關于行列式計算方法的討論

關于行列式計算方法的討論

列方程計算是高等和線性代數(shù)的基本問題。由于計算能力強，學生很難理解和掌握。在總結作者多年的教育經(jīng)驗的基礎上，本文總結并提煉了一系列矩陣計算方法。利用行列式的性質(zhì):把一行(列)的適當?shù)谋稊?shù)加到另一行(列),把一個n階行列式化為三角形,再利用三角形行列式的特點進行計算.例1計算n階行列式的值.解例2計算n階行列式的值.解注意能夠利用化為三角形法則進行計算的行列式的共同特征是每行(列)有盡可能多的相同的元素.我們利用行列式的性質(zhì)把某行(列)的倍數(shù)加到其它行(列),出現(xiàn)更多的零,進而化為三角形.類似的題目還有:2鑲邊法利用行列式按行(列)展開的性質(zhì),把n階行列式通過加行(列)變成與之相等的n+1階行列式,利用行列式的性質(zhì)把添加進去的行(列)的適當?shù)谋稊?shù)加到其它行(列),使其它行(列)出現(xiàn)更多為零的元素后再進行計算.添加的行與列一般有四種方式,分別是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列.當然有時也添加在行列式的一般行與列的位置.(1)添加首行首列或末行末列例3計算行列式的值.解例4計算n階行列式的值.解(2)添加在一般位置例5計算n階行列式的值.解提示:按第n+1行展開得到的是關于z的多項式,而所行列式的值是上述加邊行列式展開式的zs項的系數(shù)乘以(-1)n+1+s+1.注意能夠利用鑲邊法的題目往往具有如下兩種特征之一:(1)各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性質(zhì)把一行(列)的適當?shù)谋稊?shù)加到其它行(列)的時候不容易變成三角形行列式,或者說出現(xiàn)的零的個數(shù)還不夠多;(2)添加一行(列)后能夠跟范德蒙行列式聯(lián)系起來.類似的題目如:3利用因式定理法利用行列式的性質(zhì)找出行列式的所有因式,從而得到行列式的值.我們利用行列式的定義的展開式觀察出行列式的展開式(多項式)的次數(shù)特征,如果該次數(shù)與我們找到的所有因式的乘積的次數(shù)相同,就利用展開式的首項系數(shù)對因式的乘積的系數(shù)進行調(diào)整,之后得到的就是行列式的值了.例6計算解展開式可以看成關于x的多項式f(x),顯然有f(a1)=0,f(a2)=0,…,f(an)=0,這是因為分別令x=a1,a2,…,an時,行列式恰好有兩行相同,行列式的值為零.因此行列式的展開式中有因子:x-a1,x-a2,…,x-an,所以D=k(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an),又行列式首項系數(shù)為1,故D=(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an).注意能夠利用因式分解定理進行計算的行列式的特征是:這類行列式一般是含有文字變量的行列式,當某個變量取某個特定值的時候行列式的值為零,則該行列式必含有某個特定因子.類似的題目如:4遞推法利用行列式按行(列)展開的性質(zhì),得到原行列式與同類型的低階行列式之間的遞推關系式.此種方法有時用到Dn,Dn-1,有時用到Dn,Dn-1,Dn-2,若出現(xiàn)的是Dn,Dn-1的關系,則可以直接進行遞推;若出現(xiàn)的是Dn,Dn-1,Dn-2,則一般要寫成Dn+aDn-1=b(Dn-1+aDn-2),進行遞推,這里的a,b可以用待定系數(shù)法去求出,也可以利用方程的根與系數(shù)的關系去求.(1)利用Dn,Dn-1進行遞推例7計算解而D1=x,D2(x+a1)(x-a1),D3=(x-a2)[(x+a1)(x-a1)]+a2(x-a1)(x-a2)=(x+a1+a2)(x-a1)(x-a2).假設Dn=(x+a1+a2+…+an-1)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1),代入上面的遞推關系式得到Dn+1=(x-an)(x+a1+a2+…+an-1)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)+an(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)(x-an)=(x+a1+a2+…an-1+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)(x-an).例8計算解同理有Dn=Dn′=zn-1∏i=1(xi-y)+(xn-z)D′n-1=zn-1∏i=1(xi-y)+(xn-z)Dn-1.Dn=Dn′=z∏i=1n?1(xi?y)+(xn?z)D′n?1=z∏i=1n?1(xi?y)+(xn?z)Dn?1.若y≠z,解得:Dn=1z-y[zn∏i=1(xi-y)-yn∏i=1(xi-z)].若y=z,遞推可得:Dn=x1n∏i=2(xi-y)+yn∑i=2n∏j≠i(xj-y).(2)利用Dn,Dn-1,Dn-2進行遞推例9計算所以有Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2),從而Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=b2(Dn-2-aDn-3)=…=bn-2(D2-aD1),而D2-aD1=b2,所以同理可得若a≠b,又(1)、(2)兩式消去Dn-1,得Dn=an+1-bn+1a-b.a=b若?得Dn=aDn-1+an=a(aDn-2+an-1)+an=a2Dn-2+2an=…=an-1D1+(n-1)an=(n+1)an.例10計算Dn=|ab0?00cab?000ca?00??????000?ca|.提示與例9類似可得遞推公式Dn=aDn-1-bcDn-2,設Dn-x1Dn-1=x2(Dn-1-x1Dn-2),則{x1+x2=ax1x2=b,所以x1,x2是方程x2-ax+b=0的兩個根.注例10的結果還可以用于某些行列式的計算,例如注意這類行列式的特征是:行列式按某行(列)展開后能夠出現(xiàn)與原行列式同類型的低階行列式,得到同類型的高階行列式與低階行列式之間的遞推關系.類似的題目還有:此外,對于各行(列)元素的和相等的行列式,我們一般先將各列(行)進行累加,然后提取公因式,再利用行列式的性質(zhì)進行計算.除了上述方法之外,還有的行列式可利用行列式的基本性質(zhì)進行計算,這類題目計算比較容易,在此不再一一列舉.行列式的計算,不同的題目可能用到不同的計算方法,至于采用哪種方法進行計算要視具體的題目而定.但是同樣的題目有時也可以用不同的方法來計算,行列式的計算雖說不是非常的簡單,但是方法和技巧卻不是很復雜,只要我們多觀察行列式的特點就能找到適合的方法.特別需要注意的是有的行列式的計算不