2023年09月八年級數學上冊第二章軸對稱100題專題培優(yōu)訓練有難度【含答案】

一、單選題1．如圖，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分線，動點M、N同時從A點出發(fā)，以相同的速度分別沿A→C→B和A一B→C方向運動，并在邊BC上的點E相遇，連接AE，①AE平分△ABC的周長，②AE是△ABD的角平分線，③AE是△ABD的中線.以上結論正確的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是CA延長線上一點，點O在AD延長線上，OP=OB，下面的結論：①∠APO?∠OBD=30°；②△BPO是正三角形；③AB?AP=AO；④S四邊形AOBPA．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，在矩形紙片ABCD中，AD=10，AB=8，將AB沿AE翻折，使點B落在B′處，AE為折痕，再將EC沿EF翻折，使點C恰好落在線段EB′上的點C′處，EF為折痕，連接ACA．13 B．14 C．154．已知如圖將長方形ABCD沿GH折疊后A點落在點E，D點落在點F，請分析以下結論：①∠1＝∠3；②GE平分∠HGB；③GH平分∠AGE；④2∠2﹣∠1＝180°．其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點并且滿足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正確的結論有（）個A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，AB為☉O的直徑，P為弦BC上的點，∠ABC=30°，過點P作PD⊥OP交☉O于點D，過點D作DE∥AB交AB的延長線于點E.若點C恰好是AD的中點，BE=6，則PC的長是（）A．63-8 B．33-3 C．2 7．平行四邊形ABCD中，∠ACB=45°，AC，BD交于點O，E是BC邊上一點，連接AE，過點B作BF⊥AE并延長交AC于點G，交CD于點H，已知AB=AE，AF=3，EF=1，則下列結論：①∠BAE=2∠CBH；②S△ABE=27；③BE=2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，正方形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（1，1），（3，1），若正方形ABCD第1次沿x軸翻折，第2次沿y軸翻折，第3次沿x軸翻折，第4次沿y軸翻折，第5次沿x軸翻折，…則第2021次翻折后點C對應點的坐標為（）A．（3，﹣3） B．（3，3）C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）9．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60°到AQ，連接DQ，則線段DQA．52 B．52 C．510．如圖，在矩形紙片ABCD中，AD=9，AB=7，點F是BC上一點，點E在AD上，將矩形紙片沿直線EF折疊，點A落在點A′處．點B恰好落在邊CD上的點B′處，A′B交AD于點G，若A．353 B．553 C．352二、填空題11．如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E在AD上,且DE=CD,連接OE,∠ABE=12∠ACB，若AE=2，則OE的長為12．對于坐標平面內的點，先將該點向右平移1個單位，再向上平移2個單位，這種點的運動稱為點的斜平移，如點P（2，3）經1次斜平移后的點的坐標為（3，5）.已知點A的坐標為（1，0）.如圖，點M是直線l上的一點，點A關于點M的對稱點為點B，點B關于直線l的對稱點為點C.若點B由點A經n次斜平移后得到，且點C的坐標為（7，6），則點B的坐標為及n的值為.13．如圖，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，點M在對角線BD上，點N為射線BC上一動點，連接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，當△DMN是等腰三角形時，線段BN的長為．14．如圖，某數學興趣小組在學完矩形的知識后一起探討了一個紙片折疊問題：如何將一張平行四邊形紙片ABCD的四個角向內折起，拼成一個無縫隙、無重疊的矩形EFGH．圖中EF，FG，GH，HE表示折痕，折后B,D的對應點分別是M,N．若AB=8cm，AD=10cm，∠B=60°，則紙片折疊時AH的長應?。?5．如圖，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，點P是射線BC上一動點，連接AP，將ΔABP沿AP折疊，當點B的對應點B′落在線段BC的垂直平分線上時，BP的長等于16．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且DE=2.將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG，CF.下列結論：①△ABG≌△AFG；②∠GAE=45°；③BG=GC；④AG//CF；⑤△CFE是等腰三角形.其中正確的結論有（填寫所有正確結論的序號）.17．如圖，△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，DC=2BD=4，以點D為頂點作正方形DEFG，且DE=BC，連接AE，AG.若將正方形DEFG繞D點旋轉一周，當AE取最小值時，AG的長為18．如圖，AD，BE在AB的同側，AD＝2，BE＝2，AB＝4，點C為AB的中點，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是．19．如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3…An在x軸上，B1，B2，B3…Bn在直線y=33x上．若A1(1,0)，且△A1B120．如圖，等腰△ABC底邊BC的長為4cm，面積是12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一動點，則△BDM的周長最小值為cm.三、解答題21．在△ABC中，∠BAC=α，AB=AC，過點A作∠EAF=12α(使點E，A，F按順時針的順序排列)，過點C作直線CM⊥直線AE，垂足為點M，直線CM交直線AF于點（1）如圖1，若α=90°，∠EAF的邊都在∠BAC的內部，作點C關于AE的對稱點C'①∠CAE+∠BAF=▲°，BN▲C'N；(填“<”“>”或“=②求證：MN=CM+BN．（2）如圖2，若α=130°，∠EAF的邊都在∠BAC的外部，當AM=4，MN=411BN，△ACN的面積為12（3）若90°<α<180°，∠EAF有一條邊在∠BAC的內部，請直接寫出線段MN，BN，CN之間的等量關系．22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C落在AB邊的C′點，那么△ADC′的面積是多少平方厘米？23．如圖，△ABC在平面直角坐標系中，其頂點坐標分別為A（－2，2），B（－4，－2），C（－1，－2）．在坐標系中畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′．24．閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且∠AED＝∠B，延長DE與BC的延長線交于點F，∠BAC和∠BFD的角平分線交于點G．那么AG與FG的位置關系如何？為什么？解：AG⊥FG．將AG、DF的交點記為點P，延長AG交BC于點Q．因為AG、FG分別平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝▲，▲（角平分線定義）又因為∠FPQ＝▲+∠AED，▲＝▲+∠B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝▲（等式性質）（請完成以下說理過程）25．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：

（1）如圖1，將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D．

①比較大小：PC______PD．(選擇“>”或“<”或“=”填空）；

②證明①中的結論．

（2）將三角板的直角頂點P在射線ＯＭ上移動，一直角邊與邊OA交于點C，且OC=1，另一直角邊與直線OB，直線OA分別交于點D，E，當以P，C，E為頂點的三角形與△OCD相似時，試求OP的長．（提示：請先在備用圖中畫出相應的圖形，再求OP的長）.

26．證明：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．（要求：在給出的△ABC中用尺規(guī)作出AB、AC邊的中點M、N，保留作圖痕跡，不要求寫作法，并根據圖形寫出已知、求證和證明）27．如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），滿足∠DEF=∠B，且點D．F分別在邊AB、AC上．（1）求證：△BDE∽△CEF；（2）當點E移動到BC的中點時，求證：FE平分∠DFC．28．將一個矩形紙片OABC放置于平面直角坐標系中，點O(0，0)，點B(10，6)，點A在x軸，點C在y軸．在AB邊上取一點D，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在邊（1）如圖1，求點E坐標和直線CE的解析式；（2）點P為x軸正半軸上的動點，設OP=t．①如圖2，當點P在線段OA（不包含端點A，O）上運動時，過點P作直線l∥y軸，直線l被△CED截得的線段長為d．求d關于t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；②在該坐標系所在平面內找一點G，使以點C，E，P，G為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點G的坐標．29．在長方形紙片ABCD中，點E是邊CD上的一點，將ΔAED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處．（1）如圖1，若點F落在對角線AC上，且∠BAC=54°，求∠DAE的度數．（2）如圖2，若點F落在邊BC上，且AB=6，AD=10，求CE的長．（3）如圖3，若點E是CD的中點，AF的沿長線交BC于點G，且AB=6，AD=10，求CG的長．30．已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的頂點P在AB上滑動，直角的兩邊分別交線段AC，BC于E．F兩點（1）如圖1，當APPB=13且PE⊥AC時，求證：PEPF（2）如圖2，當APPB（3）在（2）的條件下，將直角∠EPF繞點P旋轉，設∠BPF=α（0°＜α＜90°）．連結EF，當△CEF的周長等于2+2331．已知：如圖，AD、BC相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°．求證：AO=BO，CO=DO．32．聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心。舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心。應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=12探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長。33．如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內一點，且∠APD=120°．證明：PA+PD+PC≥BD．34．如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內部的一條射線，點A關于CN的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點E，P.(Ⅰ)依題意補全圖形.(Ⅱ)若∠ACN＝α，求∠BDC的大小(用含α的式子表示).(Ⅲ)若PA＝x，PC＝y(tǒng)，求PB的長度(用x，y的代數式表示).35．如圖（1）動手操作：如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點c'處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度數為▲．（2）觀察發(fā)現：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．（3）實踐與運用：將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖④），求∠MNF的大?。?6．如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長線于點E，BC=8，AD=3．（1）求CE的長；（2）求證：△ABC為等腰三角形．（3）求△ABC的外接圓圓心P與內切圓圓心Q之間的距離．37．如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由．

（3）若EG=4，GF=6，BM=32，求AG、MN的長．38．如圖，正方形ABCO的邊OA，OC都在坐標軸上，點B的坐標為(3，3)，將正方形ABCO繞點A順時針旋轉a(0°<a<90°)，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，（1）求證：△AOG?△ADG；（2）求∠PAG的度數；（3）當∠1=∠2時，求點P的坐標；（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以點A，G，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在請直接寫出點39．如圖1，在△ABC的外接圓⊙O中，AB=5是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為D，且CD=2，E為AB的中點．連接CE交AB于點P，其中AD>BD．圖1圖2（1）連接OE，求證：OE⊥AB；（2）若線段AD與BD的長分別是關于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的兩個根，求m，n的值；（3）如圖2，過P點作直線l分別交射線CA，CB(點C除外)于點M，N，則1CM40．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC內，∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度數？41．（1）如圖1，P是銳角△ABC內一動點，把△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△AP′C′，連接（2）圖2所示的是一個銳角為30°的直角三角形公園（∠B=30°，∠C=90°），其中頂點A、B、C為公園的出入口，AB=20km，工人師傅準備在公園內修建一涼亭P，使該涼亭到三個出入口的距離PA+PB+PC最小，求這個最小的距離．42．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數量關系，并給出證明．43．如圖，△ABC中，AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于求證：BC=AC+CD.44．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E為AD邊上一動點，過點E作EF⊥BC于點F，連接AF，將△ABF沿AF進行翻折，得到△AB′F（1）B′F+CF等于（2）當點B′落在線段EC上時（不與端點重合），四邊形AFCE的周長等于45．如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于12（Ⅰ）根據以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；（Ⅱ）若菱形ABEF的周長為16，AE=43，求∠C的大?。?6．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O為坐標原點，點C在x軸的正半軸上，且BC⊥OC于點C，點A的坐標為（2，23），AB=43，∠B=60°，點D是線段OC上一點，且OD=4，連接AD．（1）求證：△AOD是等邊三角形；（2）求點B的坐標；（3）平行于AD的直線l從原點O出發(fā)，沿x軸正方向平移．設直線l被四邊形OABC截得的線段長為m，直線l與x軸交點的橫坐標為t．①當直線l與x軸的交點在線段CD上（交點不與點C，D重合）時，請直接寫出m與t的函數關系式（不必寫出自變量t的取值范圍）②若m=2，請直接寫出此時直線l與x軸的交點坐標．47．【問題背景】如圖1，數學實踐課上，學習小組進行探究活動，老師要求大家對矩形ABCD進行如下操作：①分別以點B，C為圓心，以大于12BC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E，F，作直線EF交BC于點O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點B的對應點落在點P處，作射線AP交【問題提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線段CQ的長．【問題解決】經過小組合作、探究、展示，其中的兩個方案如下：方案一：連接OQ，如圖2．經過推理、計算可求出線段CQ的長；方案二：將△ABO繞點O旋轉180°至△RCO處，如圖3．經過推理、計算可求出線段CQ的長．請你任選其中一種方案求線段CQ的長．48．已知命題：“P是等邊△ABC內的一點，若P到三邊的距離相等，則PA=PB=PC．”（1）寫出它的逆命題．判斷其逆命題成立嗎？若成立，請給出證明．（2）進一步證明：點P到等邊△ABC各邊的距離之和為定值．49．如圖[感知]如圖①，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在AB、BC邊上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA（1）[探究]如圖②，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BA、CB的延長線上，且AD=BE，△ADC與△BEA還全等嗎？如果全等，請證明：如果不全等，請說明理由．（2）[拓展]如圖③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，點D、E分別在BA、FB的延長線上，且AD=BE=CF，若AF=2AD，S△ABF=6，則S△BCD的大小為50．已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC，BD，CD的長；（Ⅱ）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．51．如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形ABE．點F是對角線BD上一動點（點F不與點B重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉60°得到線段AM，連接FM．（1）求AO的長；（2）如圖2，當點F在線段BO上，且點M，F，C三點在同一條直線上時，求證：AC=3AM；（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請直接寫出△AFM的周長．52．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于點D，求BD的長．53．(本題10分)如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點D.E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連結OC，AC.（1）求證：AC平分∠DAO.（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.①求∠OCE的度數.②若⊙O的半徑為22，求線段EF的長.54．在?ABCD中，點O是對角線BD的中點，點E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點F，連接BF、DE如圖1．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若DE=DC，∠CBD=45°，過點C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點G、H、P如圖2．①當CD=10．CE=2時，求BE②求證：CD=CH．55．如圖，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分線與∠ACB的平分線交于點O，MN過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．求證：MN=CN﹣BM．56．如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，P是線段DF的中點，連接PG，PC，若∠ABC=∠BEF=60°，證明：PG⊥PC且PG=357．如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，那么BE與CF相等嗎？為什么？58．問題提出：如圖①，將一張直角三角形紙片△ABC折疊，使點A與點C重合，這時DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊，這時得到了兩個完全重合的矩形（其中一個是原直角三角形的內接矩形，另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形），我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形”.

知識運用：

（1）如圖②，正方形網格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請在圖②中畫出折痕；

（2）如圖③，在正方形網格中，以給定的BC為一邊，畫出一個斜三角形ABC，使其頂點A在格點上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形；

（3）若一個銳角三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是什么？結合圖③，說明理由。

拓展應用：

（4）如果一個四邊形一定能折成"疊加矩形"，那么它必須滿足的條件是什么？59．如圖是一座獨塔雙索結構的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設計，某學習小組利用課余時間測量主塔頂端到橋面的距離．勘測記錄如下表：活動內容測量主塔頂端到橋面的距離成員組長：×××組員：××××××××××××測量工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：左圖為斜拉索橋的側面示意圖，點A、C，D，B在同一條直線上，EF⊥AB，點A，C分別與點B，D關于直線EF對稱測量數據∠A的大小28°AC的長度84mCD的長度12m請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數據：sin28°≈0.47，cos60．如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形.（1）如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E.求證：AE是△ABC的一條特異線.（2）如圖2，已知BD是△ABC的一條特異線，其中∠A=30°，∠ABC為鈍角，求出所有可能的∠ABC的度數.（3）如圖3，△ABC是一個腰長為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角度數為整數，請求出其特異線的長度；若它的頂角度數不是整數，請直接寫出頂角度數.61．在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖①）；第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖②）．如圖②所示建立平面直角坐標系，請解答以下問題：（Ⅰ）設直線BM的解析式為y=kx，求k的值；（Ⅱ）若MN的延長線與矩形ABCD的邊BC交于點P，設矩形的邊AB=a，BC=b；（i）若a=2，b=4，求P點的坐標；（ii）請直接寫出a、b應該滿足的條件．62．如圖，BE，CF是△ABC的角平分線，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求證：MN∥BC．63．（1）圖（1）中，C點為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，AN與BM相等嗎？說明理由；（2）如圖（2）C點為線段AB上一點，等邊三角形ACM和等邊三角形CBN在AB的異側，此時AN與BM相等嗎？說明理由；（3）如圖（3）C點為線段AB外一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，AN與BM相等嗎？說明理由．64．如圖，已知等邊△ABC邊長為1，D是△ABC外一點且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°求△AMN的周長.65．已知：△ABC中，記∠BAC=α，∠ACB=β．（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點D，用α的代數式表示∠BPC的度數，用β的代數式表示∠PBD的度數.（2）如圖2，若點P為△ABC的三條內角平分線的交點，BD⊥AP于點D，猜想（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，補全圖形并直接寫出你的結論．66．正方形ABCD的CD邊長作等邊△DCE,AC和BE相交于點F，連接DF.求∠AFD的度數.67．如圖，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，點O是△ABC內的一點，∠BOC=130°．（1）求證：OB=DC；（2）求∠DCO的大??；（3）設∠AOB=α，那么當α為多少度時，△COD是等腰三角形．68．如圖，在△ABC中，點D在線段AB上，點E在線段AC上，EF∥CD交AB于點F，∠1+∠2=180°．（1）求證：AC∥DG；（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，交BC于點G，且∠A=40°，求∠ACB的度數．（3）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，交BC于點G，求∠CDB和∠B關系并說明理由．69．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，動點P從B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運動，設運動時間為t(s)．（1）求BC邊的長．（2）當△ABP為等腰三角形時，求t的值．70．已知：如圖，BD為ΔABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足.求證：①ΔABD?ΔEBC；②AE=CE；③BA+BC=2BF.71．如圖，在△ABC中，E是AD上的一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE，請說明AD⊥BC．解：因為EB=EC（已知），所以∠EBC=∠ECB（①）．又因為∠ABE=∠ACE（已知），所以∠ABE+∠EBC=∠ACE+∠ECB（②）．即∠ABC=∠ACB．所以AB=AC（③）．在△ABE和△ACE中，AB=AC(已證)EB=EC(已知)AE=AE(④)，所以△ABE≌△ACE（⑤）．得∠BAD=∠CAD（⑥）．所以AD⊥BC（⑦）．72．如圖，已知△ABC，∠B=40°．（1）在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內切圓O，并標出⊙O與邊AB，BC，AC的切點D，E，F（保留痕跡，不必寫作法）；（2）連接EF，DF，求∠EFD的度數．73．如圖：（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應用：如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀．74．將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（3，0），點B（0，1），點0（0，0）．過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN丄AB于點N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點A′，設OM=m，折疊后的△AM′N與四邊形OMNB重疊部分的面積為S．（Ⅰ）如圖①，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標；（Ⅱ）如圖②，當點A′，落在第二象限時，A′M與OB相交于點C，試用含m的式子表示S；（Ⅲ）當S=324時，求點M75．已知：等邊△ABC，CE∥AB，D為BC上一點，且∠ADE=60°，求證：△ADE是等邊三角形.76．已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，以AC為邊作等邊三角形ACE，直線BE交直線AD于點F，連接FC．（1）如圖1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE與△ABC在直線AC的異側，且FC交AE于點M．①求證：∠FEA=∠FCA；②猜想線段FE，AD，FD之間的數量關系，并證明你的結論；（2）當60°＜∠BAC＜120°，且△ACE與△ABC在直線AC的異側時，利用圖2畫出圖形探究線段FE，AD，FD之間的數量關系，并直接寫出你的結論．77．在6×6的網格中已經涂黑了三個小正方形，請在圖中涂黑一塊（或兩塊）小正方形，使涂黑的四個（或五個）小正方形組成一個軸對稱圖.78．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D.

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若CD=2AD，⊙O的直徑為10，求線段AB的長.79．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點D，過點A作AE∥BC交BD的延長線于點E．（1）若∠BAC=40°，求∠E的度數；（2）若F是DE上的一點，且AF=AD，判斷BD與EF的數量關系，并說明理由．80．如圖，△ABC是邊長為10的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合）．（Ⅰ）如圖1，若點Q是BC邊上一動點，與點P同時以相同的速度由C向B運動（與C、B不重合）．求證：BP＝AQ；（Ⅱ）如圖2，若Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D，在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請說明理由．81．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，AF⊥BD，垂足為點E，交BC于點F．求證：AD=CF．82．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，E為直線BD上的動點（點E不與點B和點D重合），直線CE繞C點順時針旋轉60°與直線AD相交于點F，連接EF．（1）如圖①，當點E在線段BD上時，∠CEF=度；（2）如圖②，當點E在BD延長線上時，試判斷∠DEF+∠DFE與∠CEF度數之間的關系，并說明理由；（3）如圖③，若四邊形ABCD為平行四邊形，∠DBC=∠DCB=45°，E為直線BD上的動點（點E不與點B和點D重合），射線CE繞C點順時針旋轉45°與直線AD相交于點F，連接EF，探究∠DEF+∠DFE與∠CEF度數之間的關系．（直接寫出結果）83．小明坐于堤邊垂釣，如圖①，河堤AC的坡角為30°，AC長332米，釣竿AO的傾斜角是60°，其長為3米，若AO與釣魚線OB的夾角為60°，求浮漂B與河堤下端C之間的距離(如圖84．在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F.求證：AF平分∠BAC85．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作AC的垂線交AC于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若CD=BF，AE=3，求DF的長．86．將△ABC的∠C折起，翻折后角的頂點位置記作C′，當C′落在AC上時（如圖1），易證：∠1=2∠2.當C′點落在CA和CB之間（如圖2）時，或當C′落在CB、CA的同旁（如圖3）時，∠1、∠2、∠3關系又如何？請寫出你的猜想，并就其中一種情況給出證明.圖1圖2圖387．四邊形ABCD中，∠A=90°,AB=AD，DE平分∠ADC，AE=25，∠AED=∠C，CD=65，求88．在等腰三角形ABC中，三條邊分別為a、b、c，已知a=3，且b、c是關于x的方程x2+mx+2-m289．如圖,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于點E,交AC的延長線于點F,交BC于點D,且BE=CF.求證:DE=DF.90．若等腰三角形兩邊為4，10，求底角的正弦值91．在長方形ABCD中，AB=6，AD=8，點E是AD邊上的一點，將△ABE沿BE折疊，點A的對應點為點F，射線EF與線段BC交于點G．（1）如圖1，當E點和D點重合時，求證：BG=DG；（2）如圖2，連接DF，CF，若DF=CF，求△CDF的面積．92．已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，將BD繞點B逆時針旋轉60°得到BF，連接CE，EF．（1）如圖1，求證：①△ADB≌△AEC；②四邊形BCEF是平行四邊形；（2）如圖2，M，N分別是BC，BE的中點，若△ADE的頂點E在AB邊上，AB=6，AD=2，求MN的長．93．直角三角板ABC的直角頂點C在直線DE上，CF平分∠BCD．（1）在圖1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度數；（2）在圖1中，若∠BCE=α，直接寫出∠ACF的度數（用含α的式子表示）；（3）將圖1中的三角板ABC繞頂點C旋轉至圖2的位置，探究：寫出∠ACF與∠BCE的度數之間的關系，并說明理由．94．如圖1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均為邊長為a的等邊三角形，點P為邊BC上任意一點，過P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）那么∠MPN=，并求證PM+PN=3a；（2）如圖2，聯結OM、ON．求證：OM=ON；（3）如圖3，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形，并說明理由．95．已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．

(1)如圖①，當PA的長度等于時，∠PAB＝60°；當PA的長度等于時，△PAD是等腰三角形；

(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3．坐標為（a，b），試求2S1S3－S22的最大值，并求出此時a，b的值．

96．在△ABC中，AB=AC，點D為線段BC上一個動點（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點E作BC的平行線，交直線AB于點F，連接BE．（1）如圖1，若∠BAC=∠DAE=60°，判斷△BEF的形狀并說明理由；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°，如圖2，判斷△BEF的形狀，并說明理由．97．已知邊長為42的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A，C不重合），過點P作PE⊥PB，PE交射線DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F（1）當點E落在線段CD上時（如圖所示），設AP=x，△PEF的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域；（2）在點P的運動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由．98．（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）（2）如圖2，當∠C≠90°時，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系，直接寫出結果，不需要證明．（3）如圖3，當∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長線于點D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并加以證明．99．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動.設運動的時間為t（秒）.（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；（2）當t為何值時，以B、P、Q三點為頂底的三角形是等腰三角形？（3）當線段PQ與線段AB相交于點O，且2AO=OB時，求∠BQP的正切值；（4）是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.100．如圖，將一個正方形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，其中A（1，0），C（0，1），P為AB邊上一個動點，折疊該紙片，使O點與P點重合，折痕l與OP交于點M，與對角線AC交于Q點（Ⅰ）若點P的坐標為（1，14（Ⅱ）若點P的坐標為（1，t）①求點M的坐標（用含t的式子表示）（直接寫出答案）②求點Q的坐標（用含t的式子表示）（直接寫出答案）（Ⅲ）當點P在邊AB上移動時，∠QOP的度數是否發(fā)生變化？如果你認為不發(fā)生變化，寫出它的角度的大小．并說明理由；如果你認為發(fā)生變化，也說明理由．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】1312．【答案】（5，8）；413．【答案】15或24或7514．【答案】3+15．【答案】5216．【答案】①②③④17．【答案】818．【答案】619．【答案】220．【答案】821．【答案】（1）45；==；解：②證明：∵點C和點C'關于AE∴CM=C'由①得：BN=C'∴MN=C'（2）解：如圖2，作點C關于AE的對稱點D，連接AD，∴AD=AC，∠DAM=∠CAM=∠CAF+∠EAF，∵∠EAF=1∴∠DAM=∠CAF+65°，∴∠DAN=∠ADM+∠EAF=130°+∠CAF，∵∠BAN=∠BAC+∠CAF=130°+∠CAF，∴∠BAN=∠DAN，∵AN=AN，∴△ADN≌△BAN(SAS)，∴DN=BN，∴DM+MN=BN，∴CM+MN=BN，∵MN=4∴可設BN=11k，MN=4k，∵S∴4CN=24，∴CN=6，∴CM=CN+MN=6+4k，∴6+4k+4k=11k，∴k=2，∴CM=6+4×2=14；（3）解：如圖3，當AF在∠BAC的內部時，作點C關于AE的對稱點D，∴CM=DM，同理(2)得：△ADN≌△ABN，∴BN=DN，∴BN=MN+DM=MN+CM，當AE在∠BAC的內部時，作點C關于AE的對稱點D，同理可得：△ABN≌△ADN，∴AN=DN=MN+DM=MN+CM，綜上所述：BN=MN+CM．22．【答案】解：設CD=xcm，則AD=（8-x)cm∴∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm∴AB=10cm根據折疊CD=C′A∠C=B根據勾股定理Axx=3S23．【答案】【解答】如圖所示：24．【答案】解：AG⊥FG．將AG、DF的交點記為點P，延長AG交BC于點Q．因為AG、FG分別平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分線定義）又因為∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝∠FQG（等式性質）所以FP＝FQ（等角對等邊）又因為∠PFG＝∠QFG所以AG⊥FG（等腰三角形三線合一）．25．【答案】解：（1）①PC=PD；

②過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°，

∴∠HPC+∠CPN=90°

∵∠CPN+∠NPD=90°，

∴∠HPC=∠NPD，

∵OM是∠AOB的平分線，

∴PH=PN.

又∵∠PHC=∠PND=90°

∴△PCH≌△PDN，

∴PC=PD；

(2)①若PD與邊OB相交

∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE＝∠DOC=90°

∴由△PCE與△OCD相似可得∠PEC=∠DCO

∴DE=CD，而DO⊥OC，

∴OE=OC=1

∴OP為Rt△CPE斜邊上的中線

∴OP=12EC=OC=1；

②若PD與邊OB的反向延長線相交，過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，則PH=PN

∵△PCE與△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE＝∠DOC=90°

∴∠PCE=∠OCD

又∵∠PCO＋∠PEC=90°，∠PDO+∠OED=90°，

且∠PEC＝∠OED，∴∠PDO=∠PCO.

而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S）.

∴HC=ND，PC=PD，∴∠PCD=∠PDC=45°，

∴∠PCO=∠DCO=∠PDO=22.5°

又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°，

∴∠ODP=∠OPD=22.5°

∴OP=OD，

設OP=x，則HC=OC－OH=1-22x，

而DN=DO＋ON=OP+ON=x+22x，∴1-22x=x+22x，

∴x=2-1，即OP=26．【答案】證明：如圖，點M，N即為所求作的點，已知：如圖，△ABC中，點M，N分別是AB，AC的中點，連接MN，求證：MN∥BC，MN＝12BC證明：延長MN至點D，使得MN＝ND，連接CD，在△AMN和△CDN中，AN=CN∠ANM=∠CNDMN=DN，∴△AMN≌△CDN（SAS）∴∠AMN＝∠D，AM＝CD，∴AM∥CD，即BM∥CD，∵AM＝BM＝CD，∴四邊形BMDC為平行四邊形，∴MN∥BC，MD＝BC，∵MN=1227．【答案】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF（2）證明：∵△BDE∽△CEF，∴BECF∵點E是BC的中點，∴BE=CE，∴CECF∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC28．【答案】（1）解：∵四邊形OABC是矩形，點O(0，0)，點B∴OA=BC=10，∴C(0，∵將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在邊OA上的點E處，∴CE=CB=10，∴12∴E(8，設直線CE的解析式為y=kx+b，則8k+b=0b=6，解得k=?∴直線CE的解析式為y=?3（2）①d=512t(0<t≤8)?529．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD為長方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠CAD=90°?∠BAC=90°?54°=36°，∵△AED沿AE所在直線折疊，∴∠DAE=∠EAF=1（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD=10，∴AD=BC=AF=10，AB=DC=6，∠B=∠C=90°，∴在Rt△ABF中，BF=AF∴CF=2，

設CE=x，則DE=EF=6?x，∴在Rt△ECF中，EC2解得：x=83，

（3）解：連接EG，如圖所示：∵E是DC的中點，DE=EF，∴DE=EF=EC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=∠AFE=∠EFG=90°，在Rt△EFG和Rt△ECG中，

EG=EGEF=EC，

∴Rt△EFG≌Rt△ECG∴CG=GF，

設CG=GF=x，AB=6，AD=10，∴AG=10+x，∴由勾股定理得：AB2+B解得：x=9∴CG=930．【答案】解：（1）如圖1，∵PE⊥AC，∴∠AEP=∠PEC=90°．又∵∠EPF=∠ACB=90°，∴四邊形PECF為矩形，∴∠PFC=90°，∴∠PFB=90°，∴∠AEP=∠PFB．∵AC=BC，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，∴PF=BF，PEBF=APPB，∴PEPF=APPB=13；（2）（1）的結論不成立，理由如下：連接PC，如圖2．∵APPB=1，∴點P是AB的中點．又∵∠ACB=90°，CA=CB，∴CP=AP=12AB．∠ACP=∠BCP=12∠ACB=45°，CP⊥AB，∴∠APE+∠CPE=90°．∵∠CPF+∠CPE=90°，∴∠APE=∠CPF．在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF，∴AE=CF，PE=PF．故（1）中的結論PEPF=13不成立；（3）當△CEF的周長等于2+236時，α的度數為75°或15°．提示：在（2）的條件下，可得AE=CF（已證），∴EC+CF=EC+AE=AC=2．∵EC+CF+EF=2+236，∴EF=236．設CF=x，則有CE=2﹣x，在Rt△CEF中，根據勾股定理可得x2+（2﹣x）2=（236）2，整理得：3x2﹣6x+2=0，解得：x1=3?33，x2=3+33．①若CF=3?33，如圖3，過點P作PH⊥BC于H，易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣31．【答案】證明：∵∠C=∠D=90°，∴△ACB和△ADB為直角三角形，在Rt△ACB和Rt△ADB中，AD=BCAB=BA∴Rt△ACB≌Rt△ADB，∴∠ABC=∠BAD，∴OA=OB，∵AD=BC，∴AD﹣OA=BC﹣OB，即OD=OC．32．【答案】解：應用：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°。∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=33DB=3與已知PD=12AB矛盾，∴②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC。③若PA=PB，由PD=12AB，得PD=AD=BD，∴∠APD=∠BPD=45°?！嗵骄浚骸連C=5，AB=3，∴AC=BC2①若PB=PC，設PA=x，則x2+32=(4?x)②若PA=PC，則PA=2。③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能?！郟A=2或7833．【答案】證明：在四邊形ABCD外側作等邊三角形AB′D，延長AP到點E，使PE=PD，連接DE，∵PE=PD，∠DPE=60°，∴△PDE為等邊三角形，∵DB′=AD，DP=ED，∠B′DP=∠ADE，∴△ADE≌△B′PD（SAS），∴B'P=AP+PD，易知B'C≤PB'+PC，得B'C≤PA+PD+PC．∵△AB'D是等邊三角形，∴AB'=AD，∠B'AD=60°，又易知△ABC是等邊三角形，故AC=AB，∠BAC=60°，∴△AB'C≌△ADB，∴B'C=DB，∴PA+PD+PC≥BD，得證34．【答案】解：(Ⅰ)如圖，(Ⅱ)∵點A與點D關于CN對稱，∴CN是AD的垂直平分線，∴CA＝CD，∠DCN=∠ACN＝α,∴∠ACD＝2∠ACN＝2α.∵等邊△ABC，∴CA＝CB，∴CD＝CB，∴∠BDC＝∠DBC.∵∠ACB＝60°.∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α.∴∠BDC＝∠DBC＝12(Ⅲ)在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，PA設∠ACN＝α，∵CA＝CD，∠ACD＝2α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α.∵∠BDC＝60°﹣α，∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°.∴△CPF是等邊三角形.∴CF＝CP，∠PCF＝60°，∵∠PCF＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACP，∵CB＝CA，CF＝CP，∴△BFC≌△APC(SAS)，∴BF＝PA，∴PB＝PF+BF＝PA+PC＝x+y.35．【答案】（1）解：∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，∴∠BED=110°，根據折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．∵AD∥BC，∴∠EFC=125°，再根據折疊的性質得到∠EFC′=∠EFC=125°．（2）解：同意．如圖，設AD與EF交于點G．由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．由折疊知，∠AGE=∠DGE=90°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF為等腰三角形（3）解：由題意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，∴MF=NF，由對稱性可知，MF=PF，∴NF=PF，而由題意得出：MP=MN，MF=MF，在△MNF和△MPF中，∵NF=PFMF=MF∴△MNF≌△MPF（SSS），∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，即3∠MNF=180°，∴∠MNF=60°.36．【答案】（1）解：∵AD是邊BC上的中線，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD為△BCE的中位線，∴CE=2AD=6；（2）證明：∵CE∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，而∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，而AB=AE，∴AB=AC，∴△ABC為等腰三角形．（3）解：如圖，連接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB=32設⊙P的半徑為R，⊙Q的半徑為r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=256∴PD=PA﹣AD=256﹣3=7∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，∴12?r?5+12?r?8+12?r?5=1即QD=43∴PQ=PD+QD=76+43=答：△ABC的外接圓圓心P與內切圓圓心Q之間的距離為5237．【答案】（1）證明：∵△AEB由△AED翻折而成，

∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，

∵△AFD由△AFG翻折而成，

∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，

∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，

∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵AB=AD，

∴四邊形ABCD是正方形；

（2）解：MN2=ND2+DH2，

理由：連接NH，

∵△ADH由△ABM旋轉而成，

∴△ABM≌△ADH，

∴AM=AH，BM=DH，

∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ADH=∠ABD=45°，

∴∠NDH=90°，

∵，

∴△AMN≌△AHN，

∴MN=NH，

∴MN2=ND2+DH2；

（3）設AG=BC=x，則EC=x-4，CF=x-6，

在Rt△ECF中，

∵CE2+CF2=EF2，即（x-4）2+（x-6）2=100，x1=12，x2=-2（舍去）

∴AG=12，

∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，

∴BD=AB2+AD2=122+122=122，

∵BM=32，

∴MD=BD-BM=122-32=92，

設NH=y，

在Rt△NHD中，

∵NH2=ND2+DH2，即y2=（92-y）238．【答案】（1）解：∵四邊形ABCO是正方形，∴∠AOC=∠B=90°，AO=AB，∵將正方形ABCO繞點A順時針旋轉α得到正方形ADEF，∴AB=AD，∠ADG=90°，∴AO=AD，∠AOC=∠ADG=90°，在Rt△AOG和Rt△ADG中，

AO=ADAG=AG，

∴△AOG≌△ADG（2）解：∵∠ADG=90°，

∴∠ADP=180°?90°=90°，∴∠ADP=∠B=90°，在Rt△ADP和Rt△ABP中，

∴△ADP≌△ABP，∴∠DAP=∠BAP，∵△AOG≌△ADG，∴∠OAG=∠DAG，∵∠OAB=9即∠OAG+∠DAG+∠DAP+∠BAP=9∴∠DAG+∠DAP=即∠PAG=45（3）解：∵△AOG≌△ADG，

∴∠AGO=∠AGD，

∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2∴∠AGO=∠PGC，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=13×180°=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∵正方形ABCO中點B的坐標為(3，3)，

∴AO=OC=BC=3，

在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG2=AO2+OG（2OG）2=32+OG2，

解得：OG=3；

∴CG=OC?OG=3?在Rt△PCG中，GC∵PG=2GC=6?23，

∴3?解得：PC=33∴點P的坐標為(3，（4）解：存在兩個M點，點M的坐標為(0，?3)或(23，3)；如圖所示．

①延長GE交y軸于點M1，

∵∠AGO=∠PGC，∠PGC=∠M1GO，

∴∠AGO=∠M1GO，

∵∠AOG=∠M1OG=90°，OG=OG，∠AGO=∠M1GO，

∴△AOG≌△M1OG（ASA），

∴AO=M1O，

∵A（0，3），

∴點M1的坐標為（0，-3）；

②延長GP與AB的延長線交于點M2，作GF⊥AB于點F．

∵AB∥OC，

∴∠AGO=∠M2AG=60°，

∵∠M2AG=∠AGM2=60°，

∴△AGM2為等邊三角形，

∴GF垂直平分線AM2，

∴A（0，3），G（3，0），

∴AF=M2F=3，∴點M39．【答案】（1）證明：∵E為AB的中點，∴AE=BE∴∠AOE=∠BOE又∵AB是⊙O的直徑∴∠AOE=∠BOE=90°∴OE⊥AB．（2）∵AB是⊙O直徑∴∠ACD+∠BCD=90°∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°∴∠BCD+∠CBD=90°∴∠ACD=∠CBD∴△ACD∽△CBD∴BDCD=CD又∵AB是⊙O直徑，∴AD+BD=5∵AD與BD的長分別是關于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的兩個根。∴AD+BD=m+2=5，AD?BD=n－1=4∴m=3，n=5（3）1CM+1CN的值是定值。理由：過點P作PG⊥AC于點G，PF⊥CN于點F?！唷螾GM=∠ACB=∠PFN=90°∵E為AB∵PG⊥AC，PF⊥CN∴PG=PF∵S△CMN=S△MPC+S△NPC∴CM?CN=PG(CM+CN)∴CM+CNCM?CN=1PG即1CM+1CN=1PG∴1CM∵S△ABC=S△APC+S△BPC=12PG（AC+BC）=1即35PG=10∴1PG∴1CM+140．【答案】解：在BC下方取一點D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC，∴AD=AB=AC=BD，∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=（180°-40°）÷2=80°，∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=140°，∵∠PBC=10°，∠PCB=30°，∴∠BPC=180°-10°-30°=140°∴∠CDB=∠BPC，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠DCB=80°-50°=30°，∴∠DCB=∠PCB，在△BDC和△BPC中∠BPC=∠BDC∠PCB=∠DCB∴△BDC≌△BPC（AAS），∴PC=DC，又∠PCD=30°+30°=60°，∴△DPC是等邊三角形，∴PD=PC，在△APD和△APC中AD=ACAP=AP∴△APD≌△APC（SSS），∴∠DAP=∠CAP=12∠DAC=1∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．故答案為：70°．41．【答案】（1）解：如圖1，由旋轉得：∠PAP'=60°，PA=P'A，∴△APP'是等邊三角形，∴PP'=PA，∵PC=P'C，∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；（2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，∴AC=10，BC=103如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉60度得到△BP′C′，連接PP′，當A、P、P'、C'在同一直線上時，PA+PB+PC的值為最小，由旋轉得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，∴△BPP′是等邊三角形，∴PP'=PB，∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，∴∠ABC'=90°，由勾股定理得：A∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=107則點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值為10742．【答案】解：CN=MN+BM．證明：如圖，在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．∴∠MBD=∠ABD=∠ECD=在△MBD和△ECD中，BD=CD，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN．在△MND與△END中，ND=ND，∴△MND≌△END（SAS）．∴MN=NE．∴CN=NE+CE=MN+BM．43．【答案】證明：如圖，在線段BC上截取BE=BA，連結DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD=在△ABD和△EBD中，BE=BA∴△ABD?△EBD(SAS)，∴∠BED=∠A=108°，∵AB=AC，∠A=108∴∠ACB=∠ABC=1∴∠ABD=∠EBD=18∴∠ADB=∠EDB=∴∠CDE=180∴∠DEC=∴∠CDE=∠DEC，∴CD=CE，∴BC=BE+EC=AB+CD=AC+CD.44．【答案】（1）8（2）4(13+2)45．【答案】解：（Ⅰ）在△AEB和△AEF中，AB=AFBE=FE∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形；（Ⅱ）如圖，連結BF，交AE于G．∵菱形ABEF的周長為16，AE=43，∴AB=BE=EF=AF=4，AG=12AE=23在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，∴cos∠BAG=AGAB=234∴∠BAG=30°，∴∠BAF=2∠BAE=60°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C=∠BAF=60°．46．【答案】解：（1）如圖2，證明：過點A作AM⊥x軸于點M，∵點A的坐標為（2，23），∴OM=2，AM=23∴在Rt△AOM中，tan∠AOM=AMOM=232=3∴∠AOM=60°由勾股定理得，OA=OM2+AM2=22+232=4∵OD=4，∴OA=OD，∴△AOD是等邊三角形．（2）如圖2，解：過點A作AN⊥BC于點N，∵BC⊥OC，AM⊥x軸，∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°∴四邊形ANCM為矩形，∴AN=MC，AM=NC，∵∠B=60°，AB=43，∴在Rt△ABN中，AN=AB?sinB=43×32=6，BN=AB?cosB=43×12=23∴AN=MC=6，CN=AM=23，∴OC=OM+MC=2+6=8，BC=BN+CN=23+23=43，∴47．【答案】解：方案一：連接OQ，如圖2．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作圖知BO=OC=1由翻折的不變性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，∴OP=OC=2.5，∠QPO=∠C=90°，又∴△QPO≌△QCO(HL)，∴PQ=CQ，設PQ=CQ=x，則AQ=3+x，DQ=3?x，在Rt△ADQ中，AD2+Q解得x=25∴線段CQ的長為2512方案二：將△ABO繞點O旋轉180°至△RCO處，如圖3．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=5，由作圖知BO=OC=1由旋轉的不變性，知CR=AB=3，∠BAO=∠R，∠B=∠OCR=90°，則∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°，∴D、C、R共線，由翻折的不變性，知∠BAO=∠OAQ，∴∠OAQ=∠R，∴QA=QR，設CQ=x，則QA=QR=3+x，DQ=3?x，在Rt△ADQ中，AD2+Q解得x=25∴線段CQ的長為251248．【答案】（1）解：逆命題：P是等邊三角形ABC內的一點，若PA=PB=PC，則P到三邊的距離相等．該逆命題成立．已知：如圖：P是等邊△ABC內的一點，若PA=PB=PC，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，求證：PD=PE=PF.證明：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分線上，∵AC=BC，∴C在AB的垂直平分線上，∴CP是AB的垂直平分線，∴CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴P是△ABC三個角的角平分線的交點，又∵PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，∴PD=PE=PF．（2）證明：設AB邊上的高為h，

∵AB=BC=AC且S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，

∴12AB.h=12AB.PD+12BC.PE+12AC.PF，

∴49．【答案】（1）解：△ADC與△BEA全等，理由：在等邊三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DAC=180°﹣∠BAC=120°，∠EBA=180°﹣∠ABC=120°，∴∠DAC=∠EBA，在△ADC和△BEA中∵AD=BE，∠DAC=∠EBA，AC=AB∴△ADC≌△BEA（SAS）；（2）1250．【答案】解：如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝B∵AD平分∠CAB，∴CD=∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝52；（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝12∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直徑為10，則OB＝5，∴BD＝5．51．【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=12∵BD=24，∴OB=12，在Rt△OAB中，∵AB=13，∴OA=AB2?O（2）如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，由已知AF=AM，∠MAF=60°，∴△AFM為等邊三角形，∴∠M=∠AFM=60°，∵點M，F，C三點在同一條直線上，∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，∴∠FAC=∠FCA=30°，∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，在Rt△ACM中∵tan∠M=ACAM∴tan60°=ACAM∴AC=3AM．（3）如圖，連接EM，∵△ABE是等邊三角形，∴AE=AB，∠EAB=60°，由（2）知△AFM為等邊三角形，∴AM=AF，∠MAF=60°，∴∠EAM=∠BAF，在△AEM和△ABF中，，∴△AEM≌△ABF（SAS），∵△AEM的面積為40，△ABF的高為AO∴12∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4AF=AO2+FO2∴△AFM的周長為341．52．【答案】解：DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC，則AG=由12DE?AC+由DF?AB=1253．【答案】（1）解：∵直線與⊙O相切，∴OC⊥CD；又∵AD⊥CD，∴AD//OC，∴∠DAC=∠OCA；又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC；∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°；∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于點G，可得FG=CG，∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2，∴FG=2；∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23，∴EF=GE-FG=23-2.54．【答案】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，∴AD∥BC，BO=DO，∴∠ADB=∠CBD，在△BOE與△DOF中，∠CBD=∠ADBBO=DO∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴DF=BE，∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：①如圖，過點D作DN⊥EC于點N，∵DE=DC=10，DN⊥EC，CE=2∴EN=CN=1，∴DN=D∵∠DBC=45°，DN⊥BC，∴∠DBC=∠BDN=45°，∴DN=BN=3，∴BE=BN?EN=3?1=2，②證明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，∴∠EDN=∠ECG，∵DE=DC，DN⊥EC，∴∠EDN=∠CDN，∴∠ECG=∠CDN，∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，∴∠CDB=∠DHC，∴CD=CH.55．【答案】證明：∵ON∥BC，∴∠NOB=∠OBD∵BO平分∠ABD，∴∠ABO=∠DBO，∴∠MOB=∠OBM，∴BM=OM∵ON∥BC，∴∠NOC=∠OCD∵CO平分∠ACB，∴∠NCO=∠BCO，∴∠NCO=∠NOC，∴ON=CN∵ON=OM+MN，ON=CN，OM=BM，∴CN=BM+MN，∴MN=CN﹣BM．56．【答案】證明：如圖，延長CP到H，使PH=PC．連接HF，CG，HG．∵FP=DP，∠FPH=∠DPC，∴△PHF≌△PCD