2024屆廣西柳州市城中學區(qū)數(shù)學九上期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣西柳州市城中學區(qū)數(shù)學九上期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．拋物線與y軸的交點坐標是（）A．（4，0） B．（-4，0） C．（0，-4） D．（0，4）2．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系正確的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y23．如圖，在中，點D，E分別為AB，AC邊上的點，且，CD、BE相較于點O，連接AO并延長交DE于點G，交BC邊于點F，則下列結論中一定正確的是A． B． C． D．4．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步驟作圖：①分別以點C和點D為圓心，大于CD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N；②作直線MN，且MN恰好經(jīng)過點A，與CD交于點E，連接BE，則BE的值為（）A． B．2 C．3 D．45．如圖，兩個同心圓(圓心相同半徑不同的圓)的半徑分別為6cm和3cm，大圓的弦AB與小圓相切，則劣弧AB的長為()A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm6．點P（3，5）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，3） D．（﹣3，﹣5）7．如圖，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，則△ABC的面積是()A． B．12 C．14 D．218．如圖，在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=kx?1(k為常數(shù)，且k≠0)的圖象可能是（）A． B． C． D．9．設，，是拋物線上的三點，則的大小關系為()A． B． C． D．10．下列計算中正確的是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.已知：直線和直線外一點.求作：直線的垂線，使它經(jīng)過.作法：如圖2.（1）在直線上取一點，連接；（2）分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，連接交于點；（3）以點為圓心，為半徑作圓，交直線于點（異于點），作直線.所以直線就是所求作的垂線.請你寫出上述作垂線的依據(jù)：______.12．如圖，將邊長為4的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到，當兩個三角形重疊部分的面積為3時，則的長為_________．13．已知點A（2，4）與點B（b﹣1，2a）關于原點對稱，則ab＝_____．14．對于任意非零實數(shù)a、b，定義運算“”，使下列式子成立：，，，，…，則ab=．15．在不透明的袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的個紅球和個白球，某學習小組做“用頻率估計概率"的試驗時，統(tǒng)計了摸到紅球出現(xiàn)的頻率并繪制了折線統(tǒng)計圖，則白球可能有_______個.16．已知正方形ABCD的對角線長為8cm，則正方形ABCD的面積為_____cm1．17．如圖所示，個邊長為1的等邊三角形，其中點，，，，…在同一條直線上，若記的面積為，的面積為，的面積為，…，的面積為，則______.18．從一副撲克牌中的13張黑桃牌中隨機抽取一張，它是王牌的概率為____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的中線，∠B是銳角，sinB=，tanA=，AC=，（1）求∠B的度數(shù)和AB的長．（2）求tan∠CDB的值．20．（6分）已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點(不與B，C點重合)，∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式；（3）當△ADE是等腰三角形時，請直接寫出AE的長．21．（6分）汛期到來，山洪暴發(fā)．下表記錄了某水庫內(nèi)水位的變化情況，其中表示時間(單位：)，表示水位高度(單位：)，當時，達到警戒水位，開始開閘放水．02468101214161820141516171814.41210.3987.2(1)在給出的平面直角坐標系中，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描出相應的點．(2)請分別求出開閘放水前和放水后最符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式．(3)據(jù)估計，開閘放水后，水位的這種變化規(guī)律還會持續(xù)一段時間，預測何時水位達到．22．（8分）已知：如圖，在半圓中，直徑的長為6，點是半圓上一點，過圓心作的垂線交線段的延長線于點，交弦于點．（1）求證：；（2）記，，求關于的函數(shù)表達式；（3）若，求圖中陰影部分的面積．23．（8分）某商家在購進一款產(chǎn)品時，由于運輸成本及產(chǎn)品成本的提高，該產(chǎn)品第天的成本（元/件）與（天）之間的關系如圖所示，并連續(xù)50天均以80元/件的價格出售，第天該產(chǎn)品的銷售量（件）與（天）滿足關系式．（1）第40天，該商家獲得的利潤是______元；（2）設第天該商家出售該產(chǎn)品的利潤為元．①求與之間的函數(shù)關系式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？②在出售該產(chǎn)品的過程中，當天利潤不低于1000元的共有多少天？24．（8分）已知如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C，連接AC，點P是直線AC上方的拋物線上一動點（異于點A，C），過點P作PE⊥x軸，垂足為E，PE與AC相交于點D，連接AP．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）①求直線AC的解析式；②是否存在點P，使得△PAD的面積等于△DAE的面積，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．25．（10分）我市某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為40元，若銷售價為60元，每天可售出20件，為迎接“雙十一”，專賣店決定采取適當?shù)慕祪r措施，以擴大銷售量，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件設每件童裝降價x元時，平均每天可盈利y元．寫出y與x的函數(shù)關系式；當該專賣店每件童裝降價多少元時，平均每天盈利400元？該專賣店要想平均每天盈利600元，可能嗎？請說明理由．26．（10分）己知拋物線與軸交于兩點,與軸交于點,頂點為．（1）求拋物線的表達式及點D的坐標；（2）判斷的形狀．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解題分析】試題分析：求圖象與y軸的交點坐標，令x=0，求y即可．當x=0時，y=4，所以y軸的交點坐標是（0，4）．故選D．考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．2、D【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)解析式確定拋物線的對稱軸為x=1，再根據(jù)拋物線的增減性以及對稱性可得y1，y1，y3的大小關系．【題目詳解】∵二次函數(shù)y=-x1+4x+c=-（x-1）1+c+4，∴對稱軸為x=1，∵a＜0，∴x＜1時，y隨x增大而增大，當x＞1時，y隨x的增大而減小，∵（-1，y1），（1，y1），（3，y3）在二次函數(shù)y=-x1+4x+c的圖象上，且-1＜1＜3，|-1-1|＞|1-3|，∴y1＜y3＜y1．故選D．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．3、C【分析】由可得到∽，依據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)進行判斷即可．【題目詳解】解：A.∵，∴,故不正確；B.∵，∴,故不正確；C.∵，∴∽，∽,，．，故正確；D.∵，∴,故不正確；故選C．【題目點撥】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關鍵．4、B【解題分析】由作法得AE垂直平分CD，則∠AED=90°，CE=DE，于是可判斷∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，從而得到∠ECH=60°,利用三角函數(shù)可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的長.【題目詳解】解：如圖所示，作EH⊥BC于H，由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE＝2，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∴∠D=60°，∵AD//BC，∴∠ECH=∠D=60°,在Rt△ECH中，EH=CE·sin60°=,CH=CE·cos60°=,∴BH=4+1=5，在Rt△BEH中，由勾股定理得，.故選B.【題目點撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識.合理構造輔助線是解題的關鍵.5、B【解題分析】首先連接OC，AO，由切線的性質(zhì)，可得OC⊥AB，根據(jù)已知條件可得：OA=2OC，進而求出∠AOC的度數(shù)，則圓心角∠AOB可求，根據(jù)弧長公式即可求出劣弧AB的長．【題目詳解】解：如圖，連接OC，AO，

∵大圓的一條弦AB與小圓相切，

∴OC⊥AB，

∵OA=6，OC=3，

∴OA=2OC，

∴∠A=30°，

∴∠AOC=60°，

∴∠AOB=120°，

∴劣弧AB的長==4π，

故選B．【題目點撥】本題考查切線的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題關鍵．6、D【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，橫縱坐標的坐標符號均相反，根據(jù)這一特征求出對稱點坐標．【題目詳解】解：點P（3，5）關于原點對稱的點的坐標是（-3，-5），

故選D．【題目點撥】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，關鍵是掌握點的變化規(guī)律．7、A【分析】根據(jù)已知作出三角形的高線AD，進而得出AD，BD，CD，的長，即可得出三角形的面積．【題目詳解】解：過點A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，

∴cosB==，

∴∠B=45°，

∵sinC===，

∴AD=3，

∴CD==4，

∴BD=3，

則△ABC的面積是：×AD×BC=×3×（3+4）=．

故選A．【題目點撥】此題主要考查了解直角三角形的知識，作出AD⊥BC，進而得出相關線段的長度是解決問題的關鍵．8、B【分析】分k＞0和k＜0兩種情況，分別判斷反比例函數(shù)的圖象所在象限及一次函數(shù)y=-kx-1的圖象經(jīng)過的象限．再對照四個選項即可得出結論．【題目詳解】當k＞0時，-k＜0，

∴反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，一次函數(shù)y=kx-1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；

當k＜0時，-k＞0，

∴反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，一次函數(shù)y=kx-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．

故選：B．【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握兩種函數(shù)的性質(zhì)并分情況討論是解題的關鍵．9、D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向上，對稱軸為直線x＝-2，然后根據(jù)三個點離對稱軸的遠近判斷函數(shù)值的大?。绢}目詳解】，∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝-2，∵離直線x＝-2的距離最遠，離直線x＝-2的距離最近，∴．故選：D．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．10、D【分析】直接利用二次根式混合運算法則分別判斷得出答案．【題目詳解】A、無法計算，故此選項不合題意；B、，故此選項不合題意；C、，故此選項不合題意；D、，正確.故選D.【題目點撥】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、直徑所對的圓周角是直角【分析】由題意知點E在以PA為直徑的圓上，根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”可得∠PEA＝90°，即PE⊥直線a．【題目詳解】由作圖知，點E在以PA為直徑的圓上，所以∠PEA＝90°，則PE⊥直線a，所以該尺規(guī)作圖的依據(jù)是：直徑所對的圓周角是直角，故答案為：直徑所對的圓周角是直角．【題目點撥】本題主要考查作圖?尺規(guī)作圖，解題的關鍵是掌握線段中垂線的尺規(guī)作圖及其性質(zhì)和直徑所對的圓周角是直角．12、1或1【分析】設AC、交于點E，DC、交于點F，且設，則，，列出方程即可解決問題．【題目詳解】設AC、交于點E，DC、交于點F，且設，則，，重疊部分的面積為，由，解得或1．即或1．故答案是1或1．【題目點撥】本題考查了平移的性質(zhì)、菱形的判定和正方形的性質(zhì)綜合，準確分析題意是解題的關鍵．13、1．【解題分析】由題意，得b?1=?1，1a=?4，解得b=?1，a=?1，∴ab=(?1)×(?1)=1，故答案為1.14、【解題分析】試題分析：根據(jù)已知數(shù)字等式得出變化規(guī)律，即可得出答案：∵，，，，…，∴。15、6【分析】從表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.33左右，根據(jù)紅球的概率公式得到相應方程求解即可；【題目詳解】由統(tǒng)計圖，知摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.33左右，∴，經(jīng)檢驗，n=6是方程的根，故答案為6.【題目點撥】此題主要考查頻率與概率的相關計算，熟練掌握，即可解題.16、31【分析】根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面積等于對角線乘積的一半進行求解即可．【題目詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AC＝BD＝8cm，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面積＝×AC×BD＝31cm1，故答案為：31．【題目點撥】本題考查了求解菱形的面積,屬于簡單題,熟悉求解菱形面積的特殊方法是解題關鍵.17、【分析】由n+1個邊長為1的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B,B1，B2，B3，…Bn在一條直線上，可作出直線BB1．易求得△ABC1的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，易求得S1的值，同理求得S2的值，繼而求得Sn的值．【題目詳解】如圖連接BB1，B1B2，B2B3；由n+1個邊長為1的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B,B1,B2，B3，…Bn在一條直線上．∴S△ABC1=×1×=∵B

B1∥AC1，∴△BD1B1∽△AC1D1，△BB1C1為等邊三角形則C1D1=BD1=；，△C1B1D1中C1D1邊上的高也為；∴S1=××=；同理可得；則=,∴S2=××=；同理可得：；∴=，Sn=××=．【題目點撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．18、1【分析】根據(jù)是王牌的張數(shù)為1可得出結論．【題目詳解】∵13張牌全是黑桃，王牌是1張，∴抽到王牌的概率是1÷13=1，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了概率的公式計算，熟記概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）∠B的度數(shù)為45°，AB的值為3；（1）tan∠CDB的值為1．【分析】（1）作CE⊥AB于E，設CE=x，利用∠A的正切可得到AE=1x，則根據(jù)勾股定理得到AC=x，所以x=，解得x=1，于是得到CE=1，AE=1，接著利用sinB=得到∠B=45°，則BE=CE=1，最后計算AE+BE得到AB的長；（1）利用CD為中線得到BD=AB=1.5，則DE=BD-BE=0.5，然后根據(jù)正切的定義求解．【題目詳解】（1）作CE⊥AB于E，設CE＝x，在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，∴AE＝1x，∴AC＝＝x，∴x＝，解得x＝1，∴CE＝1，AE＝1，在Rt△BCE中，∵sinB＝，∴∠B＝45°，∴△BCE為等腰直角三角形，∴BE＝CE＝1，∴AB＝AE+BE＝3，答：∠B的度數(shù)為45°，AB的值為3；（1）∵CD為中線，∴BD＝AB＝1.5，∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，∴tan∠CDE=＝＝1，即tan∠CDB的值為1．【題目點撥】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決此類題目的關鍵是熟練應用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．20、（1）證明見解析；（2）y=x2-x+1=（x-）2+；（3）AE的長為2-或．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關系，易證△ABD∽△DCE．

（2）由△ABD∽△DCE，對應邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關系式；

（3）當△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論求出滿足題意的AE的長即可．【題目詳解】（1）證明：

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠B=∠C=∠ADE=45°

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，

∴=，

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴BC=，CD=-x，EC=1-y，

∴=，

∴y=x2-x+1=（x-）2+；

（3）當AD=DE時，△ABD≌△CDE，

∴BD=CE，

∴x=1-y，即x-x2=x，

∵x≠0，

∴等式左右兩邊同時除以x得：x=-1

∴AE=1-x=2-，

當AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，

所以，AE=；

當AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；

綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，

AE的長為2-或．【題目點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．21、(1)見解析；(2)和；(3)預計水位達到．【分析】根據(jù)描點的趨勢，猜測函數(shù)類型，發(fā)現(xiàn)當時，與可能是一次函數(shù)關系：當時，與就不是一次函數(shù)關系：通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)與的關系最符合反比例函數(shù)．【題目詳解】(1)在平面直角坐標系中，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描出相應的點，如圖所示．(2)觀察圖象當時，與可能是一次函數(shù)關系：設，把，代入得，解得：，，與的關系式為：，經(jīng)驗證，，都滿足，因此放水前與的關系式為：，觀察圖象當時，與就不是一次函數(shù)關系：通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：.因此放水后與的關系最符合反比例函數(shù)，關系式為：，所以開閘放水前和放水后最符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式為：和.(3)當時，，解得：，因此預計水位達到．【題目點撥】此題考查二元一次函數(shù)的應用，統(tǒng)計圖，解題關鍵在于根據(jù)圖象猜測函數(shù)類型，嘗試求出，再驗證確切性；也可根據(jù)自變量和函數(shù)的變化關系進行猜測，關系式確定后，可以求自變量函數(shù)的對應值．22、（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°，可得∠CAB+∠ABC=90°，根據(jù)DO⊥AB，得出∠D+∠DAO=90°，進而可得出結果；（2）先證明，得出，從而可得出結果；（3）設OD與圓弧的交點為F，則根據(jù)S陰影=S△AOD-S△AOC-S扇形COF求解．【題目詳解】（1）證明：∵是直徑，∴，∴．∵，∴．∴．（2）解：∵，∴．∴．而，∴，∴即，∴．（3）解：設OD與圓弧的交點為F，設，則，∵，∴．在中，，∴．∴∠AOC=60°，∴DO=AO=3．又AO=CO，∴△ACO為等邊三角形，S陰影=S△AOD-S扇形COF-S△AOC=．【題目點撥】本題主要考查圓周角定理的推論、圓中不規(guī)則圖形面積的求法、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識，掌握基本性質(zhì)與判定方法是解題的關鍵．注意求不規(guī)則圖形的面積時，結合割補法求解．23、（1）1000（2）①，25，1225；②1．【分析】（1）根據(jù)圖象可求出BC的解析式，即可求出第40天時的成本為60元，此時的產(chǎn)量為z=40+10=50，則可求得第40天的利潤；（2）利用每件利潤×總銷量=總利潤，進而求出二次函數(shù)最值即可．【題目詳解】（1）根據(jù)圖象得，B（20，40），C（50，70），設BC的解析式為y=kx+b，把B（20，40），C（50，70）代入得，，解得，，所以，直線BC的解析式為：y=x+20，當x=40時，y=60，即第40天時該產(chǎn)品的成本是60元/件，利潤為：80-60=20（元/件）此時的產(chǎn)量為z=40+10=50件，則第40天的利潤為：20×50=1000元故答案為：1000（2）①當時，，∴時，元；當時，，∴時，元；綜上所述，當時，元②當時，若元，則（天），第15天至第20天的利潤都不低于1000元；當時，若元，則（舍去）（天），所以第21天至第40天的利潤都不低于1000元，則總共有1天的利潤不低于1000元．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結合實際選擇最優(yōu)方案．根據(jù)每天的利潤=一件的利潤×銷售件數(shù)，建立函數(shù)關系式，此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．24、（1）(0,3)；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）①；②當點P的坐標為（1，4）時，△PAD的面積等于△DAE的面積．【分析】（1）將代入二次函數(shù)解析式即可得點C的坐標；（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3即可得出拋物線的解析式；（3）①設直線直線AC的解析式為，把A（3，0），C代入即可得直線AC的解析式；②存在點P，使得△PAD的面積等于△DAE的面