第四章指數(shù)與對數(shù)（知識歸納題型突破）（原卷版）

第四章指數(shù)與對數(shù)（知識歸納+題型突破）1．理解n次方根，n次根式的概念及運算．2．會進行根式及分數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．3．通過對有理數(shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)(a>0且a≠1，m，n為整數(shù)，且n>0)、實數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1，x∈R)含義的認識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)．4．理解對數(shù)的概念．知道自然對數(shù)和常用對數(shù)．5．會用對數(shù)的定義進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化．6．理解對數(shù)的運算性質(zhì)．會用對數(shù)的運算性質(zhì)進行一些簡單的化簡、計算．7．理解積、商、冪的對數(shù)，能進行簡單的對數(shù)運算．8．知道對數(shù)的換底公式，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)和常用對數(shù)，并能進行簡單的化簡、計算．1．n次方根、n次根式(1)a的n次方根的定義一般地，如果xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么稱x為a的n次方根．(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式式子eq\r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指數(shù)，a叫作被開方數(shù)．2．根式的性質(zhì)(1)負數(shù)沒有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0．(3)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．(5)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．3．分數(shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．4．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：①asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．(2)拓展：eq\f(as,at)＝as－t(a>0，s，t∈Q)．5．無理數(shù)指數(shù)冪一般地，當(dāng)a＞0且x是一個無理數(shù)時，ax也是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．6．對數(shù)的概念如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中，a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．7．常用對數(shù)與自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，并把log10N記為lg__N．另外，在科技、經(jīng)濟以及社會生活中經(jīng)常使用以無理數(shù)e＝2．71828…為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為ln__N．8．對數(shù)的概念如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中，a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．9．常用對數(shù)與自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，并把log10N記為lg__N．另外，在科技、經(jīng)濟以及社會生活中經(jīng)常使用以無理數(shù)e＝2．71828…為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為ln__N．10．對數(shù)運算性質(zhì)loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMn＝nlogaM，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN(以上各式中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R)拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)11．換底公式logaN＝eq\f(logcN,logca)，其中a>0，a≠1,N>0，c>0，c≠1． 特別地logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)．題型一n次方根的概念【例1】(1)若81的平方根為a，－8的立方根為b，則a＋b＝________．(2)若eq\r(4,x－2)有意義，求實數(shù)x的取值范圍．思維升華(1)方根個數(shù)：正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)，任意實數(shù)的奇次方根只有一個．(2)符號：根式eq\r(n,a)的符號由根指數(shù)n的奇偶性及被開方數(shù)a的符號共同確定．①當(dāng)n為偶數(shù)，且a≥0時，eq\r(n,a)為非負實數(shù)；②當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,a)的符號與a的符號一致．鞏固訓(xùn)練：1．已知x7＝8，則x等于()A．2eq\r(2) B．eq\r(7,8) C．－eq\r(7,8) D．±eq\r(7,8)2．16的4次方根是________，eq\r(3,2x＋1)有意義，則x的取值范圍是________．題型二利用根式的性質(zhì)化簡或求值【例2】化簡：(1)eq\r(4,（3－π）4)；(2)eq\r(（a－b）2)(a>b)；(3)(eq\r(a－1))2＋eq\r(（1－a）2)＋eq\r(3,（1－a）3)．思維升華n為奇數(shù)時，(eq\r(n,a))n＝eq\r(n,an)＝a，a為任意實數(shù)均可；n為偶數(shù)時，a≥0，(eq\r(n,a))n才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a；而a為任意實數(shù)eq\r(n,an)均有意義，且eq\r(n,an)＝|a|．鞏固訓(xùn)練1．求下列各式的值：(1)eq\r(7,（－2）7)；(2)eq\r(4,（3a－3）4)(a≤1)；(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,（1－a）4)．題型三有限制條件的根式的化簡【例3】設(shè)－3<x<3，化簡eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)．思維升華當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)先化為|a|，再根據(jù)a的正負去絕對值符號．鞏固訓(xùn)練1．設(shè)x≤－3，化簡eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)．2．(1)已知x∈[1，2]，化簡(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,（x－2）6)＝________．(2)求使等式eq\r(（a－3）（a2－9）)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的實數(shù)a的取值范圍．題型四根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化【例4】1.用根式的形式表示下列各式(x>0)．(1)xeq\f(2,5)；(2)x－eq\f(5,3)．2.把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0，b>0．(1)eq\r(5,a6)；(2)eq\f(1,\r(3,a2))；(3)eq\r(4,\f(b3,a2))；(4)eq\r(（－a）6)．思維升華根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)化為分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)化為分數(shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)【解析】題．鞏固訓(xùn)練1．用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．題型五有理數(shù)指數(shù)冪的運算【例5】計算下列各式：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up12(0.5)＋0．1－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq\f(37,48)；(2)eq\r(6\f(1,4))－eq\r(3,3\f(3,8))＋eq\r(4,0.0625)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.064\f(1,3)))\s\up12(－)))eq\s\up12(\f(2,5))－π0．思維升華1．有理數(shù)指數(shù)冪運算的常用技巧(1)有括號先算括號里的，無括號先進行指數(shù)運算．(2)負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)，要先化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運用有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則．2．根式化簡的步驟(1)將根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式．(2)運用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則求【解析】．3．對于化簡或求值結(jié)果的要求對化簡或求值的結(jié)果，一般保留為分數(shù)指數(shù)冪的形式；在進行指數(shù)冪運算時，通常是化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)，同時要兼顧運算的順序．鞏固訓(xùn)練1．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))eq\s\up12(－\f(3,4))＝________．(2)計算下列各式(式中字母均為正數(shù))：①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(2,3)y\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x－1y\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x\f(1,3)y－\f(1,6)))；②0．064－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))eq\s\up12(0)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－2）3))eq\s\up12(－\f(4,3))＋16－0．75．題型六用乘法公式化簡含指數(shù)冪的代數(shù)式【例6】(1)若xeq\f(1,2)－x－eq\f(1,2)＝1，則x＋x－1＝________；x2＋x－2＝________．(2)化簡：eq\f(a\f(4,3)－8a\f(1,3)b,4b\f(2,3)＋2\r(3,ab)＋a\f(2,3))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\r(3,\f(b,a))))·eq\r(3,a)．思維升華引入負指數(shù)及分數(shù)指數(shù)冪后，平方差、立方和與差、完全平方公式就有了新的形式，被賦予了新的活力，如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)這兩個公式用分數(shù)指數(shù)冪表示就是a±b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(1,3)±b\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(2,3)?a\f(1,3)b\f(1,3)＋b\f(2,3)))，再如a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(1,2)＋b\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(1,2)－b\f(1,2)))，a±2aeq\f(1,2)beq\f(1,2)＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(1,2)±b\f(1,2)))eq\s\up12(2)等，巧用這些公式的變形，可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃螛?gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu)，從而通過“整體代入”巧妙地求出代數(shù)式的值．鞏固訓(xùn)練1．(1)已知a＝－eq\f(8,27)，b＝eq\f(17,71)，則eq\f(a\f(2,3)＋3a\f(1,3)b\f(1,3)＋（3\r(3,b)）2,a\f(4,3)－27a\f(1,3)b)÷eq\f(a\f(1,3),\r(3,a)－3\r(3,b))＝________．(2)已知xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝3，求eq\f(x2＋x－2－2,x＋x－1－2)的值．題型七對數(shù)的概念【例7】(多選題)下列說法正確的是()A．零和負數(shù)沒有對數(shù)B．任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式C．以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)D．以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)思維升華在對數(shù)式b＝logaN中，b叫作以a為底N的對數(shù)，底數(shù)a>0，a≠1，真數(shù)N>0．鞏固訓(xùn)練1．在對數(shù)式log(x－2)(4－x)中，實數(shù)x的取值范圍是________．題型八指數(shù)式與對數(shù)式的互化【例8】將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)2－2＝eq\f(1,4)；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)64－eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)；(5)log39＝2；(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．思維升華指數(shù)式與對數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式．(2)對數(shù)式化為指數(shù)式：將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．鞏固訓(xùn)練1．將下列指數(shù)式、對數(shù)式互化：(1)43＝64；(2)lna＝b；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)＝n；(4)lg1000＝3．題型九利用對數(shù)式與指數(shù)式關(guān)系求值【例9】求下列各式中x的值．(1)log64x＝－eq\f(2,3)；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x；(5)log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x．思維升華對數(shù)式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定條件下求對數(shù)的值，或求對數(shù)式中字母參數(shù)的值，要注意利用方程思想求【解析】．(2)基本方法①將對數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題．②利用冪的運算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計算．鞏固訓(xùn)練1．利用指數(shù)式、對數(shù)式的互化求下列各式中x的值．(1)log2x＝－eq\f(1,2)；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4．題型十對數(shù)的運算性質(zhì)【例10】用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z)．思維升華對數(shù)的運算性質(zhì)是【解析】決此類問題的關(guān)鍵，熟記運算性質(zhì)，要注意底數(shù)是相同的．鞏固訓(xùn)練1．下列各等式正確的為()A．log23·log25＝log2(3×5)B．lg3＋lg4＝lg(3＋4)C．log2eq\f(x,y)＝log2x－log2yD．lgeq\r(n,m)＝eq\f(1,n)lgm(m>0，n>1，n∈N*)2．已知a>0，且a≠1，x>y>0，則下列結(jié)論正確的是()A．loga(x－y)＝logax－logayB．eq\f(logax,logay)＝logax－logayC．logaeq\f(x,y)＝logax－logayD．logaeq\f(x,y)＝eq\f(logax,logay)題型十一利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡求值【例11】求值：(1)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27)；(2)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51．8．思維升華利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡與求值的原則和方法(1)基本原則：①正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，②選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進行．(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．鞏固訓(xùn)練1．計算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2．題型十二對數(shù)中的求值(用代數(shù)式表示)問題【例12】設(shè)lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各對數(shù)：(1)lg45；(2)lgeq\f(27,4)；(3)lgeq\f(50,27)．思維升華依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，將真數(shù)化為“底數(shù)”“已知對數(shù)的數(shù)的冪”的乘、除，再展開，要注意常用對數(shù)中l(wèi)g2＋lg5＝1．鞏固訓(xùn)練1．已知log189＝a，18b＝5，求log18eq\f(45,36)(用a，b表示)．題型十三換底公式的直接應(yīng)用【例13】(1)log29·log34＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2) C．2 D．4(2)eq\f(log58,log52)＝()A．log54 B．3log52 C．2 D．3思維升華換底公式的意義在于改變對數(shù)式的底數(shù)，把不同底數(shù)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對數(shù)．在應(yīng)用換底公式時將原對數(shù)的底數(shù)換成以什么為底數(shù)的對數(shù)，要由具體已知條件確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．計算：(lo