階段綜合練(1.4)-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

11階段綜合練(1.4)1.已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是 ()A.(1,-1,1) B.(1,3,32C.(1,-3,32) D.(-1,3,-3【解析】選B.設(shè)平面α內(nèi)的點P(x,y,z),則=(x-2,y+1,z-2).由α的法向量n=(3,1,2),則⊥n.所以3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,即3x+y+2z=9.將A,B,C,D選項的坐標(biāo)帶入驗證,得B項符合.2.若O為坐標(biāo)原點,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為 ()A.1652 B.214 C.53 D.【解析】選D.因為=12(+)=12(4,3,6)=(2,32,3),=(0,1,0),所以=-=(-2,-12,-3),所以||=4+14+9=532.3.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),設(shè)D在直線AB上,且=2,設(shè)C(λ,13+λ,1+λ),若CD⊥AB,則λ的值為 ()A.116 B.-116 C.12 【解析】選B.設(shè)D(x,y,z),則=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),=(1-x,-y,-1-z),因為=2,所以x+1=2(所以x=13,y=13,z=0,所以D(13因為CD⊥AB,所以·=2(13-λ)+λ-3(-1-λ)=0,所以λ=-116.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠BAC=60°,則異面直線BA1和AC1所成角的余弦值為 ()A.32 B.34 C.14 【解析】選C.因為AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC是等邊三角形,取AC的中點D,以點D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則B(3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),所以=(-3,-1,2),=(0,2,2),即||=22,||=22,·=2,所以異面直線BA1和AC1所成角的余弦值為|cos<,>|==222×22=145.已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為 ()A.36 B.33 C.233 【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0).設(shè)平面A1C1D的一個法向量為m=(x,y,1),則即x-解得x=1,y顯然平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d==13=336.如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是 ()A.5 B.8 C.6013 D.【解析】選C.以D為坐標(biāo)原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,12,0),D1(0,0,5).設(shè)B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0).設(shè)平面A1BCD1的法向量為n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12).又=(0,0,-5),所以點B1到平面A1BCD1的距離為=6013.因為B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距離為60137.(多選題)已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),則下列選項中,正確的是 ()A.n1∥n2?α∥βB.n1⊥n2?α⊥βC.v∥n1?l∥αD.v⊥n1?l∥α【解析】選AB.對于A,平面α,β不重合,所以平面α,β的法向量平行等價于平面α,β平行,A正確;對于B,平面α,β不重合,所以平面α,β的法向量垂直等價于平面α,β垂直,B正確;對于C,直線的方向向量平行于平面的法向量等價于直線垂直于平面,C錯誤;對于D,直線的方向向量垂直于平面的法向量等價于直線平行于平面或直線在平面內(nèi),D錯誤.8.(多選題)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,AD=4,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為等腰直角三角形,且∠PAD=π2,O為底面ABCD的中心,E為PD的中點,點F在棱PA上.若FAPA=λ,λ∈[0,1],則下列說法正確的有 (A.異面直線PO與AD所成角的余弦值為21B.異面直線PO與AD所成角的余弦值為2C.若平面OEF與平面DEF夾角的正弦值為55,則λ=D.若平面OEF與平面DEF夾角的正弦值為55,則λ=【解析】選BC.因為∠PAD=π2所以PA⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA?平面PAD,所以PA⊥平面ABCD.因為底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(0,0,0),B(2,0,0),O(1,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),所以=(1,2,-4),=(0,4,0),所以|cos<,>|==812+22+所以異面直線PO與AD所成角的余弦值為22121由題易得E(0,2,2),AB⊥平面PAD,取平面PAD的一個法向量m=(1,0,0).因為FAPA=λ,λ∈[0,1],PA所以FA=4λ,所以F(0,0,4λ).設(shè)平面OEF的法向量為n=(x,y,z),易知=(-1,0,2),=(1,2,-4λ),則即-x令x=2,得n=(2,2λ-1,1).因為平面OEF與平面DEF夾角的正弦值為55所以|cos<m,n>|=1-(5而|cos<m,n>|=|m·n所以24+(2λ-1)故C正確,D錯誤.9.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,則AC1與平面BB1C1C的夾角的余弦值為__________.

【解析】設(shè)三棱柱的棱長為1,以B為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則C1(0,1,1),A32,12,又平面BB1C1C的一個法向量n=(1,0,0),設(shè)AC1與平面BB1C1C的夾角為θ.則sinθ=|cos<n,>|==64,故cosθ=1-sin答案:1010.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=23a,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是________【解析】=++=13++13=13(+)++13(+)=23+13=23+13.所以與,共面.又因為MN?平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.答案:平行11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M為BB1的中點,N為BC的中點.則點M到直線AC1的距離為________;點N到平面MA1C1的距離為________.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直線AC1的一個單位方向向量為s0=(0,22,22),=(2,0,1),故點M到直線AC1的距離d==5-12設(shè)平面MA1C1的法向量為n=(x,y,z),則即2y取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)為平面MA1C1的一個法向量,因為N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),故N到平面MA1C1的距離d==35=355答案:32212.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PD⊥底面ABCD,且PD=DA=CD=2AB=2,點M為PC的中點.若平面PAD內(nèi)的一點N滿足MN⊥平面PBD,則MN的長為________.

【解析】由題意知DP,DC,DA兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(如圖所示).因為PD=CD=DA=2AB=2,所以D(0,0,0),B(2,1,0),P(0,0,2),M(0,1,1).設(shè)N(x,0,z),則=(x,-1,z-1),=(0,0,2),=(2,1,0).若MN⊥平面PBD,則即2解得x=12,z所以=(12,-1,0),所以||=52.答案:513.如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.(1)證明:MN∥平面C1DE;(2)求點C到平面C1DE的距離.【解析】(1)因為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點,所以DD1⊥平面ABCD,DE⊥AD,以D為原點,DA,DE,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則M(1,3,2),N(1,0,2),D(0,0,0),E(0,3,0),C1(-1,3,4),C(-1,3,0),所以=(0,-3,0),=(-1,3,4),=(0,3,0),設(shè)平面C1DE的法向量為n=(x,y,z),則即-x取z=1,則n=(4,0,1).因為·n=0,MN?平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)由(1)得C(-1,3,0),所以=(-1,3,0),而平面C1DE的一個法向量n=(4,0,1),所以點C到平面C1DE的距離d==417=41714.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,點M是SD的中點,AN⊥SC,且交SC于點N.(1)求證:SC⊥平面AMN;(2)求平面ACD與平面ACM夾角的余弦值.【解析】(1)依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz設(shè)AB=AD=SA=1,則A(0,0,0),C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M(12,0,1所以=(12,0,12),=(-1,-1,1)所以·=-12+12=0.所以⊥,即SC⊥AM,又SC⊥AN,且AN∩AM=A,AN,AM?平面AMN,所以SC⊥平面AMN.(2)因為SA⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACD的一個法向量.由(1)知,=(1,1,0),=(12,0,12),設(shè)平面ACM的法向量為n=(x,y,z),則即x+令x=-1,則n=(-1,1,1)所以cos<,n>==13=33,故平面ACD與平面ACM夾角的余弦值為3315.如圖(1)所示,AD是△BCD中BC邊上的高線,且AB=2AD=2AC,將△BCD沿AD翻折,使得平面ACD⊥平面ABD,如圖(2).(1)在圖(2)中,求證:AB⊥CD;(2)在圖(2)中,E是BD上一點(不含端點),連接AE,CE,當(dāng)AE與底面ABC所成角的正切值為12時,求直線AE與平面BCE所成角的正弦值【解析】(1)由題圖(1)知,在題圖(2)中,AC⊥AD,AB⊥AD,因為平面ACD⊥平面ABD,平面ACD∩平面ABD=AD,AB?平面ABD,所以AB⊥平面ACD,又CD?平面ACD,所以AB⊥CD.(2)以A為原點,AC,AB,AD所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC=1,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),D(0,0,1),設(shè)E(x,y,z),=λ(0<λ<1)則(x,y,z-1)=(0,2λ,-λ),所以E(0,2λ,1-λ),所以=(0,2λ,1-λ),易知平面AB