江西省高考數(shù)學(xué)研討會(huì) 解析幾何1

PAGEPAGE1一．知識(shí)梳（一）方程性x

y-

=

1.直線：

，a

不全|

=1(a>b>

=1(a>b>

,e2=

或

),N|=

a,),|B|,,B|

=1(a>0,b>

，漸近線方程

y=± a，

=1(a>0,b>

y=

,e2= 或

，漸近線方程 b

x=

y2=-2px(p>0),(-p,0),x=

2

2

0), ),y= 2 2焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（二）位置關(guān)

F||K|

,-),|N|=2p x=x,x=x(xsx

íbs直線與直線：（1）平行

或? 2y=y,x= k×

íy= 0或

；（3）相交： 2直線與圓：（1）相離?dr；（2）相切?dr；（3）相交?d圓與圓：外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含直線與圓錐曲線（設(shè)而不求）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，利用判別式與韋達(dá)定理特別地，若定點(diǎn)y軸上，則討論x0ykxy0；若定點(diǎn)在x軸上，則討論y0與xtyx0.（2）無限制xt，②ykxm.（3）給定斜率ykxm.

是橢

ì

=1(a>b>

的弦

的中點(diǎn)1?íx

1=y

x2-x

y2-?2+2=

2= ?

0，兩式作差， 0 y

y-

b2x+

b2(1T

2)(1

2)=(2

1)(2

1)

1= x-

·

=.00與1 與1

a2-

= =聯(lián)立?2

拋物線的焦點(diǎn)弦問

= == =，則 2 ，Ty2-y2=2p(x ，

(yy)2=1 1 2 =p=1 1 B|=p

，代

1，Tyy=-1，

(yy 1 =1二．題型攻（一）選填（2010全國Ⅰ卷理科）已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且BF=2FD，則C的離心率 解：設(shè)橢圓方程

=1(a>b>

D 2.

, 2 代入橢圓方程

，解 分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別解法2：設(shè)橢圓的準(zhǔn)線與x軸分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別

,￠

m￠，由第二，由第二定義

￠e￠

e=1

= 3，解 解法3：以左焦點(diǎn)￠為極點(diǎn)，如圖建立極坐標(biāo)系，M

1-

N

1+

= = （2013附中校本五）設(shè)拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(3,0的直線與拋物線相交 A． B． C． D．

x+ 2x+1x+

2 解：由題

x+ +1 B =B BB =B B

y=-

（不妨取B為第四象限的點(diǎn)0-2xA=0+

3- A,B,M三點(diǎn)共線

x= B

3

SS∴

=2xB+1=3+1=+1 4+1

，∴選另解：設(shè)直線方程為xx=

3，代入y22x，Axx=(3)2=A

，又

2，

A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60，則OA為 4

212

136

1333

，，

21 4.（2014湖北理科）FF是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P zFPF= 3則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 4A． r+r=2a,r-r=

2 r=a+a 1 2，∴ 4PAGEPAGE5(1+

1=1

￡4==()1 r2+r2-=()1

1∴

) 4 41+

2

= ∴

23 23解．則由橢圓、雙曲線的定義， 的離心率分別為 ．則由橢圓、雙曲線的定義， 4a2=r2+r2-2平方

12 12

1+3=4c2=r2+r2-

e又由余弦定理

12，消去12，得

，即 13(1+1)2=(1 13

3)2￡(1

3)(1+1)=

1+

￡43 e 由柯西不等式

，∴

與雙曲

a2-

=1(a>0,b>的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B，若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率 解：雙曲線的漸近線

y=± a，

與雙曲線的交點(diǎn)與雙曲線的交點(diǎn)b

),b+ a-b

,- ba-b

,

)

，5 5

= 3b3(a9ba，即a24b2

4，

，ìx=4

，?

?y?，聯(lián)立解?

M(m,

= 0-0 =又∵雙曲線漸近線方程為 ，由點(diǎn)差法得

F,

a2-

=1(a>0,b>FOF已知 2是雙曲

的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)1關(guān)漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以F2為圓心，|OF2|為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為 2323F

￠ ￠解：設(shè)點(diǎn)1關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為1，直線121￠，21￠ e=，

=1(a>b>

的右焦點(diǎn)

F(3,0)過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)，則E的方程為 =

=

=

=

1y1ì 1y1íx y

?2+2=? 兩式作

x2-x2

y2- y- b2x+ b2k= 1= × 2= ×∴ 20x- a2y+ a2∴ 200-(-

∴3-

求方程、基本量、弦長、面 yF

=1(a>b>（2014安徽文科）設(shè)1,2分別是橢圓

的左、右焦點(diǎn)兩點(diǎn)兩點(diǎn)

2(Ⅱ)

5，求橢圓E的離心率又∵|AF1|3|BF1|且|AB|4，，，

=

t=1 3

ta（舍22

得， zFAF 得， 2

F,

中， 2分別是橢的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b)，連結(jié)BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂7交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)若

C的坐標(biāo)為

3

，且BF2

2，求橢圓的方程1若FC^AB，求橢圓離心率e的值1

2，∴a 2?33?4,?33∴點(diǎn)Cè ?在橢圓上，∴

+9=

，解得

=∴所求橢圓的方程為

．x ìxy

ìx

,?c

?

=

?y ,

? 2

2解方程組?2

得?

?y2=

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為èa+ a+ ?

垂直于軸，由橢圓的對(duì)稱性，可得

的坐標(biāo)為 ?11

-

∴∴

，且F1C^

×?-c÷=-

= 5， 5最值、范圍問

，橢圓

的離心率為2F是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率

23，O為坐標(biāo)原點(diǎn)求E的方程8設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求l的方程2=2 ，得c=33c3又

E的方程

.:,),3當(dāng)D16(4k23)0，

4時(shí)

1+∴

1+1+

1+

44k2-又點(diǎn)O到直

的距

1+

￡設(shè)

t>0

t+t

k=

2時(shí)等號(hào)成立，且滿足D0=y=

2

y=或

5

，離心 2yBPAOyBPAO頂點(diǎn)到漸近線的距離為5求雙曲線C的方程 如圖P是雙曲線C上一點(diǎn)AB兩點(diǎn)在雙曲線C的兩?[1漸近線上，且分別位于第一、二象限， △B2解：（Ⅰ）∵雙曲線C的頂點(diǎn)(0，a到漸近線ax-by0的距離為5

，即 5?? ?=， =，

ìa=?2=a2

?b=由

，得

5\

．（Ⅱ）由（Ⅰ）Cy2x(2m)B(-)m0

， ?1+l 1+，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?將P點(diǎn)坐標(biāo)代入

，化簡

4ltan?π-q?=

\q

22

2 5．又| =1||||sin2q=2mn=1?+1?

÷\?+?

￠)1 ÷

3

2 l2記

l=

，((3

? ，

l= \當(dāng)l1時(shí)△AOB的面積取得最小2，

8ê2， 3?解法二：（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為ykxm，由題意知|k|2，m0

? 2m

2míy

由?

A點(diǎn)的坐標(biāo)為è2-

2-k?，由

得B點(diǎn)的坐標(biāo)為è2

2+k??m? l?2m?

l???1+ ?2k-

?2k+2k÷÷APlPB得P點(diǎn)的坐標(biāo)為

è=

?1+

??將P點(diǎn)坐標(biāo)代入

得4- 設(shè)Q為直線ABy軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m = +

=1|||

|+1|||

|=1

-x

2AB ? m2AB

1 1 1 =2m?2-k+2+k÷=24-k2=2?+÷

(12，兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0)求橢圓C的方程E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF， ，解：（Ⅰ）由題意

c=

，可設(shè)橢圓方程

=A在橢圓上

=解 4（舍去 ∴橢圓的方程為

=?

2，代入 2?2 -k÷-12=è 24?3-2

-?3

? 22

-因?yàn)?/p>

è2?在橢圓上，所

3+ 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，可24?3+2

-?

3+

+

- x- 直線EF的斜

1即直線EF的斜率為定值，其值為2定直線問 a2-

=1(a> 已知雙曲線

的中心為原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為1，2離心率

3

P是直

上任意一點(diǎn)

Q在雙曲

求實(shí)數(shù)a的值若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)M，N，線段MN上取異于點(diǎn)MN的點(diǎn)H，滿

= HN，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上ìc=35a5a5

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲

的半焦距為，由題意可得 解

F證明：由（Ⅰ）可知，直?

，點(diǎn) ?

Q(x,y 設(shè)點(diǎn) ?

0， ?3-5,-?×-x,-y)=

x- ( ∴ ．

x y0-0=

Qx∵

在雙曲線E上，∴

，即 y-t y2-

4k 4

×0

- 5-0 0

- 3-

x - 3 -4∴直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值5?

?

，且過

?的直線與雙曲

的右支交于不M(x,y

N(x,y

兩 1

2，由（Ⅱ）

?Mí設(shè)

?H

?

?y-ly=1- x ,y-

=lx ,y-1

í ?

?

?x+lx= ? ?-x,y-y)=l(x-x,y- ?y+ly= 即 ∴? ìx2-l2x2=5(1-l2 3? 3í 由①×③，②×④得?

x2-l2xy2

y2

′ 2-將

，

代入

1- ．將⑤代入

y=4x-4

∴點(diǎn)H恒在定直線4x-3y-12=0上y-1=k?x-5

3證法2：依題意，直線的斜率存在．設(shè)直線的方程ìy-1=k?x-5?,

? 3?得． ?得． 聯(lián)立?5-

=

E∵直線l與雙曲E

的右支交于不同兩點(diǎn)M(xy)N(xyì?①)52?①?, ?,②②

.?.?xx

?1則

x-

，

=

=5，

x-- - ． +10x= y-1=k?x-5 3∵ 在直

上

? 聯(lián)立④⑤得4x3y-12=0．∴點(diǎn)H恒在定直線4x3y-12=0上存在性問（ （(2009II理)已知橢

的離心率為

，過右焦

F的直線l與相交于相交于兩點(diǎn)

l的斜率1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O

l的距離為2（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有OP=OAOB成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．（）F(0)l的斜率為1時(shí)，其方程為xy-c0Ol的距離||0-0-22=2，c2=2故

a

3，得

= C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有OP=OA+OB成立． 當(dāng)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)l的方程為yk(x-1) 2(x+x)2+3(y+y

，整理

=6 1 1

B在

上

622

于

- x+

3-代入①解

．此

? 2

．于

2

?2P?，2因此，當(dāng)k

2

è

?，l的方程為2x+ =0? 22P?2，-22當(dāng)k

?，l的方程為2x- =(20)? 222±2綜上，C上存在

?使OP=OA+OB成立，此時(shí)l的方程為2x± =0 點(diǎn)求橢圓E的方程

1(a,b0，過M(2,2N(6,1兩點(diǎn)O為坐標(biāo)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，且OA^OB若存在，寫出該圓的方程，并求|B|的取值范圍；若不存在，說明理由ì4+2= í ?2

2=解：（Ⅰ）將M，N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程得?a

=∴橢圓E的方程為 （Ⅱ）證明：假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x2y2R2，其中0R2設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓EA(x1，y1)B(x2，y2)兩點(diǎn)，當(dāng)直AB的斜率存在時(shí)，令直線AB的方程為ykxm

xx+yy=由韋達(dá)定理

+1

+1

，∴1 1 ) )將①代入③并整理 1

1+1+

||

．由

R=23

存在

3滿足題意8

當(dāng)切線

的斜率不存在時(shí)，易得1=23

的方程得1=23綜上所述，存在

3滿足題意1+ 2 )1+1+ 2 )1+ )-21 )+2 -)21+? ?222-8è2k+1-4′2k2=

=4=4 2 ．=+1 264232∴è-t÷3 3-4t2

B|

2k+1， 4

B|2

B|

4 ，

4 綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的

3滿足題意，

4 zB=q，

|

22 322

則為銳角，

2

，

?yB

2≤tanq≤2 ?é ?ê2

26?x+1

A

?時(shí)

3 x?單調(diào)遞減?÷?÷

44?，2]

3 時(shí)

?單調(diào)遞增．∴ 交匯性問

過F1斜率為1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列求E的離心率(0- ìy=x+? íx+?2

=- 則 則 1+2)2-41]B|= 1+2)2-41]∵直線AB斜率為 a2- a2-即即

，∴a2=

．∴

的離心

a

2)x+ - x= 2 =-

y=x+ ， 3|=|B|

，得c3 a32，b3，∴橢圓E的方程為18+9A×B×求C的方程P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．解：（Ⅰ）設(shè)M(x,y)，由已知得B(x-3),A(0-1.∴曲線C的方程

1

上一點(diǎn)

，∴l(xiāng)的斜率為20y-y=1x(x-x ∴直線l的方程

2

則O點(diǎn)

dl的距

|2y-x220+4

y=1x2- 又 4 x420+x420+00d=00∴

=1x20x20+

)3當(dāng)x0=0時(shí)取等號(hào)，∴O點(diǎn)到l距離的最小值為A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)

DABD的面積為42p的值及圓F的方程若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到mn距離的比值.，解：（Ⅰ）由對(duì)稱性知：DBFD是等腰直角三角形，斜邊=，，點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d===，DSD

=

22

?p=2p2

，∴圓F的方程為x2(y-1)28

0)(x>

（Ⅱ）由對(duì)稱性

0

， 2

x= 0)Tx=

,A, 關(guān)于

F對(duì)稱得

2p

2p (

3p- 2

3p=3 3

，直

3333 T

切 63) 3) ?x- p=直 3p: 3p=∴坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為 （2013年新課標(biāo)卷理科）已知圓Mx+1)2y21，圓Nx-1)2y29，動(dòng)圓P與圓外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于AB兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|B|.解：由已知得圓M的圓心為M(-1,0,半徑r11圓N的圓心為N(1,0,半徑r23.設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(xy，半徑為 ∵圓P與圓M外切且與圓N內(nèi)切，∴PM||N|=(Rr(rRr 由橢圓的定義可知，曲線C是以MN為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為3的橢圓(左 點(diǎn)除外)，其方程為 N|當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)R2.∴當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，其方程為(x2)2y24，當(dāng)l的傾斜角為90時(shí)，則ly軸重合，可得|B|=23.|P| 知當(dāng)l的傾斜角不90時(shí)，由r1s知

l不平

x軸，設(shè)l

x軸的交點(diǎn)

得Q(-4,0，∴設(shè)lyk(x4，由l與圓M相切

|k|1+k2

=，解

k=±4k

4

24

代入

并整理得

-4±67

∴B|=

1+k2|x-x

=7 - 當(dāng)

4時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|B|=7 綜上，|B|=7或|B|=23

=1(a>0,b>

l:y=

:y=-已知雙曲求雙曲線E的離心率

的兩條漸近線分別為 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1,l2A（A（分別在第一、四象限），

的面積恒為

，試探究是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由解法一：（Ⅰ）∵雙曲線的漸近線分別為y=2x,y=-b = ，

=c2- ，c2-

5 5 ，設(shè)直（Ⅱ）由（Ⅰ）知，雙曲線的方程為a24a2=，設(shè)直

l與x軸交于點(diǎn)，當(dāng)直線l^x軸時(shí)，∵直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則=a,=，D又∵SOAB=8，∴ ，代入解得a=2D =1此時(shí)雙曲線E的方程

=1若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為 =下證：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲

也滿足條件設(shè)直

l的方程

ykx ，依題

k>

或k==

，

y=.由 y=

2-y=

2同理

2+k.

得122122-2+ =k

44 ，

=?

∵4-k2<0\=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-\=0，即直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

=∴存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲

，解法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，雙曲線的方程為a24a2=1， 1 <y=ìx=my+y=由 ，

y 12m，同理

y=-

x軸交于

C，

S=2-S=2-1+ t = 得： 1-即即.ìx=.

=?2

4m2-10，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅即(14m2)(a240a24.得雙曲線E的方程為

=1 ∴存在總與直

l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲

=1 .由 ，.由 ，依題意

<-

∴-∴

4-<0,D4-

.

A×B×

，又易

525 25 + + = =

4-

即m4(k4. .由（Ⅰ）得雙曲

=由?2

4k20直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅 =1∴雙曲線E的方程

當(dāng)^

又易

與雙曲

有且只有一個(gè)公共點(diǎn) =1∴此時(shí)雙曲線E的方程也

綜上所述，存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程是416求橢圓C的離心率設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA^OB，求直線AB與圓x2y22的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：（Ⅰ）由題意,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

=

∴c2=a2-b2=2∴a=

2 ∴橢圓C的離心

2(Ⅱ)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下：設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為(x0y0t,2),其中x010.A×,

t=x0當(dāng)x0t時(shí)

y0=-

,代入橢

C的方程,

t= 2∴直線AB的方程為x=±2.圓心O到直線AB的距離d=22此時(shí)直線AB與圓x2y22相切y-2=y0-2(x-當(dāng)x01t時(shí),直線AB的方程(y0-2)2+(x0-(y0-2)2+(x0-

x0-圓心O到直

d 00 0+04+0 02 此時(shí)直線AB與圓x2y22相切t=- ∴×B= x0 |O|=

|O|= +

||=，

)+x20 )+x2020y-2x0020 +0200 ) 2 +2) 0(x(x2 +2)+4)0||B|

(x2 +2)(x2 +2)·1(x20 x220 0022

|B|

y=-1其中x010.則直線OB方程 k，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2k, B|2

|222 ，

d2∴∴

=2+x=2+x 20+k0) ,∵點(diǎn)A在橢圓上，可

2 0d22 0

0=

d=

，所

E:y2=2px(p> 和， 和，

E

A

E

B過原點(diǎn)的兩條直線 2，1與 2分別交于 2兩點(diǎn)，2與 2分別交于 2兩點(diǎn)yEEE E l

C (Ⅱ)

作直

（異于 2）與1，2分別交于 2兩點(diǎn) B1l1B2ìy=

ìy=

A1(k2，

p

A2(k2 由

，由

2

B(2p22p2同理可

2

2 =(1=(11

1-1，

1 ∴

k1 12=(22=(2p2

2p2-2p2)=2p(1-

-1，

2 AB 1AB

k1 11 2

AB//AB ，∴1

22∴ AB 1ABp1 2p又由

p2，∴

1（2014年廣東理科）已知橢圓Ca2b21(ab0的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,015離心率為3C求橢圓1的方程若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程 解：（Ⅰ）由題可知c＝5，又a＝ +

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4 （Ⅱ）設(shè)兩切線為1，21軸或1軸時(shí)，對(duì)應(yīng)21軸或1軸時(shí)，對(duì)應(yīng)2

軸或2軸，可；②當(dāng)l與x軸不垂直且不平行時(shí)， 軸或2軸，可； 01

，設(shè)1的斜率則k≠0，l的斜率為－

y=k(x-x)2

，1的方程 聯(lián)立

4＝1

-36k2+4[(y-kx)2- (x2-9)k2-2xyk+y2-4=

＝0，

0 (x2-9)x2-2xyx+y2-∴是方 1

0

＝0的一個(gè)根 同理

是方

0

＝0的另一個(gè)根×(1)

=- 0 0

x+ ，

0＝13，其中0∴ 的軌跡方程

P

又 滿足上式，∴綜上，

的軌跡方程

任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|A|=|D|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)DADF為正三角形.求C的方程1，且11，且1

C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)DABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由?

?p+ ?2,0

,0

?.

， 的中點(diǎn)為 ?A|=|D|

p23 =p2 或或

t-3(舍去)．由

p+2t=3

，解得p2所以拋物線C的方程為y2=)()>)A|=|D|

=-2

因?yàn)橹本€1和直

平行，設(shè)直線1的方程 ll

b=- 代入拋物線方程

，由題

， 0E(x,y

y

0 0ky- k0當(dāng)s0當(dāng)s時(shí)

AE

0 x-42E- x-424240

00，可得直

y-y0

00

，=== 由 0，整理可

00

，直

0當(dāng)0當(dāng)

時(shí)，直

．∴直

②由①知，直線AE恒過點(diǎn) x+1+ ?x+÷= 所 è

y-y=-y0(x-x 0

x=-

.

y-8-4x= y+y=-代入拋物線方程

，所

y=-8- x=4+x+14x+x4x+x0+4? -?0? 0yè0?1+

∴點(diǎn)B到直線AE的距離d

=4

++ S ′4

+

?? èxè

? +2?3 22

÷? 1x

x=當(dāng)且僅

0，即

時(shí)，等號(hào)成立

ab

（ >）的左、右焦點(diǎn)為 2，右頂點(diǎn)為 3上頂點(diǎn)為B.已 12求橢圓的離心率1設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與該圓相切.求直線的斜率.1)2121 ，可

e 又b2a2-c2a22c2．∴a=． ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可

．∴橢圓方程

1×1P=x y

020+02∵點(diǎn)P在橢圓上，∴

= x，聯(lián)立?x

2+2y

2，化為

xs

x0=-

x+y+c=

P(-4,c∵ ，c

3，代入 ))

，可 c+

3T(x,y

=2設(shè)圓心 1，

3

2c

2cc (-c,

，∴圓的半

)+

-) 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=∵直線l與圓相切，∴

1+

5 整理得k28k+10，解得k4

∴直線l的斜率為4

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢

=1(a>b>

的左、右焦C

::

已

3-11過F作C的不垂直于y軸的弦ABM11的中點(diǎn)．當(dāng)直線

與2

PQ,兩點(diǎn)時(shí)，求四邊,

面積的最小值 a2-

2，

2

，∴a2=2b2 F4(

3-∴b=1

．∴

，

.（2）AB不垂直于y軸，且過點(diǎn)F1(-1,0∴可設(shè)直線AB的方程為xmy-ìx=my-1 由?

y+y yy -∴ m2+2，1

∴

-

-

m2+2∴直

的斜率

2 2 的方程

y=

代入

得(2m2

=42-m20，

2-

Q|=∴

的距離A到的距離

d，則

B到直

的距離也 在直 的異側(cè)， 在直 的異側(cè)， |(m2+2)|y-y∴

2

1+

22

1+|y-y (y+y)2-4yy

1

，

22×1+ S

Q| =22×- 2-

2-而02-m2￡2m0時(shí)S取得最小值2．1C1（2014年陜西理科）如圖，曲線C由上半橢

::

和部分拋物32 1Cy-x2+1(y￡0連接而成，C,C的公共點(diǎn)為AB，其中C的離心率為22 1求a,b的值過點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于P,Q（均異于點(diǎn)AB），AP^AQ，求直線l的方程．解：（Ⅰ）在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(-c設(shè)C1的半焦距為c，由a

2及a2c2b21得a2a2，b1（Ⅱ）解法一由⑴知，上半橢圓C1的方程為

（y30易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=k(x-1)（k10代入C1的方程，整理

-

?k2- -8k

?k2+4,k2+4由求根公式，

，從

，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ??y= (y￡

同理，由

的坐標(biāo)

-×Lk-ks0k-4(k+2)=0，解

k=-3．經(jīng)檢驗(yàn)

k=-符合題意故直線l的方程 F(30)的距離的3倍之和記為d．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和．求點(diǎn)P的軌跡設(shè)過點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于MN兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值

|由題設(shè)

d18x，

+3|x-2|=18+

=當(dāng)x2時(shí)，由①

化簡得 時(shí)由①

化簡 故點(diǎn)P的軌

C是由橢

在直

x=

yOFx=的右側(cè)yOFx=

x= x 在直

的左側(cè)部分（包括它與直線 的交點(diǎn)）所組的曲線，參見圖2（Ⅱ）如圖所示，易知直線x2與C1，C2的交點(diǎn)都是A(2,262N 2當(dāng)點(diǎn)P在C上時(shí)，由③知=3+2

6若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為yk(x3)66（i）當(dāng)kkAF，或kkBF，即k-6

，或k

時(shí)，直線l與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)1111111F|=F|=

-22x-21F|F|=

2x

xìy=k(x-

12

(1+ ? =?由

則1，2是這個(gè)方程的兩根，所以1+2= 因?yàn)?/p>

24

=+4 +4當(dāng)且僅當(dāng)k26時(shí)，等號(hào)成立66

分別

在

上，點(diǎn)2上，則④⑤知

2 2與橢 的另一交點(diǎn)為設(shè)直線 與橢 的另一交點(diǎn)為FF2 2 66

，有（i）

11

若直

的斜率不存在，則1=2=3，此

11 綜上所述，線段MN長度的最大值為11三．思路探（一）考查要（二）歷年考2010（20）：橢圓：等差數(shù)列、橢圓定義、弦長公式求離心率、等腰三角形三線合一2011（20）：拋物線：向量共線與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，曲線在某點(diǎn)處的切線，點(diǎn)線距2012（20）：拋物線與圓的綜合，拋物線的定義，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)關(guān)聯(lián)切線2013（20）：圓與圓內(nèi)切和外切，橢圓的定義及方程，直線與橢圓的相交求弦長 與E相交于A、B兩點(diǎn)，且AF2，，BF2成等差數(shù)列求E的離心率，(0-|=|B|B|=，B|= B|| a2-，其a2-，其

ìy=x+ =?2 - 則 則 )- 2 1 )- 2 1 即即

．∴

的離心

a

a2-a2-x+ - x= 2 =-

y=x+

， 3|=|B|

，得c3a32，b3 =∴橢圓E的方程為 在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知A(0-1)B點(diǎn)在直y3M點(diǎn)滿足MB×B×求C的