函數(shù)的極值與最大值課件

5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲蹈叨墶私藺版—高中數(shù)學(xué)—第五章

復(fù)習(xí)回顧1.函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間的關(guān)系：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的一般步驟：第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點；第1步，確定函數(shù)f(x)的定義域；探究新知問題1:

如果函數(shù)在某些點的導(dǎo)數(shù)為0

，那么在這些點處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？單調(diào)遞增單調(diào)遞減

我們先來研究前面學(xué)習(xí)過的高臺跳水問題.觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大.0tabh追問1：如圖

，函數(shù)y=f(x)在

x=a,b,c,d,e等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？問題2:對于一般的函數(shù)y=f(x)

，是否具有同樣的性質(zhì)？

函數(shù)f(x)在x=a的函數(shù)值比它附近的函數(shù)值都小.

函數(shù)f(x)在x=b的函數(shù)值比它附近的函數(shù)值都大.探究新知追問2：y=f(x)在這些點處的導(dǎo)數(shù)值是多少？f′(a)=0f′(b)=0問題2:對于一般的函數(shù)y=f(x)

，是否具有同樣的性質(zhì)？探究新知追問3：在這些點附近

，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么規(guī)律？在x=a附近左側(cè)單調(diào)遞減，f′(x)<0右側(cè)單調(diào)遞增，f′(x)>0在x=b附近左側(cè)單調(diào)遞增，f′(x)>0,右側(cè)單調(diào)遞減，f′(x)<0問題2:對于一般的函數(shù)y=f(x)

，是否具有同樣的性質(zhì)？探究新知概念形成我們把

a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，

f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；

b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值；極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值(extremum).極值點與極值的定義：問題3：

觀察圖3

，找出圖中的極值點，并說明哪些為極大值點

，哪些為極小值點？探究新知極大值和極小值分別是多少？問題3：

觀察圖3

，找出圖中的極值點

，并說明哪些為極大值點

，哪些為極小值點？探究新知極大值：f(x2),f(x4),f(x6)極小值：

f(x1),f(x3),f(x5)追問1：

函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值點和極小值點唯一嗎？極大值點：x2,x4,x6極小值點：x1,x3,x5極大值和極小值分別是多少？追問2：區(qū)間的端點能成為極值點嗎？不唯一不能追問3：極大值一定大于極小值嗎？極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況

，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì).極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系．一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值

，在某一點的極小值可能大于另一點的極大值．極小值極大值探究新知

當(dāng)

x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

探究新知問題4：

若f′(x0)=0

，則

x0是否為極值點?xyOy＝x3解：函數(shù)f(x)=

x3

，f′(x)=3x2當(dāng)x=0時

，f′(0)=0當(dāng)x≠0時

，f′(x)>0又因為函數(shù)f(x)=

x3是增函數(shù)所以0不是函數(shù)f(x)=

x3的極值點.追問：x=0是否為函數(shù)

f(x)=

x3的極值點?探究新知問題4：

若f′(x0)=0

，

則

x0是否為極值點?結(jié)論：f′(x0)=0

是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件.f′(x0)=0x0是函數(shù)f(x)的極值點f′(x0)=0x0是函數(shù)f(x)的極值點歸納方法一般地，可按如下方法求函數(shù)y=f(x)的極值：解方程f′(x)=0，當(dāng)f′(x0)=0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值.＋－x0－＋x0探究：前面找出了函數(shù)y=f(x)的在區(qū)間[a,b]上的極大值、極小值，那么f(x)在區(qū)間[a,b]的內(nèi)最大值、最小值呢?極大值：f(x2),f(x4),f(x6)極小值：

f(x1),f(x3),f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)x0yax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6問題6：觀察[a,b]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們在[a,b]上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？xyOaby=f(x)xyOabx2x1x3x4x5y=g(x)最大值：f(b);最小值：f(a)最大值：f(x3);最小值：f(x4)

一般地，如果在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)曲線,它必有最大值和最小值.

追問：函數(shù)最值與極值有什么關(guān)系？函數(shù)最值與極值的關(guān)系：求最值的方法：只要把函數(shù)y=f(x)的所有極值連同端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大值和最小值.1.函數(shù)的最值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的.2.函數(shù)的極值可以有多個，但函數(shù)在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個.3.極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得.

又因為f(0)=4,f(3)=1

方法歸納

求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的極值；

x(,

－2)－2(－2,)f'(x)0f(x)–+單調(diào)遞減單調(diào)遞增

f(x)=(x+1)exxyO11-1-2-1

（1）求出函數(shù)f

(x)的定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)數(shù)f'(x)及其零點；（3）用零點將f

(x)定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f'(x)在各個區(qū)間上的正負(fù)，并得出f

(x)單調(diào)性與極值；（4）確定f

(x)圖象經(jīng)過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；（5）畫出f

(x)的大致圖象.通常可以按如下步驟畫出函數(shù)f

(x)的大致圖象:方法歸納

問題：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響(1)你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎？(2)是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？

我們利用導(dǎo)數(shù)工具來解決這個問題.

ryO321本節(jié)課的主要內(nèi)容：函數(shù)的極值函數(shù)的極值的概念如何求函數(shù)的極值極值點存在的條件函數(shù)的最值如何畫函數(shù)的大致圖像

回顧與小結(jié)

回顧與小結(jié)解方程f′(x)=0，當(dāng)f′(x0)=0時，(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<