勒讓德多項式

數(shù)學物理方法

勒讓德多項式(Legendrepolynomials)第六章

阿德利昂·瑪利·?！だ兆尩拢ü?752─公元1833）為法國數(shù)學家，生于巴黎，卒于巴黎。約1770年畢業(yè)于馬扎蘭學院。1775年任巴黎軍事學院數(shù)學教授。1782年以《關(guān)於阻尼介質(zhì)中的彈道研究》獲柏林科學院獎金，次年當選為巴黎科學院院士。1787年成為倫敦皇家學會會員。

勒讓德(Legendre)曾與拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）并列為法國數(shù)學界的“三L”，為18世紀末19世紀初法國數(shù)學的復興，做出了卓越的貢獻。勒讓德（1752～1833）

Legendre.Adrien-Marie

勒讓德的主要研究領(lǐng)域是分析學(尤其是橢圓積分理論)、數(shù)論、初等幾何與天體力學，取得了許多成果，導致了一系列重要理論的誕生。勒讓德是橢圓積分理論奠基人之一。在L.歐拉提出橢圓積分加法定理后的40年中，他是僅有的在這一領(lǐng)域提供重大新結(jié)果的數(shù)學家。但他未能像N.H.阿貝爾和C.G.J.雅可比那樣洞察到關(guān)鍵在于考察橢圓積分的反函數(shù)

，即橢圓函數(shù)。在關(guān)于天文學的研究中，勒讓德引進了著名的“勒讓德多項式”

，發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)

。他還研究了B函數(shù)和Γ函數(shù)，得到了Γ函數(shù)的倍量公式。他陳述了最小二乘法，提出了關(guān)于二次變分的“勒讓德條件”。

勒讓德對數(shù)論的主要貢獻是二次互反律，這是同余式論中的一條基本定理。他還是解析數(shù)論的先驅(qū)者之一，歸納出了素數(shù)分布律，促使許多數(shù)學家研究這個問題。

§6.1勒讓德方程的引出●●球函數(shù)●●球函數(shù)§與貝塞爾方程比較§6.2勒讓德方程的求解為什么k仍然從零開始求和？表面上沒有變化，但實質(zhì)上已經(jīng)變化。注意：先作分子的多項式乘法；然后取C=0；最后提取公因式即得。C——曇花一現(xiàn)！（推導另附）令c=0附:推導記為通解本小節(jié)結(jié)束語：§6.3勒讓德多項式解決了收斂的問題！無窮級數(shù)被截斷，變成了多項式。解決了收斂的問題！——無窮級數(shù)被截斷，變成了多項式。提出問題處理矛盾轉(zhuǎn)機數(shù)學歸納法：數(shù)學上證明命題的一種方法。為了證明與自然數(shù)n有關(guān)的一個命題，一般先對n=1時，檢驗命題成立；然后證明當n=k+1時，命題仍然成立，那么就可以斷定這個命題對于任何自然數(shù)都成立。解決了展開系數(shù)的問題！——合二而一，簡潔、明快。（冪次由低到高排列）（冪次由高到低排列）（冪次由低到高排列）（冪次由高到低排列）猶如天作之合也問題:如何具體寫出勒氏多項式.問題:如何具體寫出勒氏多項式.點電荷的電勢電偶極子的電勢問題：Pn(x)的最高冪次是？請同學們務(wù)必記住這兩個結(jié)論！證問題:如何具體寫出勒氏多項式.小結(jié)§6.3（增加）勒讓德多項式的母函數(shù)（生成函數(shù)）及遞推公式§6.3.1勒讓德多項式的母函數(shù)（又名為：生成函數(shù)）函數(shù)●●AllRoadsLeadtoRome●勒讓德多項式的母函數(shù)（又名為：生成函數(shù)）的證明方法之二證AllRoadsLeadtoRome.參閱：排列、組合、二項式定理。AllRiversLeadtoOcean.§6.3.2勒讓德多項式的遞推公式證例例原本定義：n=0,1,2…,為何要對n提出限制？唯有n=0特殊！——將函數(shù)展開成無窮級數(shù)，旨在：計算函數(shù)的近似值；解常微分方程?！?.4函數(shù)展成勒讓德多項式的級數(shù)§6.4.1勒讓德多項式的正交性下列結(jié)果是基本的:第一式說明了任何兩個不同的勒讓德多項式在區(qū)間(-1<x<1)上的正交性.第二式說明了任何兩個相同的勒讓德多項式在區(qū)間(-1<x<1)上的歸一性.（1）正交性.證明（2）歸一性.證明§6.