所過的點(diǎn)代人直線方程,求解,然后重新代人化簡可求出直線方程.【例1】已知曲線.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【解析】(1),則切線的斜率為,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.(2)設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn),曲線在點(diǎn)處切線斜率為,故切線方程為.又切線過點(diǎn),.解得或.故切點(diǎn)為和.過點(diǎn)的切線方程為或.過點(diǎn)的切線方程為和.【例2】已知曲線(1)求曲線在處的切線方程.(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【解析】(1),曲線在處的斜率.時,,曲線在處的切線方程為,即.(2)設(shè)過點(diǎn)的切線與該曲線相切于點(diǎn),則切線的酙率為,.整理得..【解析】得或.所求的切線為和已知切線方程求參數(shù)先由方程組求出切線方程,其中為切點(diǎn),再與題目中所給切線方程對照,求出參數(shù).【例1】已知函數(shù),若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值.【解析】,【解析】得.【例2】設(shè)函數(shù)1),若函數(shù)的圖像與直線相切,求的值.【解析】,設(shè)?點(diǎn)為,則切線為,即.又切線為,消得.設(shè),易知為減函數(shù),且,.第34講函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),對函數(shù)作圖起到?jīng)Q定性的作用,而導(dǎo)數(shù)是分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個便利工具,通過求解一階導(dǎo)函數(shù)并判定其正負(fù)號,進(jìn)而得到原函數(shù)單調(diào)性.利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)函數(shù)這一塊知識貫穿始終的東西,如果單獨(dú)拿出來考查可以分為兩類題型:第一類是求導(dǎo)來討論函數(shù)的單調(diào)性.第二類是給出函數(shù)單調(diào)性,然后來求出參數(shù)的取值范圍,這一類通常把的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的不等式問題,按照不等式問題的解法來求解即可.下面是導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系,希望讀者認(rèn)真掌握:(1)函數(shù)在可導(dǎo),那么在上單調(diào)遞增.(2)函數(shù)在可導(dǎo),則在上單調(diào)遞減.進(jìn)一步可說,函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且在任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.則當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增.函數(shù)在上單調(diào)遞減.求無參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(因式分解法)函數(shù)沒有參數(shù)的話是相對較簡單的,只需要求導(dǎo),并判定出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號即可判定出原函數(shù)的單調(diào)性,其中對導(dǎo)函數(shù)因式分解后就能判定出每個因式的正負(fù)號,進(jìn)而判定總的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號,所以,我們求導(dǎo)后一定要想辦法因式分解,下面給出利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求出的導(dǎo)函數(shù),并因式分解.(3)令,求出的解集,即可分割出的單調(diào)增(或減)區(qū)間.(4)列出表格或者進(jìn)行描述.【例1】已知,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】的定義域?yàn)?令得或當(dāng)變化時，，變化如下表所示： 0 2 +0-0+ 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極大值單調(diào)遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.【例2】已知函數(shù),求的單調(diào)增區(qū)間.【解析】的定義域?yàn)? 由得,或.故所求的單調(diào)遞增區(qū)間為,求無參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(連續(xù)求導(dǎo)法)如果一階導(dǎo)函數(shù)無法因式分解,也無法求出的解,則要考慮多次求導(dǎo),但一定記住,不論求導(dǎo)多少次,怎么求導(dǎo),最終一定回歸判定一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號,進(jìn)而得到原函數(shù)的單調(diào)性.【例1】列已知函數(shù)1)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),求的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥?令,令,解得.令,解得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間.【例2】設(shè),判斷函數(shù)的單調(diào)性.【解析】,.設(shè),.在上為減函數(shù)...函數(shù)在上為減函數(shù).討論含參函數(shù)的單調(diào)性(一次函數(shù)型)當(dāng)函數(shù)含有參數(shù)時,函數(shù)的圖像是不確定的,我們討論的核心在于討論不同參數(shù)取值范圍時函數(shù)的單調(diào)性是什么,更進(jìn)一步說,我們討論的是不同參數(shù)下,導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號如何,在討論的時候一定要注意定義域問題.以下例題是導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)結(jié)構(gòu)的類型,要注意總結(jié)方法.【例1】已知函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】,,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,.當(dāng)時,單調(diào)遞減.當(dāng)時,單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)時,單調(diào)遞減區(qū)間為,無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時,單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.【例2】已知函數(shù),討論的單調(diào)性.【解析】,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,令得.令得.的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時,令得.令得.的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.【例3】已知函數(shù),討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性.【解析】由題意得,..當(dāng)時,,此時在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時,由得,此時單調(diào)遞增.由得,此時單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.討論含參函數(shù)的單調(diào)性(二次函數(shù)型)如果決定一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號的是一個含參數(shù)的二次函數(shù),則我們討論的邏輯層次是:(1)討論二次函數(shù)開口.(2)討論二次函數(shù)的判別式.(3)討論兩個根大小和是否在定義域范圍.具體步驟如下:討論在上的正負(fù)號.(1),則,按一次函數(shù)討論.(2),開口向上,討論.①在上,在時單調(diào)遞增.②會有兩個根:,進(jìn)一步比較兩個根的大小和討論兩個根是否在定義域內(nèi)(結(jié)合開口方向,對稱軸和縱截距綜合考慮).(3),開口向下,討論.①在上在時單調(diào)遞減.②會有兩個根:,進(jìn)一步比較兩個根的大小,討論兩個根是否在定義域內(nèi).注意:如果可以通過因式分解求出兩個根,則只需根據(jù)開口,比較兩個根的大小,討論兩個根是否在定義域內(nèi).【例1】已知函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析:（1）首先確定函數(shù)定義域和導(dǎo)函數(shù).當(dāng)時,,得到函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時,分兩種情況討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)由題意得定義域?yàn)榱?則.(1)若,則,則,此時函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)若或有兩個零點(diǎn),則,其中.①若,則,此時,故此時函數(shù)在上單調(diào)遞增.②若,則,此時當(dāng)和時,.當(dāng)時,.此時函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為.單調(diào)遞減區(qū)間為.【例2】已知函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】定義域?yàn)?當(dāng)時,在上,此時在定義域上單調(diào)苐增.當(dāng)時,令有,令有,此時在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.【例3】已知函數(shù),,討論的單調(diào)性.【解析】.當(dāng)時,,此時在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,由解得或,是增函數(shù),此時在和單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.【例4】已知函數(shù),討論的單調(diào)性.【解析】(1)若恒成立,此時在上單調(diào)遞增.（2）若,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,此時在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,此時在上單調(diào)遞減.(3)若恒成立,此時在上單調(diào)遞增.(4)若,當(dāng)時,此時在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,此時在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)或時,在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.由單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍已知單調(diào)性反解參數(shù)取值范圍其實(shí)就是轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)不等式成立時求解參數(shù)取值的問題.如果對不等式不是很熟悉,可以先看后面的章節(jié),再回來看這一部分,我們的解題思路是把原函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)函數(shù)不等式問題,當(dāng)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且在任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0時,轉(zhuǎn)換方式如下:(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立.(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減白在區(qū)間上恒成立.(3)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在異號零點(diǎn).(4)函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間,使得成立.(5)函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間,使得成立.【例1】已知函數(shù),若為上的增函數(shù),求的取值范圍.【解析】.若在上為增函數(shù),則0恒成立,即恒成立,設(shè),則,當(dāng)