理論力學(xué)思考題解答講訴

1第一章思考題解答1.1答：平均速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間間隔tt+t內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t對(duì)應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或的極限情況，二者一致，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中二者也一致的。rθrr9θθrrθ完整地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況a線中，由于a恒位于密切n面內(nèi)，速度v總是沿軌跡的切線方向，而a垂直于v指向曲線凹陷一方，故a總是沿助法nn線方向。質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，a=0,F0z何與牛頓運(yùn)動(dòng)定律不矛盾。因質(zhì)點(diǎn)除受bb作用力F，還受到被動(dòng)的約反作用力R，二者在副法線方向的分量成平衡力F+R=0，bb故a=0符合牛頓運(yùn)動(dòng)率。有人會(huì)問：約束反作用力靠誰施加，當(dāng)然是與質(zhì)點(diǎn)接觸的周圍b其他物體由于受到質(zhì)點(diǎn)的作用而對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會(huì)問：某時(shí)刻若F與R大小不等，a就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)受合力的方向與原來不同，bbbb線，在新的副法線上仍滿足F+R=0即a=0。這反映了牛頓定律得瞬時(shí)性和矢量性，bbb也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變。1.4答：質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)中只有a而無a，質(zhì)點(diǎn)的勻速曲線運(yùn)動(dòng)中只有a而無a；質(zhì)點(diǎn)作TnnT變速運(yùn)動(dòng)時(shí)即有a又有a。tnrdtdtdtdtdtdtdt2x,x,dtdtdtdtdv表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而dv只是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大小dtdtdtTndtTV球?qū)θ薞V人對(duì)地圖所示，故人以速度V向球網(wǎng)前進(jìn)時(shí)應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投1.7答：火車中的人看雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是雨點(diǎn)的勻速下落運(yùn)動(dòng)及向右以加速度a的勻速水平直aaV,y,(1(1去t的軌跡y,2=2v2x,a3凹向的內(nèi)側(cè)，a垂直于V方向的分量a在改變著V的方向，該軌跡上凹。n1.8答：設(shè)人發(fā)覺干落水時(shí)，船已上行s，上行時(shí)船的絕對(duì)速度VV，則船水s=(VV)2船水①船反向追趕竿的速度V+V，設(shè)從反船到追上竿共用時(shí)間t，則船水(V+V)t=600+s船水②又竿與水同速，則水③①+③=②得1.9答：不一定一致，因?yàn)槭歉淖兾矬w運(yùn)動(dòng)速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運(yùn)動(dòng)二者的方向一致。1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時(shí)，物體作直線運(yùn)動(dòng)。過程中初速度的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)下落過程中沿力的方向運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。1.11答：質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任意點(diǎn)的速度只和初末時(shí)刻的高度差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點(diǎn)的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點(diǎn)到達(dá)任一點(diǎn)的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。nnnn4=F?)F?r)F?r)xyz=F?)F?r)F?r)xyzrj?rns故j22kk33|0|01.15答：動(dòng)量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動(dòng)量矩守恒并不意零，但這質(zhì)點(diǎn)受的力并不為零，故動(dòng)量不守恒，速度的大小和方向每時(shí)每刻都在改變。eeeer9?)r9?)?v?v9?9v00xyz故ijk??i??rr?rrkzF(r)kzr事實(shí)上據(jù)“V”算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡(jiǎn)寫為5這表明有心力場(chǎng)是無旋場(chǎng)記保守立場(chǎng)rrrrnrnTT03T-T21T-T21r0T若E<0，其勢(shì)能曲線對(duì)應(yīng)于近日點(diǎn)r和遠(yuǎn)日點(diǎn)r之間的一段。近日點(diǎn)處近日點(diǎn)，即對(duì)大的r質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是無界的，當(dāng)r很大時(shí)V(r))0，還是選無限遠(yuǎn)為零勢(shì)點(diǎn)由mE得即速度V的大小就決定了軌道的形狀，圖中T,T,T對(duì)應(yīng)于進(jìn)入軌道時(shí)的達(dá)到第一二三宇6宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故r有一極小值R，既相互作用的二質(zhì)點(diǎn)不可ee0初動(dòng)能，圖示T,T,T分別為使衛(wèi)星進(jìn)入軌道時(shí)達(dá)到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動(dòng)02030ii高。交角越大，對(duì)地球的直接探測(cè)面積越大，其科學(xué)使用價(jià)值越高。cr0r2k,仿照課本上的推證方法，在入射速度V〉的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正，0r負(fù)粒子的對(duì)撞試驗(yàn)可驗(yàn)證這一結(jié)論的近似正確性。第二章思考題解答2.1.答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點(diǎn)組，然后求質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心即為整個(gè)物體的質(zhì)心。對(duì)被割去的部分，2.2.答：物體具有三個(gè)對(duì)稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點(diǎn)即為該物體的幾何對(duì)稱中心，又該物體是均勻的，故此點(diǎn)即為質(zhì)心的位置。2.3.答：對(duì)幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，理論上可以求每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，但由于每一質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)點(diǎn)可列出三個(gè)二階運(yùn)動(dòng)微分方程，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)組有3n個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)二階微分方程組，難以解算。但對(duì)于二質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還是可以解算的。不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這表明，內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)組整體的運(yùn)7動(dòng)，但可改變組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)。2.4.答：把碰撞的二球看作質(zhì)點(diǎn)組，由于碰撞內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，故可以認(rèn)為外力為零，碰撞尾移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動(dòng)，這是符2.6.答：碰撞過程中不計(jì)外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能(分子間的結(jié)合能)，故動(dòng)量守恒或不發(fā)生形變時(shí)，能量也守恒，但這只是理想情況。ciicidt(iii)iiiiiicxFi(e)=xmiac。故選用質(zhì)心坐標(biāo)系，在動(dòng)量定理中要計(jì)入慣性力。但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心iv的動(dòng)量守恒xmiv=常矢量。當(dāng)外力改變時(shí)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)也改變，但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心i方便。值得指出：質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心參考系有，對(duì)質(zhì)心參考系動(dòng)量并不守恒。2M+m2M+m的增長是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。8問題的特例，故§2.7(2)中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)問題的公m2.11.答：由v=v+vln0=v+vlnz知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度v或0rm0rrsm增大質(zhì)量比0。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術(shù)問題的限制，v不能過大；rs又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量m相當(dāng)大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級(jí)火箭，一級(jí)0火箭的燃料燃完后外殼自行脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級(jí)火箭開始工作后便于提高火箭的2n12nr12nr12n級(jí)數(shù)很多時(shí)，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級(jí)數(shù)不能過多，一般三至四最為有效。第三章思考題解答的位置也就確定了，故須九個(gè)獨(dú)立變量，但剛體不變形，此三點(diǎn)中人二點(diǎn)的連線長度不變，量；確定作平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的代表平面在空間中的方位需一個(gè)獨(dú)立變量，確定任一點(diǎn)在平3.2答物體上各質(zhì)點(diǎn)所受重力的合力作用點(diǎn)即為物體的重心。當(dāng)物體的大小遠(yuǎn)小于地球的質(zhì)心與重心重合。事實(shí)上但物體的線度很大時(shí)各質(zhì)點(diǎn)所在處g的大小是嚴(yán)格相等，且各質(zhì)點(diǎn)的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心與質(zhì)心不和。9重心重合；當(dāng)物體為均質(zhì)且大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)，三者都重合。3.4答主矢F是力系各力的矢量和，他完全取決于力系中各力的大小和方向，故主矢不隨i之為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。分別取O和O,為簡(jiǎn)化中心，第i個(gè)力F對(duì)O和O,的位矢分i別為r和r,，則r=r,+OO,，故iiiiM=(r,F)=(r,OO,)F=(r,F)OO,FO,iiiiiiiii=M+OO,Fiioii即MMo,o上不同點(diǎn)有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，但不改變整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律或者說不影響剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)O和O,對(duì)質(zhì)心C的位矢分別為r和r,，則r,=r+OO,，把O點(diǎn)的主矢F=Fi，CCCCioM=M+rFCoCiii把O,為簡(jiǎn)化中心得到的主矢F=Fi和主矩M移到C點(diǎn)iM=M,+rF=M+(r,OO,)F=M+rFCoCioCioCiiii手段，不會(huì)影響力系的物理效應(yīng)。ZZ,l4xBABAllz一ll483(4)4這表明平行軸中沒有一條是過質(zhì)心的，則平行軸定理I=I+md2是不適應(yīng)的c定理修改后可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如題3-6圖所示，ZxAxBmCABl均質(zhì)棒上A,B二點(diǎn)到質(zhì)心的距離分別為x和x由平行軸定理得：ABABAI=I+mx2AcAI=I+mx2x用此式即可求得：BI1ml2ml2l27ml2z342483.7答任一瞬時(shí)，作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體上或與剛體固連且與剛體一起運(yùn)動(dòng)的延拓平面總有也僅有一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零(轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心)從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)看由(3.7.1)式vvωrvωrrAA0知選此點(diǎn)的基點(diǎn)較好，這樣選基點(diǎn)，整個(gè)剛體僅繞此點(diǎn)作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)從(3.7.4)式Adt平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定律去解決。因剛體上不同點(diǎn)有不同的速度和加速度，基點(diǎn)選取的不同，則(3.7.1)和(3.7.4)式中v,a不同，即v和a與基點(diǎn)有關(guān)；又任一點(diǎn)相對(duì)基點(diǎn)的位矢r于基點(diǎn)的選取有關(guān)。故AAAAdtdω與基點(diǎn)的選取無關(guān)。這也正是基點(diǎn)選取任意性的實(shí)質(zhì)所在。3.8答轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在無窮遠(yuǎn)處，標(biāo)志著此瞬時(shí)剛體上各點(diǎn)的速度彼此平行且大小相等，意味著剛體在此瞬時(shí)的角速度等于零，剛體作瞬時(shí)平動(dòng)3.9答轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的瞬時(shí)速度為零，瞬時(shí)加速度并不為零，否則為瞬時(shí)平動(dòng)瞬心參考系是非慣性力系的主矩一般不為零(向質(zhì)心簡(jiǎn)化的結(jié)果慣性力系的主矩為零)，故相對(duì)瞬心與相對(duì)停的改變，(質(zhì)心在剛體上的位置是固定的)，故對(duì)瞬心的寫出的動(dòng)量矩定理在不同時(shí)刻是對(duì)剛體上不同點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程，即瞬心參考系具一般不對(duì)瞬心應(yīng)用動(dòng)量矩定理寫其動(dòng)力學(xué)方程。，故力與重力沿下滑方向的分離組成力偶使圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)且摩擦阻力阻止了柱體與斜面的相對(duì)滑不滾動(dòng)。c與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無關(guān)。又有轉(zhuǎn)動(dòng)定律得即得圓柱與斜面的相對(duì)滑動(dòng)加速度c與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)3.11答剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，OOiO,Ri9riiO體內(nèi)任一點(diǎn)的線速度才可寫為ω人r，這時(shí)r是任一點(diǎn)到左邊一點(diǎn)引出的矢徑不等于該點(diǎn)到定軸上任一點(diǎn)；包含原點(diǎn)且與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)的各點(diǎn)，r才等于到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。當(dāng)剛對(duì)與基點(diǎn)的速度也可寫為ω人r,，其中r,為該(t)的大小、方向時(shí)刻改變，任意時(shí)刻ω所在的方位即為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，dω人r表示由于ω大小和方向的改變引起的剛體上某但繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速dt3.13答在對(duì)定點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理推導(dǎo)歐勒動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，既考慮了剛體繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的于剛體的坐標(biāo)軸的運(yùn)動(dòng)引起動(dòng)量矩的改變Ji+Jj+Jk也就是說，既考慮了隨剛體運(yùn)動(dòng)xyz用這種坐標(biāo)系并不影響對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的研究。3.14答歐勒動(dòng)力學(xué)方程的第二項(xiàng)是由于動(dòng)量矩矢量J隨剛體以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的iOxIO1xjOyIO2ykOIO23yz13zx21xy它們具有定性力矩的物理意義，各項(xiàng)的負(fù)值表示了慣性力系對(duì)定點(diǎn)的主矩在各動(dòng)軸上的分量第四章思考題解答隨轉(zhuǎn)動(dòng)系以角速度ω相對(duì)與靜止系轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)G本身又相對(duì)于動(dòng)系運(yùn)動(dòng)，所以矢量G的絕對(duì)變化率應(yīng)當(dāng)寫作dG=d*G+ωG。其中d*G是G相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的變化率即相dtdtdt對(duì)變化率；ωG是G隨動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起G的變化率即牽連變化率。若G相對(duì)于參考系不變dtdtGGdtdtω//G，則ωG=0，此時(shí)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸與G平行，此時(shí)動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)不引起G的改變。當(dāng)動(dòng)dG系作平動(dòng)或瞬時(shí)平動(dòng)且G相對(duì)動(dòng)系瞬時(shí)靜止時(shí)，則有=0；若G隨動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起的變dtdtdtdidj4.2.答：式(4.1.2)=j=i是平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的單位矢對(duì)時(shí)間的微商，表示由didjdtdtdtdtdidjdkdtdtdtjdidjdkdtdtdtdidjdkdtdtdt位隨時(shí)間改變際不同時(shí)刻有不同的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，故必須用矢積表示,,。(4.1.2)是dtdtdt式。不能由式(4.1.2)推出(4.2.3)。反，使人處于失重狀態(tài)，故感到身輕如燕。4.4.答：慣性離心力是隨轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的物體受到慣性離心力，它作用于隨動(dòng)系一起說離心力是作用于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系上的力，它是向心力的反作用力。mω?F慣r4.6.答；單線鐵路上，南來北往的列車都要通過，以北半球?yàn)槔?，火車受到的科氏慣性力總是指向運(yùn)動(dòng)方向的右側(cè)(南半球相反)，從北向南來的列車使西側(cè)鐵軌稍有磨損，故兩條鐵的磨損程度并不相同。量，ω是地球繞地軸的自轉(zhuǎn)角速度，v,是擺錘的速度。南半球上擺錘受到的科氏力總是指點(diǎn)向回?cái)[動(dòng)過程中逐漸左偏到達(dá)D點(diǎn)，以此推論，擺動(dòng)平面將沿逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)。科里奧。ECBADF圖ω//v,，科氏慣性力為零；若單擺平面沿東西方位，則科氏力一定在赤道平面與B單擺的擺動(dòng)平面共面，故不會(huì)引起擺動(dòng)平面的偏轉(zhuǎn)。4.9.答：在上一章剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中，動(dòng)系固連于剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)，但剛體上任一點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)c第四章習(xí)題A絕對(duì)加速度。A?poB線以勻角速在一固定平面內(nèi)繞其一端O轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)直線為于Ox的位置時(shí)，有一質(zhì)點(diǎn)P開始從O點(diǎn)沿該直線運(yùn)動(dòng)。如欲使此點(diǎn)的絕對(duì)速度v的量值為常數(shù)，問此點(diǎn)應(yīng)按何種規(guī)律沿此直線運(yùn)動(dòng)？p?ox4.3P點(diǎn)離開圓錐頂點(diǎn)O，以速度v沿母線作勻速運(yùn)動(dòng)，此圓錐則以勻角速繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求開始t秒后P點(diǎn)絕對(duì)加速度的量值，假定圓錐體的半頂角為a。以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。如欲使小環(huán)在曲線上任何位置均處于相對(duì)平衡狀態(tài)，求此曲線的形狀及4.5在一光滑水平直管中有一質(zhì)量為m的小球。此管以勻角速繞通過其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如開始時(shí)，球距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為a，球相對(duì)于管的速度為零，而管的總長則為2a。求球剛要離開管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度，并求小球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口所需的時(shí)間。0試求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。4.7質(zhì)量分別為m及m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一固定有長度為a的彈性繩相連，繩的倔強(qiáng)系數(shù)為k=2mm2。如將此系統(tǒng)放在光滑的水平管中，管子繞管上某點(diǎn)以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，。為m的小環(huán)套在此金屬絲上，并沿著金屬絲滑動(dòng)。試求小環(huán)運(yùn)動(dòng)微分方程。已知拋物線的方程為x2=4ay，式中a為常數(shù)。計(jì)算時(shí)可忽略摩檫阻力。4.9在上題中，試用兩種方法求小環(huán)相對(duì)平衡的條件。4.10質(zhì)量為m的小環(huán)M，套在半徑為a的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動(dòng)。如圓圈在O沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。yCtox計(jì)及地球自轉(zhuǎn)，試證此炮彈落地的橫向偏離為d=sin入sin2acosa轉(zhuǎn)的角速度。計(jì)算時(shí)可忽略2項(xiàng)。0定空氣阻力可以忽略不計(jì)，試求落至地面時(shí)的偏差。第五章思考題解答的、無限小的.即時(shí)位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的.且與過程無關(guān)的功，它與真實(shí)的功完全是兩回事.從6W=.6可知：虛功與選用的坐標(biāo)系無關(guān)，這iii變分.在虛功的計(jì)算中應(yīng)注意：在任意虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無限小性的結(jié)果.程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點(diǎn).但利用虛功原理并不是不能出平衡條件和約束反力.a力不能改變體系的動(dòng)能，故9不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學(xué)體系其廣義坐a約束反作用力不對(duì)應(yīng)有獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，故9不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉a格朗日方程進(jìn)行修正.理量，如面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等.顯然廣義坐標(biāo)不一定是長度的量綱.在完整應(yīng)的廣義坐標(biāo)作單位值的改變，且其余廣義坐標(biāo)不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由xn.6=xs96q=6W知，96q有功的量綱，據(jù)此關(guān)系已知其中一個(gè)量的量綱iiaaaa則可得到另一個(gè)量的量綱.若q是長度，則9一定是力，若9是力矩，則q一定是角度，aaaa若q是體積，則9一定是壓強(qiáng)等.aa5.3答p與q.不一定只相差一個(gè)常數(shù)m，這要由問題的性質(zhì)、坐標(biāo)系的選取形式及廣aay2?t坐標(biāo)，則qy=y.，而py=?y=my.=mq.y，相差一常數(shù)m，如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能1相差一變數(shù)m.從以上各例可看出：只有在廣義坐標(biāo)為長度的情況下，p與q.才相差一常aa數(shù);在廣義坐標(biāo)為角量的情形下，p與q.相差為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱.aap為何比q.更富有物理意義呢？首先，p對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函aaa數(shù)T、L或H與廣義速度、廣義坐標(biāo)的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而q.a是對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)學(xué)量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)L中不?L含某一廣義坐標(biāo)qi時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量pi=?q.=常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶i來方便，而此時(shí)循環(huán)坐標(biāo)q對(duì)應(yīng)的廣義速度q.并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場(chǎng)中ii后，由哈密頓正則方程知p,q是一組正則變量:哈密頓函數(shù)H中不含某個(gè)廣義坐標(biāo)q時(shí)，aaiiii5.4答只有對(duì)于完整系，廣義坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式(5.3.13)各6q才能全部相互獨(dú)立，得到式(5.3.14)，故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學(xué)a體系，描述體系的運(yùn)動(dòng)需要的廣義坐標(biāo)多于自由度數(shù)，各6q不全部獨(dú)立，不能得到(5.3.14)a式，但(5.3.13)式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。5.6答力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程(5.4.4)得久期方程(本征值方程)(5.4.6)式a入2+C=0，其中a,b=1,2…S，久期方程的各根(本征值)入的性質(zhì)決定體ababl系平衡位置附近的小振動(dòng)性質(zhì)。因從本征方程(5.4.6)式中可求出2S個(gè)的本征值入(l=1,2…2S)，每一個(gè)入對(duì)應(yīng)ll5.7答多自由度體系的小振動(dòng)，每一廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于S個(gè)主頻率的諧振動(dòng)的疊加。若通過坐標(biāo)間線性變換使得每一廣義坐標(biāo)僅對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，則變換后的坐標(biāo)稱之為簡(jiǎn)正坐標(biāo)，度數(shù)相等，故簡(jiǎn)正坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)。值得說的是，每一簡(jiǎn)正振動(dòng)為整個(gè)力學(xué)體系所共有，反映的是各質(zhì)點(diǎn)(整體)的振動(dòng)之一，其他坐標(biāo)都作為簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性函數(shù)，由S個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)疊加而成。這種方法在統(tǒng)計(jì)物理，固體物理中都有運(yùn)用。5.8答對(duì)一完整的穩(wěn)定的力學(xué)體系在有阻尼的情況下，它們?cè)谄胶馕恢酶浇鼘⒆魉p運(yùn)動(dòng)。2abab則阻力aqabbaqabb力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程改為2abab2abababa,b=1泰勒級(jí)數(shù)qr很小，只保留頭一項(xiàng)，則aab,bab,cab均為常數(shù)。T,V,F代入運(yùn)動(dòng)方程得abbabbabbbbababab動(dòng)方程為bibllibll顯然是按指數(shù)率的衰減振動(dòng)。?L由pa=?q.解得a所以則而能適用于完整的，保守的力學(xué)體系，對(duì)非保守體系(5.3.18)改寫為其中Q為非有勢(shì)力，或?qū)憺閍aa?qaaa?qaa H-a H-(a H(aap,ap,aaaa不是真正的能量；對(duì)穩(wěn)定的，保守的力學(xué)體系，若H含t則H是能量但不為常熟。aaaa[v,H]是物理學(xué)中最常用的泊松括號(hào)，用泊松括號(hào)可表示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)正則方程課程中被廣泛應(yīng)用。每一正則方程必對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，利用泊松括號(hào)從正則方程=積分vpqtCvpqt)=CC3aC35.13答：哈密頓原理是用變分的方法確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它是力學(xué)變分原理的積分形式?；舅枷胧窃诿枋隽W(xué)體系的S維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點(diǎn)相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。5.14答：力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)H中是否有循環(huán)坐標(biāo)系或循環(huán)坐標(biāo)的數(shù)目與坐標(biāo)系(或參