第14講 橢圓離心率6種?？碱}型（原卷版）

第14講橢圓離心率6種常考題型【知識(shí)點(diǎn)梳理】橢圓的離心率，【題型目錄】題型一：利用，利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換，利用焦距表示題型二：利用與建立一次二次方程不等式題型三：利用相似、垂直、平行等幾何關(guān)系求離心率題型四：利用焦半徑的取值范圍為，求離心率范圍題型五：利用最大頂角求離心率范圍問題題型六：利用不等式、二次函數(shù)等方法解決離心率范圍綜合問題【典型例題】題型一：利用，利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換，利用焦距表示在處理問題的時(shí)候一定要注意定義優(yōu)先原則，用上橢圓定義，再結(jié)合平面幾何、三角函數(shù)、不等式、以及函數(shù)的內(nèi)容，往往可以解決諸多離心率問題．【例1】（四川高二期末（文））橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點(diǎn)，若直線恰好與圓相切于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）．A． B． C． D．【例2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的右焦點(diǎn)作橢圓長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【例3】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與相交于兩點(diǎn)（在第一象限）.若四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【例4】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【題型專練】1.（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））已知橢圓的上焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．2.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．4.（2019全國II文20）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知在中，，，，于是，故的離心率是．題型二：利用與建立一次二次方程不等式在處理此類問題的時(shí)候，一般要用到余弦定理，或者帶入橢圓，總之就是找到之間的關(guān)系【例1】（黃岡天有高級(jí)中學(xué)高二月考）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【例3】（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn).若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【例4】（2022·全國·高二）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線與直線的交點(diǎn)為P，若的面積是面積的2倍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【例5】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【題型專練】1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（文））橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．2.（2015屆四川省成都市高三第一次診斷性檢測理科數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知橢圓，是橢圓的右焦點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，軸，若，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3.已知是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4.（2017新課標(biāo)全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A．B．C．D．5.（2022·江西·模擬預(yù)測（文））如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，兩平行直線分別過交M于A，B，C，D四點(diǎn)，且，則M的離心率為（

）A． B． C． D．6.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．題型三：利用相似、垂直、平行等幾何關(guān)系求離心率【例1】（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【例2】（2014新課標(biāo)2）設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．（Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率；【例3】（2022·新疆·烏市八中高二期中（理））已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為和，直線過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)在上，且，則橢圓的離心率為____________．【題型專練】1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A是橢圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為若則橢圓的離心率為____.2.（2022·江蘇·高二）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為______.題型四：利用焦半徑的取值范圍為，求離心率范圍【例1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求證：．【例2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在橢圓C上，若，則該橢圓的離心率不可能是（

）A． B． C． D．【題型專練】1．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)N是的中點(diǎn)，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若橢圓上存在點(diǎn)，使得線段的中垂線恰好過焦點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．題型五：利用最大頂角求離心率范圍問題【例1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上不存在點(diǎn)使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【例2】（2022·江蘇·高二期末）已知橢圓，對(duì)于C上的任意一點(diǎn)P，圓上均存在點(diǎn)M，N使得，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則橢圓離心率的取值范圍為____．2.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．4.（2019·內(nèi)蒙古赤峰市·高二期末（理））已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上不存在點(diǎn)使，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．題型六：利用不等式、二次函數(shù)等方法解決離心率范圍綜合問題【例1】（2021全國卷乙卷）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例3】（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型專練】1.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知橢圓C：（）的左?右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．.3.（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測（理））已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，離心率為e，若在C上存在點(diǎn)P，使得，則的最小值是（