高考北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案3-7解三角形應(yīng)用舉例

第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例命題分析預(yù)測學(xué)科核心素養(yǎng)從近五年的高考來看，本節(jié)內(nèi)容直接命題較少，主要涉及高度、距離、角度等實際應(yīng)用問題．本節(jié)主要考查考生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第84頁知識點測量中的有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北（南）偏東（西）α例：（1）北偏東α：（2）南偏西α：?溫馨提醒?易混淆方位角與方向角的概念1．方位角是指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角．2．“方位角”與“方向角”的范圍：方位角大小的范圍是[0°，360°），方向角大小的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，90°))．1．（易錯題）若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的（）A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°解析：如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°．∴點A在點B的北偏西15°．答案：B2．如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，則可以計算出A，B兩點的距離為m．解析：由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，又因為∠B＝30°，所以AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)（m）．答案：50eq\r(2)3．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h＝米．解析：由題圖可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BPA＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，所以eq\f(a,sin30°)＝eq\f(PB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a×sin60°＋asin15°＝eq\f(\r(2),2)a．答案：eq\f(\r(2),2)a授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第84頁題型一距離問題[例]（2021·寧德質(zhì)檢）海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑（即A，B兩點間的距離），現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍洞的口徑為_________．[解析]由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40（eq\r(6)＋eq\r(2)）．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40（eq\r(6)－eq\r(2)）．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×（8＋4eq\r(3)）＋1600×（8－4eq\r(3)）＋2×1600×（eq\r(6)＋eq\r(2)）×（eq\r(6)－eq\r(2)）×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5)．故圖中海洋藍洞的口徑為80eq\r(5)．[答案]80eq\r(5)求距離問題的兩個注意事項（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．[對點訓(xùn)練]如圖，為了測量兩山頂D，C間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，在A位置時，觀察D點的俯角為75°，觀察C點的俯角為30°；在B位置時，觀察D點的俯角為45°，觀察C點的俯角為60°，且AB＝eq\r(3)km，則C，D之間的距離為km．解析：在△ABD中，因為∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°，由正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，即eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(AD,sin45°)，所以AD＝eq\f(\r(3)sin45°,sin60°)＝eq\r(2)（km）．由題意得∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝eq\r(3)km．所以AC＝3km．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠DAC＝5，即CD＝eq\r(5)km．答案：eq\r(5)題型二高度問題[例]如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝m．[解析]由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)（m）．[答案]100eq\r(6)利用正、余弦定理求解高度問題應(yīng)注意的三個問題（1）在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角（它是在鉛垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是關(guān)鍵．（2）在實際問題中，可能會遇到空間與平面（地面）同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出錯．（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．[對點訓(xùn)練]為了測量某新建的信號發(fā)射塔AB的高度，先取與發(fā)射塔底部B的同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C，D，測得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在點C的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1m，則發(fā)射塔高AB＝m．解析：如圖，過點E作EF⊥AB，垂足為F，則EF＝BC，BF＝CE＝1m，∠AEF＝30°．在△BCD中，由正弦定理得BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(40·sin60°,sin45°)＝20eq\r(6)（m）．所以EF＝20eq\r(6)m．在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝20eq\r(2)（m），所以AB＝AF＋BF＝20eq\r(2)＋1（m）．答案：20eq\r(2)＋1題型三角度問題[例]在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．[解析]如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．根據(jù)余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－240xcos120°，解得x＝2（負值舍去）．故AC＝28，BC＝20．根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14)．所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14)．測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．[提醒]方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．[對點訓(xùn)練]如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7)．由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7)．由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7)．由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14)．解三角形應(yīng)用問題中的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模——三斜求積公式的應(yīng)用我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202－1261）的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”中有一題：“問有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知為田幾何．”該題就是已知三角形的三邊長，求三角形的面積．《數(shù)書九章》給出的解法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”寫成公式形式就是△ABC的面積S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))，其中△ABC的三邊分別為a，b，c，且a>b>c．這個公式中的三斜具有“對稱性”，a，b，c只要分別表示三角形的三邊即可，不一定專指大斜、中斜與小斜．秦九韶給出的“三斜求積”公式與海倫公式（△ABC的面積S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，其中△ABC的三邊分別為a，b，c，p＝eq\f(a＋b＋c,2)，海倫公式的特點是形式漂亮，便于記憶）形異而質(zhì)相同，填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白，代表了我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，是我國數(shù)學(xué)史上的一顆明珠．[例]南宋數(shù)學(xué)家秦九韶早在《數(shù)書九章》中就提出了已知三角形的三邊求其面積的公式：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”（即△ABC的面積S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))，其中△ABC的三邊分別為a，b，c，且a>b>c）并舉例“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知為田幾何？”則該三角形沙田的面積為（）A．82平方里 B．83平方里C．84平方里 D．85平方里[解析]由題意知三角形沙田的三邊長分別為13里、14里、15里，代入三角形的面積公式可得三角形沙田的面積S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(132×152－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(132＋152－142,2)))\s\up12(2))))＝84（平方里）．[答案]C[對點訓(xùn)練]《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個三丈高的標桿BC和DE，兩標桿之間的距離BD＝1000步，兩標桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標桿B處后退123步，人眼貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F(xiàn)三點共線，從后面的標桿D處后退127步，人眼貼地面，從地上G處仰望島峰，A，E，G三點也共線，則海島的高為（注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步）（