《復(fù)變函數(shù)論》教學(xué)大綱

《復(fù)變函數(shù)論》教學(xué)大綱一、課程基本信息課程編碼：0601112B中文名稱：復(fù)變函數(shù)論英文名稱：TheoryofFunctionsofComplexVariable課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)及核心課總學(xué)時：48總學(xué)分：3適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)先修課程：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，解析幾何二、課程目標(biāo)（一）具體目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生達到以下目標(biāo)：1.了解復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史，遵循周易中的復(fù)卦的復(fù)?！局萎厴I(yè)要求1】2.理解復(fù)數(shù)的表示方法?！局萎厴I(yè)要求2】3.理解復(fù)變函數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法?！局萎厴I(yè)要求3】4.掌握留數(shù)的計算和應(yīng)用。【支撐畢業(yè)要求5】5.能夠應(yīng)用復(fù)變函數(shù)方法解決實際問題，理解不同學(xué)科間的聯(lián)系與滲透?！局萎厴I(yè)要求3、4】6.培養(yǎng)了抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、科學(xué)計算能力及分析和解決實際問題的能力?！局萎厴I(yè)要求4、6、7、8】（二）課程目標(biāo)與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系表1課程目標(biāo)與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系課程目標(biāo)支撐的畢業(yè)要求支撐的畢業(yè)要求指標(biāo)點課程目標(biāo)11.師德規(guī)范1-1以立德樹人為根本，以教書育人為己任。遵守中學(xué)教師職業(yè)道德規(guī)范，具有依法執(zhí)教意識，立志成為有理想信念、有道德情操、有扎實學(xué)識、有仁愛之心的好老師。1-2認(rèn)可和接受當(dāng)前教師的經(jīng)濟和社會地位，自覺維護職前教師群體的身份，以立德樹人為己任，給學(xué)生傳遞正能量。1-3遵守教師職業(yè)道德，依規(guī)依法執(zhí)教，以“四有”好老師的標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格要求自我。課程目標(biāo)22.教育情懷2-1具有良好的科學(xué)素養(yǎng)和深厚的人文底蘊。尊重學(xué)生人格，富有愛心、責(zé)任心和事業(yè)心，工作細(xì)心、耐心，做學(xué)生錘煉品格、學(xué)習(xí)知識、創(chuàng)新思維、奉獻祖國的引路人。2-2經(jīng)常閱讀與學(xué)習(xí)，廣泛涉獵人文、科學(xué)書籍，豐富自身文化修養(yǎng)，具有科學(xué)精神。2-4尊重學(xué)生，有愛心、耐心、責(zé)任心和事業(yè)心，潛心教書育人，做學(xué)生成長引路人。課程目標(biāo)33.學(xué)科素養(yǎng)3-1具有豐富的數(shù)學(xué)專業(yè)知識和專業(yè)核心素養(yǎng)，具有較強的空間抽象、邏輯思維和計算能力，熟悉中學(xué)各年級教材的地位、作用、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)及內(nèi)在聯(lián)系。3-2了解數(shù)學(xué)學(xué)科與物理、計算機等學(xué)科以及現(xiàn)實生活實踐的聯(lián)系。3-3理解和掌握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，掌握以此為目標(biāo)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)方法與策略。課程目標(biāo)45.班級指導(dǎo)5.1具有以人為本、德育為先的育人理念，了解中學(xué)德育原理與方法。課程目標(biāo)53.學(xué)科素養(yǎng)4.教學(xué)能力3-3理解和掌握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，掌握以此為目標(biāo)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)方法與策略。4-1掌握中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)涵和要點，了解中學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知特點和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律。4-4了解數(shù)學(xué)教學(xué)研究的基本思想和基本方法，具有一定的教學(xué)研究能力。課程目標(biāo)64.教學(xué)能力6.綜合育人7.學(xué)會反思8.溝通合作4-3能依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點和學(xué)生的認(rèn)知特征，恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)學(xué)學(xué)科知識、信息技術(shù)，進行教學(xué)設(shè)計，有效實施、分析、評價和改進課堂教學(xué)。6-1了解中學(xué)生身心發(fā)展和養(yǎng)成教育規(guī)律，掌握課程育人、文化育人、活動育人、管理育人的內(nèi)涵及方法。7-1具有自主學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)和專業(yè)發(fā)展意識，有不斷學(xué)習(xí)和適應(yīng)發(fā)展的能力。7-3掌握反思方法和技能，學(xué)會運用批判性思維方法分析和解決數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的問題。8-1具有團隊協(xié)作精神，掌握溝通合作技能，積極主動參與小組學(xué)習(xí)、專題研討、團隊互動、網(wǎng)絡(luò)分享等協(xié)作學(xué)習(xí)活動，樂于分享經(jīng)驗和想法。三、課程內(nèi)容（一）課程內(nèi)容與課程目標(biāo)的關(guān)系表2課程內(nèi)容與課程目標(biāo)的關(guān)系課程內(nèi)容教學(xué)方法支撐的課程目標(biāo)學(xué)時安排第一章復(fù)變函數(shù)的基本概念學(xué)生自學(xué)、課堂講授課程目標(biāo)1、2、3、610第二章復(fù)積分課堂講授、專題研討課程目標(biāo)3、5、69第三章復(fù)級數(shù)理論課堂講授、學(xué)生自學(xué)課程目標(biāo)3、5、68第四章留數(shù)理論課堂講授、討論研討課程目標(biāo)3、4、69第五章共性映射理論課堂講授、圖形變換課程目標(biāo)3、5、68第六章解析延拓課堂講授、理論推演課程目標(biāo)34合計48學(xué)時（二）具體內(nèi)容第一章復(fù)變函數(shù)的基本概念(10學(xué)時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求】1、學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史，理解“復(fù)”的含義。會用復(fù)數(shù)的6種表示方法互相變換，會準(zhǔn)確計算六種表示方法中復(fù)數(shù)的實部、虛部、模、輻角等。會應(yīng)用復(fù)數(shù)乘除的幾何意義證明一些幾何問題。會計算復(fù)數(shù)列的極限。掌握復(fù)變函數(shù)極限與實二元函數(shù)二重極限關(guān)系，會計算復(fù)變函數(shù)的極限。掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要條件，理解可微分的充要條件，理解可微分的必要條件。2、學(xué)習(xí)要求：理解復(fù)數(shù)的相關(guān)基本概念，掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，理解復(fù)數(shù)的三角形式乘除運算，掌握三角形式的冪運算和開方運算。理解復(fù)數(shù)的幾何表示和幾何意義，掌握復(fù)數(shù)乘法除法的幾何意義，了解復(fù)數(shù)冪和開方的幾何意義。理解復(fù)數(shù)極限的定義，掌握復(fù)數(shù)列極限的充要條件，理解復(fù)變函數(shù)的定義，理解復(fù)變函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，了解復(fù)變函數(shù)的分類，理解復(fù)變函數(shù)極限的定義和充要條件，理解連續(xù)性的定義，掌握復(fù)變函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，理解復(fù)變函數(shù)連續(xù)的充要條件。掌握初等函數(shù)連續(xù)性。理解復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，掌握復(fù)函數(shù)實部和虛部的導(dǎo)數(shù)定義，掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算，掌握導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù)運算，理解導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)運算，理解初等函數(shù)的可導(dǎo)性，理解復(fù)變函數(shù)微分的定義，理解復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)、微分和連續(xù)的關(guān)系，理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)和實二元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。熟悉指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的基本性質(zhì)以及和實函數(shù)的區(qū)別，理解三類基本初等函數(shù)的映照性質(zhì)。深刻理解解析函數(shù)定義，會用解析函數(shù)的條件判斷函數(shù)的解析性。了解初等多值函數(shù)。能將初等多值函數(shù)分解為若干個單值函數(shù)。掌握對數(shù)函數(shù)的計算和反三角函數(shù)的計算?！緦W(xué)習(xí)重點與難點】1、學(xué)習(xí)重點：復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史，復(fù)數(shù)的6種表示方法，代數(shù)形式的四則運算，三角形式的乘除運算和冪運算，開方運算。復(fù)數(shù)列極限的充要條件，復(fù)數(shù)列極限的計算，計算復(fù)變函數(shù)的極限。復(fù)變函數(shù)連續(xù)的充要條件，初等函數(shù)連續(xù)性。復(fù)函數(shù)的微分，復(fù)函數(shù)可微分的條件。初等解析函數(shù)，解析函數(shù).2、學(xué)習(xí)難點：復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示和向量表示的運算，復(fù)數(shù)幾何意義，復(fù)數(shù)乘除冪和開方的幾何意義。復(fù)數(shù)列極限的定義，復(fù)變函數(shù)的分類，復(fù)變函數(shù)的極限，復(fù)變函數(shù)極限與實二元函數(shù)二重極限關(guān)系，連續(xù)性的定義，復(fù)變函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)。復(fù)函數(shù)可微分的條件。初等多值函數(shù)?！緦W(xué)習(xí)內(nèi)容】1.1復(fù)數(shù)及其運算1.2復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.4解析函數(shù)第二章復(fù)積分(9學(xué)時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求】1、學(xué)習(xí)目標(biāo)：靈活運用復(fù)函數(shù)積分的基本性質(zhì)，理解復(fù)變函數(shù)的估值性質(zhì)。熟練掌握柯西積分定理，并能靈活應(yīng)用，掌握柯西積分定理的推廣形式，掌握不定積分和原函數(shù)的性質(zhì)。會求拉普拉斯方程的復(fù)變函數(shù)解法。了解復(fù)數(shù)邊界積分方程的一般理論。會用解析函數(shù)實部和虛部表示向量函數(shù)，會用解析函數(shù)表示靜電場中的電場線和等勢線。2、學(xué)習(xí)要求：理解并掌握復(fù)變函數(shù)積分的概念，掌握復(fù)變函數(shù)和實二元函數(shù)在曲線上積分的關(guān)系。熟練掌握復(fù)變函數(shù)的積分計算并能靈活應(yīng)用各種方法。靈活運用柯西積分公式，深刻理解解析函數(shù)的無窮可微性，掌握柯西不等式與劉維爾定理，掌握代數(shù)學(xué)基本定理，掌握摩勒拉定理。理解并掌握調(diào)和函數(shù)的定義和性質(zhì)，了解調(diào)和函數(shù)的應(yīng)用。理解并掌握拉普拉斯方程定義，了解拉普拉斯方程的應(yīng)用。理解并掌握復(fù)勢的定義，熟悉平面向量場的解析函數(shù)表示法。熟練掌握流體中各種場的解析函數(shù)表示。理解并掌握電場中的復(fù)勢理論?！緦W(xué)習(xí)重點與難點】1、學(xué)習(xí)重點：復(fù)變函數(shù)積分的計算，復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)?？挛鞣e分定理，柯西積分公式及其推論。調(diào)和函數(shù)的概念及其性質(zhì)，調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。復(fù)變函數(shù)表示復(fù)勢。2、學(xué)習(xí)難點：復(fù)變函數(shù)積分的概念?？挛鞣e分定理的推廣?？挛鞑坏仁脚c劉維爾定理、代數(shù)學(xué)基本定理，摩勒拉定理。拉普拉斯方程的解答，復(fù)數(shù)邊界積分方程。流體中的復(fù)勢應(yīng)用，靜電場中的復(fù)勢應(yīng)用?！緦W(xué)習(xí)內(nèi)容】2.1復(fù)積分的定義2.2柯西積分定理與柯西積分公式2.3解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)關(guān)系2.4復(fù)勢理論及其應(yīng)用第三章復(fù)級數(shù)理論(8學(xué)時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求】1、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂和條件收斂，掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的性質(zhì)，會計算復(fù)數(shù)項級數(shù)的求和，掌握復(fù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)和優(yōu)級數(shù)判別法，理解內(nèi)閉一致收斂定義。掌握解析函數(shù)的泰勒展式，會求初等函數(shù)的泰勒展式。明確解析函數(shù)零點的孤立性，會判斷解析函數(shù)零點的階數(shù)，會證明解析函數(shù)恒為零的命題，會用反證法和最大模原理證明復(fù)變函數(shù)命題。會求解析函數(shù)的洛朗展式。切實掌握孤立奇點的三種類型及其判斷方法和性質(zhì)。會判斷無窮遠(yuǎn)點孤立奇點類型。2、學(xué)習(xí)要求：理解復(fù)數(shù)項級數(shù)定義和復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂定義，理解復(fù)數(shù)項級數(shù)和實數(shù)項級數(shù)的關(guān)系。理解復(fù)函數(shù)項級數(shù)定義，和函數(shù)定義，理解復(fù)函數(shù)項級數(shù)收斂和一致收斂的定義，掌握解析函數(shù)可導(dǎo)性質(zhì)。掌握冪級數(shù)的收斂半徑求法及其性質(zhì)，判斷冪級數(shù)和函數(shù)的解析性。掌握解析函數(shù)唯一性定理，會應(yīng)用解析函數(shù)唯一性定理及其推論，了解解析函數(shù)局部和整體關(guān)系的分析，理解最大模原理，會用最大模原理證明解析函數(shù)恒為常數(shù)，了解最大模原理與實函數(shù)最大值的關(guān)系。理解洛朗展式和泰勒展式的關(guān)系。了解皮卡（Picard）定理。了解解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)，了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念及其性質(zhì)?！緦W(xué)習(xí)重點與難點】1、學(xué)習(xí)重點：解析函數(shù)項級數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)。冪級數(shù)和的解析性判斷。解析函數(shù)零點的孤立性，解析函數(shù)唯一性定理。解析函數(shù)的洛朗展式?？扇テ纥c、極點、本性奇點。解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)。2、學(xué)習(xí)難點：復(fù)函數(shù)項級數(shù)收斂和一致收斂的定義。冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況、一些初等函數(shù)的泰勒展式。最大模原理。洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系。施瓦茨（Schwarz）引理、皮卡（Picard）定理。整函數(shù)、亞純函數(shù)?！緦W(xué)習(xí)內(nèi)容】3.1復(fù)數(shù)項級數(shù)和復(fù)函數(shù)項級數(shù)3.2冪級數(shù)3.3解析函數(shù)的唯一性定理和零點孤立性(含最大模原理)3.4洛朗級數(shù)3.5孤立奇點3.6整函數(shù)和亞純函數(shù)第四章孤立奇點留數(shù)的定義與計算(9學(xué)時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求】1、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握留數(shù)定理及其留數(shù)求法。會用用留數(shù)定理計算實積分，掌握儒歇定理。2、學(xué)習(xí)要求：掌握留數(shù)定理及其留數(shù)求法，理解無窮遠(yuǎn)點留數(shù)和有限點留數(shù)的關(guān)系，理解留數(shù)和復(fù)變函數(shù)積分的關(guān)系。了解積分路徑上有奇點的積分和應(yīng)用多值函數(shù)的積分，理解輻角原理?！緦W(xué)習(xí)重點與難點】1、學(xué)習(xí)重點：留數(shù)的定義及留數(shù)定理、留數(shù)的求法。用留數(shù)定理計算實積分。2、學(xué)習(xí)難點：留數(shù)的求法、無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)。對數(shù)留數(shù)、輻角原理、儒歇定理?！緦W(xué)習(xí)內(nèi)容】4.1留數(shù)及其計算4.2留數(shù)計算實積分4.3輻角原理第五章共性映射（8學(xué)時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求】1、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握解析變換的特性，深刻理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。會應(yīng)用分式線性變換。掌握某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射。2、學(xué)習(xí)要求：掌握解析變換的特性，深刻理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，明確共形映射的概念。了解黎曼存在定理和邊界對應(yīng)定理。掌握分式線性變換及其性質(zhì)。深刻理解某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射?！緦W(xué)習(xí)重點與難點】1、學(xué)習(xí)重點：解析變換的保域性、解析變換的保角性---導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單葉解析變換的共形性。分式線性變換的共形性、分式線性變換的保交比性。冪函數(shù)與根式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)。2、學(xué)習(xí)難點：黎曼存在定理、邊界對應(yīng)定理。分式線性變換應(yīng)用。由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射、儒可夫斯基函數(shù)的單葉性區(qū)域。【學(xué)習(xí)內(nèi)容】5.1共形映射5.2分式線性變換5.3初等函數(shù)共形映射的綜合應(yīng)用第六章解析延拓(4學(xué)時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求】1、學(xué)習(xí)目標(biāo)：認(rèn)識透弧解析延拓。2、學(xué)習(xí)要求：了解解析開拓的概念和一般原理。了解對稱原理。了解完全解析函數(shù)及黎曼面的概念?！緦W(xué)習(xí)重點與難點】1、教學(xué)重點：解析延拓的冪級數(shù)方法。2、教學(xué)難點：透弧直接解析延拓、黎曼--施瓦茨對稱原理?！緦W(xué)習(xí)內(nèi)容】6.1解析延拓的概念與冪級數(shù)延拓6.2透弧解析延拓、對稱原理6.3完全解析函數(shù)及黎曼面的概念四、教學(xué)方法1、授課：以課堂講授為主,采取板書配以多媒體的方式。適當(dāng)采取研討案例方法。2、習(xí)題課：進行典型問題分析，方法總結(jié)，難題講解，與學(xué)生黑板演題相結(jié)合，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，解題能力和思維嚴(yán)密性。3、作業(yè)：每次課后配以一定量的書面作業(yè)（含習(xí)題作業(yè)和培養(yǎng)目標(biāo)要求作業(yè)），按學(xué)院統(tǒng)一要求每周批改一次。4、輔導(dǎo)：每周進行答疑輔導(dǎo)。5、根據(jù)我院學(xué)生特點,突出學(xué)生的主體性，以課堂教學(xué)與多媒體教學(xué)為主，自學(xué)為輔。理論教學(xué)為主，自學(xué)實踐和創(chuàng)新作業(yè)為輔。五、課程考核方式與成績評定1、建議使用的考核方法：閉卷。成績評定綜合考慮多種考核方式，平時成績?yōu)椋?0%）為：作業(yè)、考勤、能力考核、小論文設(shè)計作業(yè)、創(chuàng)新作業(yè)等多種形式選擇3-4種進行計算平均分（百分制）。期末考試成績：按考試成績結(jié)果百分制計算，占70%。2、綜合成績=平時成績（30%）+期末考試成績（70%）。六、課程評價課程評價主要是本門課程的課程目標(biāo)達成度評價。課程目標(biāo)達成度評價主要采用定量評價的方法，評價對象為考核成績的平均得分率，其中將平時成績中的兩種種考核方式合并為平時成績，于是課程目標(biāo)達成度的評價依據(jù)包括：平時成績和期末考試成績。分目標(biāo)的達成度為對各項平均成績的得分率取加權(quán)平均值，課程目標(biāo)達成度為各分目標(biāo)達成度的最小值。例如，課程目標(biāo)1中，平時成績50分中，平均得分率為0.9，，期