2022-2023學年黑龍江省綏化市羊草中學高三數(shù)學理期末試題含解析

2022-2023學年黑龍江省綏化市羊草中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則的前n項和=

（A）

（B）

（C）

(D)參考答案：A2.

函數(shù)y=logax和y=(1－a)x+a的圖象只可能是…………（

）

A．

B． C．

D．

參考答案：答案：D

3.定義在R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有4個不同的實根，則實數(shù)a的值為（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1參考答案： B【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出a，b，c的關系，然后利用導數(shù)研究三次函數(shù)的極值，利用數(shù)形結合即可得到a的結論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集為（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集為（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的兩個根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），則方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等價為3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有4個不同的實根，即f（x）=±1．各有2個不同的根，即函數(shù)f（x）的極值等于±1，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴當f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，∴當x=1時，函數(shù)取得極大值f（1）=﹣2a，當x=﹣1時，函數(shù)取得極小值f（﹣1）=2a，由f（1）=﹣2a=1且f（﹣1）=2a=﹣1得，a=，故選：B．4.已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長為2的等邊三角形，則f（1）的值為（）A．B．C．D．參考答案：D考點：余弦函數(shù)的奇偶性；余弦函數(shù)的圖象．專題：計算題．分析：由f（x）=Acos（ωx+φ）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=Acosφ=0結合已知0＜φ＜π，可求φ=再由△EFG是邊長為2的等邊三角形，可得=A，結合圖象可得，函數(shù)的周期T=4，根據(jù)周期公式可得，ω，從而可得f（x），代入可求f（1）．解答：解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）為奇函數(shù)∴f（0）=Acosφ=0

∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx

∵△EFG是邊長為2的等邊三角形，則=A又∵函數(shù)的周期T=2FG=4，根據(jù)周期公式可得，ω=∴f（x）=﹣Asinx=則f（1）=故選D點評：本題中的重要性質(zhì)要注意靈活運用：若奇函數(shù)的定義域包括0，則f（0）=0；解決本題的另一關鍵是要由△EFG是邊長為2的等邊三角形，及三角形與函數(shù)圖象之間的關系得到=A，這也是本題的難點所在．5.設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.已知“命題p：∈R，使得成立”為真命題，則實數(shù)a滿足（

）

A．[0，1）

B．

C．[1，＋∞）

D．參考答案：B若時，不等式等價為，解得，結論成立.當時，令，因為，要使成立，則滿足或，解得或，綜上，選B.7.（本小題滿分10分）選修4-1幾何證明選講

如圖，直線過圓心，交⊙于，直線交⊙于(不與重合)，直線與⊙相切于,交于,且與垂直，垂足為,連結.

求證：(1);

(2).參考答案：【知識點】圓周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)．N1

【答案解析】(1)見解析；(2)見解析。解析：(1)連結BC,∵AB是直徑，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°.∵GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG.

5分(2)連結CF,∵EC切⊙O于C,

∴∠ACE=∠AFC.又∠BAC=∠CAG,

∴△ACF∽△AEC.∴,∴AC2=AE·AF.

10分【思路點撥】（1）連接BC，根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠ECB與∠ACG互余，根據(jù)弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC與∠ACG互余，再根據(jù)∠CAG與∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）連接CF，利用弦切角結合（1）的結論，可得∠GCF=∠ECB，再用外角進行等量代換，得到∠AFC=∠ACE，結合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，從而得到AC是AE、AF的比例中項，從而得到AC2=AE?AF．8.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數(shù)f（x+）是偶函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為2πB．函數(shù)f（x）的圖象關于點（，0）d對稱C．函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=﹣對稱D．函數(shù)f（x）在[，π]上單調(diào)遞增參考答案：D【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函數(shù)f（x+）是偶函數(shù)，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷求解．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，∴函數(shù)f（x）的周期T=π，故A錯誤；∵ω＞0∴ω=2，∴函數(shù)f（x+）的解析式為：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函數(shù)f（x+）是偶函數(shù)，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=kπ，k∈Z，解得對稱中心為：（﹣，0），k∈Z，故B錯誤；由2x+=kπ+，k∈Z，解得對稱軸是：x=，k∈Z，故C錯誤；由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正確．故選：D．9.設a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】不等式的解法及應用．【分析】a＞b＞0，可推出，而當，時，例如取a=﹣2，b=﹣1，顯然不能推出a＞b＞0，由充要條件的定義可得答案．【解答】解：由不等式的性質(zhì)，a＞b＞0，可推出，而當，時，例如取a=﹣2，b=﹣1，顯然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分條件．故選B．【點評】本題為充要條件的判斷，正確利用不等式的性質(zhì)是解決問題的關鍵，屬基礎題．10.如圖，長方形的長，寬，線段的長度為1，端點在長方形的四邊上滑動，當沿長方形的四邊滑動一周時，線段的中點所形成的軌跡為，記的周長與圍成的面積數(shù)值的差為，則函數(shù)的圖象大致為（

）參考答案：【知識點】函數(shù)的圖象.B8【答案解析】C解析：解：解：∵線段MN的長度為1，線段MN的中點P，∴AP=，即P的軌跡是分別以A，B，C，D為圓心，半徑為的4個圓，以及線段GH，F(xiàn)E，RT，LK，部分．∴G的周長等于四個圓弧長加上線段GH，F(xiàn)E，RT，LK的長，即周長==π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，面積為矩形的面積減去4個圓的面積，即等于矩形的面積減去一個整圓的面積為，∴f（x）=6x+π﹣4﹣=，是一個開口向下的拋物線，∴對應的圖象為C，故選：C．【思路點撥】根據(jù)條件確定點P，對應的軌跡，然后求出相應的周長和面積，求出函數(shù)f（x）的表達式，然后根據(jù)函數(shù)表達式進行判斷圖象即可．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，D為AB的一個三等分點，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，則cosB=．參考答案：【考點】余弦定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結合法；解三角形．【分析】令AC=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得關于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，則：AB=3，BC=3m，則利用余弦定理可得：．∴．故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結合思想，屬于中檔題．12.當輸入的實數(shù)x∈時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于103的概率是．參考答案：考點：程序框圖．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：由程序框圖的流程，寫出前三項循環(huán)得到的結果，得到輸出的值與輸入的值的關系，令輸出值大于等于103得到輸入值的范圍，利用幾何概型的概率公式求出輸出的x不小于103的概率．解答：解：設實數(shù)x∈，經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2，經(jīng)過第二循環(huán)得到x=2（2x+1）+1，n=3，此時輸出x，輸出的值為4x+3，令4x+3≥103得x≥25，由幾何概型得到輸出的x不小于103的概率為P==．故答案為：．點評：解決程序框圖中的循環(huán)結構時，一般采用先根據(jù)框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結果，根據(jù)結果找規(guī)律，屬于基礎題．13.將函數(shù)f（x）=sinωx（其中ω＞0）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點（，0），則ω的最小值是

．參考答案：2【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】首先利用三角函數(shù)的圖象平移得到y(tǒng)=sinω（x﹣），代入點（，0）后得到sinω=0，由此可得ω的最小值．【解答】解：將函數(shù)y=sinωx（其中ω＞0）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為y=sinω（x﹣）．再由所得圖象經(jīng)過點（，0），可得sinω（﹣）=sinω=0，∴ω=kπ，k∈z．故ω的最小值是2．故答案為：2．14.“a＝2”是“直線ax＋2y＝0與直線x＋y＝1平行”的________條件．參考答案：充要15.已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），則λ=．參考答案：﹣3【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【分析】由向量的坐標加減法運算求出（），（﹣）的坐標，然后由向量垂直的坐標運算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案為：﹣3．16.已知函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如.若，則的值域為

.參考答案：17.把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張形狀大小一樣的卡片上，隨機抽取一張卡片，則抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片的概率為

．（結果用最簡分數(shù)表示）參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片包含的基本事件個數(shù)，由此能求出抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片的概率．【解答】解：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張形狀大小一樣的卡片上，隨機抽取一張卡片，基本事件總數(shù)n=10，抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片包含的基本事件個數(shù)為7，則抽到寫著偶數(shù)或大于6的數(shù)的卡片的概率為故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗知道，其次品率P與日產(chǎn)量x(萬件)之間滿足關系：P＝(其中c為小于6的正常數(shù))．(注：次品率＝次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P＝0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品)已知每生產(chǎn)1萬件合格的儀器元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量．(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)；(2)當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？參考答案：T＝.(2)由(1)知，當x>c時，每天的盈利額為0，當1≤x≤c時，T＝＝15－2[(6－x)＋]≤15－12＝3，當且僅當x＝3時取等號，所以①當3≤c≤6時，Tmax＝3，此時x＝3，19.設f（x）=，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，結合f'（1）=1列式求得a值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函數(shù)解析式，由f（x）≤m（x﹣1）得到，構造函數(shù)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0．然后對m分類討論求導求得m的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x＞1時，m=1時，成立．令，然后分別取i=1，2，…，n，利用累加法即可證明結論．【解答】（Ⅰ）解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由題設f'（1）=1，∴，即a=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：，?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即，設，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0．，g'（1）=4﹣4m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾；②若m∈（0，1），當，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設矛盾；③若m≥1，當x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；綜上所述，m≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當x＞1時，m=1時，成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣不妨令，∴，即，，，…，．累加可得：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．20.設函數(shù)（其中），，已知它們在處有相同的切線．

(Ⅰ)求函數(shù)，的解析式；

(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值；

(Ⅲ)若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：見解析導數(shù)的綜合運用試題解析：（Ⅰ），．由題意兩函數(shù)在處有相同的切線．

∴∴∴．

，

（Ⅱ），由得，由得，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

?當時，在單調(diào)遞增，

；

（Ⅲ）解法一：∵，

恒成立；

∴（①）

（1）當時，，（①）式恒成立；

（2）當時，由（①）得：

令

∴

對恒成立；

∴在區(qū)間上是增函數(shù)，

∴

即

（3）當時，由（①）得：

令；

∴當時，

，

當時，；

∴在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，