考研數(shù)學(xué)二常微分方程

考研數(shù)學(xué)二常微分方程1.【單項選擇題】有解y=y(x)≠0且以T為周期的A.必要非充分條件．B.充分非必要條件．C.充分且必要條件．D.既不充分也不必要條件．正確答案：C參考解析：

2.【單項選擇題】A.與解y(x)的初值y(0)，(0)有關(guān)，與b，c無關(guān)．B.與解y(x)的初值y(0)，(0)及b，c均無關(guān)．C.與解y(x)的初值y(0)，(0)及c無關(guān)，只與b有關(guān)．D.與解y(x)的初值y(0)，(0)及b無關(guān)，只與c有關(guān)．正確答案：B參考解析：3.【單項選擇題】已知y*=e-2x+(x2+x)ex是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程y''+ay'+by=(cx+d)ex的一個解，則方程中的系數(shù)a與b以及非齊次項中的常數(shù)c和d分別是A.a=1，b=-2，c=6，d=2．B.a=1，b=2，c=6，d=-2．C.a=1，b=-2，c=-6，d=2．D.a=1，b=-2，c=6，d=-2．正確答案：A參考解析：由二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)知，相應(yīng)的齊次方程y''+ay'+by=0有兩個線性無關(guān)的解：y1=e-2x，y2=ex，于是相應(yīng)的特征根是λ1=-2，λ2=1，特征方程是(λ+2)(λ-1)=0，即λ2+λ-2=0。故a=1，b=-2，y*=x2ex是方程y''+y'-2y=(cx+d)ex的解，y*'=(x2+2x)ex，y*''=(x2+4x+2)ex，代入得y*''+y*'-2y*=(6x+2)ex=(cx+d)ex可推出c=6，d=2A正確。4.【單項選擇題】已知曲線y=y(x)經(jīng)過原點，且在原點的切線平行于直線2x-y-5=0，而y(x)滿足微分方程-6y'+9y=e3x，則此曲線的方程為A.y=sin2x．B.C.D.y=(x2cosx+sin2x)e3x．正確答案：C參考解析：5.【單項選擇題】設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y''+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，則該方程的通解為().A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1正確答案：D參考解析：因為φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)為方程y''+a1(x)y'+a2(x)y=0的兩個線性無關(guān)解，于是方程y''+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1，D正確。6.【單項選擇題】若y=(x+1)e-x是線性微分方程y"+ay'+by=c(x+1)ex的解，則(??)．A.a=-2，b=1，c=0B.a=-2，b=1，c=1C.a=2，b=1，c=0D.a=2，b=1，c=-1正確答案：C參考解析：由線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)知，y=(x+1)e-x應(yīng)為對應(yīng)的齊次線性微分方程的解，所以c=0．將y=(x+1)e-x代入方程并整理，得(1-a+b)x+(b-1)=0．比較等式兩端對應(yīng)的系數(shù)，得1-a+b=0，b-1=0，解得a=2，b=1．故選(C)．7.【單項選擇題】設(shè)y'+P(x)y=0的一個特解為y=cos2x，則該方程滿足y(0)=2的特解為（）．A.2cosxB.2cos2xC.cos2xD.cos2x+1正確答案：B參考解析：

8.【單項選擇題】A.ae-x+bx+cB.axe-x+x(bx+c)C.axe-x+bx+cD.aex+x(bx+c)正確答案：A參考解析：

9.【單項選擇題】設(shè)y1(x)，y2(x)是y'+P(x)y=0的兩個不同特解，其中P(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且P(x)不恒為0，則下列結(jié)論中錯誤的是（）．A.y1(x)-y2(x)=常數(shù)B.C[y1(x)-y2(x)]是方程的通解C.y1(x)-y2(x)在任一點不為0D.正確答案：A參考解析：10.【填空題】設(shè)y=(C1+x)ex+C2e-x是y"+ay'+by=gecx的通解，則常數(shù)a，b，c，g分別是_____，______，______，______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：0，-1，1，2【解析】1與-1是兩個特征根，故特征方程為r2-1=0，原方程為y''-y=gecx，將非齊次方程的一個解y=xex代入，比較兩邊系數(shù)，可求得c=1，g=2，從而知a，b，c，g分別為0，-1，1，2。11.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

先求出一階線性微分方程的解，用積分因子法，方程兩邊同乘得

12.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

13.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

14.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

15.【填空題】是_______．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知，16.【填空題】方程y”-3y'+2y=10e-xsinx滿足當(dāng)x→+∞時，y(x)→0的特解為_______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：17.【填空題】方程(1-x2)y''-xy'=0滿足y(0)=0，y'(0)=1的特解為_______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：y=arcsinx(-1<x<1)．

18.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】原方程不是可分離變量方程，不是線性微分方程，也不是齊次微分方程，需要變形19.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：y2=C(x+1)-(x+1)ln|x+1|-1(C為任意常數(shù))．解20.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

21.【填空題】微分方程y''+y=x+cosx的通解為_______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

22.【填空題】微分方程y''-y=sin2x的通解為_______.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】23.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】24.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：

25.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：26.【解答題】求z的表達式．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：

27.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：

28.【解答題】設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：方程的通解為y=C1y1(x)+C2y2(x)+y*(x)，①29.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：

30.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：

31.【解答題】求y=y(x)．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：

32.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：已知方程兩邊同時對x求導(dǎo)，得f'(x)=f(1-x)，①

33.【解答題】設(shè)y=y(x)是向上凸的連續(xù)曲線，其上任一點(x，y)處的曲率為，且此曲線上點(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線的方程．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：由已知，y''<0，于是曲率為34.【解答題】(Ⅰ)(Ⅱ)請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)該方程的通解為35.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：36.【解答題】一架質(zhì)量為4．5噸的殲擊機以600km／h的航速開始著陸，在減速傘的作用下滑跑500m后速度減為100km／h，設(shè)減速傘的阻力與飛機的速度成正比，忽略飛機所受的其他外力，求減速傘的阻力系數(shù)．若保障飛機安全著陸，跑道長度至少應(yīng)為多少?請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：

37.【解答題】求微分方程(1-x2)y"-xy'=0滿足初始條件y(0)=0，y'(0)=1的特解．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：38.【解答題】的特解．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：39.【解答題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：40.【解答題】切線的傾斜角，且該曲