第18講 雙曲線離心率?？碱}型總結(jié)（解析版）

第18講雙曲線離心率常考題型總結(jié)【知識(shí)點(diǎn)梳理】橢圓的離心率，【題型目錄】題型一：利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)求離心率的值題型二：雙曲線的離心率范圍范圍問(wèn)題題型三：橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)離心率之間的關(guān)系（利用定義或者焦點(diǎn)三角形面積公式）題型四：利用中點(diǎn)弦公式（點(diǎn)差法）求離心率【典型例題】題型一：利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)求離心率的值【例1】（2022·安徽省臨泉第一中學(xué)高二期末）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及幾何性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積直接可得離心率.【詳解】，則，又因?yàn)?，，即，所以，，所以，則，故選：B.【例2】（云南省三校2023屆高三上學(xué)期高考備）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)且垂直于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由題可得，從而可建立方程，即可得出雙曲線的離心率.【詳解】由題可得，代入雙曲線，解得，又，∴，即，，，，，.故選：A【例3】（2022·陜西省安康中學(xué)高三階段練習(xí)（文））設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】C【分析】判斷M點(diǎn)位置，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為A，可得，，設(shè)，利用勾股定理表示出，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，即可求得a,c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.【詳解】因?yàn)?則，M在雙曲線右支上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為A，則A為的中點(diǎn)，所以，，設(shè)，則，故在中，.在Rt中，，則，即.因?yàn)?，則，所以，即，所以，故選：C.【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，，是右支上的兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．若，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)得，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理可得解.【詳解】由題意得，設(shè)，則，，，，在中，由勾股定理得，解得，則，，在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，所以的離心率，故選：A.【例5】（2022·全國(guó)·長(zhǎng)垣市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】結(jié)合向量運(yùn)算、雙曲線的定義建立等量關(guān)系式，利用直線的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接.易知，所以，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.設(shè)，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以，，所以離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】求雙曲線離心率的方法有：（1）直接法：利用已知條件將求出，從而求得離心率；（2）方程法：利用已知條件列出關(guān)于或的方程，化簡(jiǎn)求得離心率.【例6】（2022·江蘇南通·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，四邊形的面積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知四邊形為矩形，利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義可得出，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】由已知，所以，，，所以，，可得，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，所以，，由雙曲線的對(duì)稱性可知，四邊形為矩形，所以，，所以，，故該雙曲線的離心率為.故選：A.【例7】（2022·陜西安康·高二期末（理））已知雙曲線C：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，A為C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓的對(duì)稱性，并聯(lián)立漸近線方程求、坐標(biāo)，結(jié)合已知易得，根據(jù)得到齊次方程求參數(shù)關(guān)系，即可得離心率.【詳解】設(shè)以為直徑的圓的方程為，且、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，解得或，∴，．∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴．故選：D【例8】（2022·遼寧·高三期中）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若＝0，則C的離心率為（

）A． B．＋1 C．3 D．2【答案】D【分析】本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，結(jié)合已知條件得出、以及直線的方程為，然后聯(lián)立直線的方程與漸近線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)以及離心率計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)?，，是中點(diǎn)，所以是中點(diǎn)，，，，因?yàn)橹本€是雙曲線的漸近線，所以，，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，整理得，因?yàn)?，所以，，故選：D.【例9】（2022·浙江·溫嶺中學(xué)高二期末多選）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)作圓的切線與交于?兩點(diǎn)，且，則的離心率可以為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)過(guò)的切線與圓相切于點(diǎn)，從而可求得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)求得，在中，可求得，利用雙曲線的定義可得的關(guān)系，再由離心率公式求解即可，當(dāng)直線與雙曲線交于同一支時(shí)，同理可求得離心率【詳解】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)過(guò)的切線與圓相切于點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，所以∥，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，為銳角，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，所以離心率為，當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，記切點(diǎn)為，連接，則，過(guò)作于，則，所以，因?yàn)?，所以為銳角，所以，所以，，所以,所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以離心率為，綜上，雙曲線的離心率為或，故選：BD【例10】（2022·江西南昌·三模（理））已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由重心坐標(biāo)求得I的坐標(biāo)，再利用圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義得到G的坐標(biāo)，再根據(jù)與軸平行，由求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，則，由圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義得，所以，則，因?yàn)榕c軸平行，所以，即，則，即，解得，故選：B【題型專練】1.（2022·福建·泉州市城東中學(xué)高二期中）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)圖形，利用圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，根據(jù)題設(shè)得到的等量關(guān)系，算出雙曲線的離心率．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為，漸近線方程為，所以點(diǎn)到漸近線的距離為，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以離心率．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C．2.（2022·河北保定·高一階段練習(xí)）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：B3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，一條漸近線為，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由雙曲線定義可得，根據(jù)平行關(guān)系可知，由余弦定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】設(shè)，則點(diǎn)位于第四象限，由雙曲線定義知：，；設(shè)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線的傾斜角為，則，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故選：C.4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線C有一個(gè)交點(diǎn)P，設(shè)的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形勾股定理及面積公式列式，再結(jié)合雙曲線定義即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，令，，則有，由得：，即有，而，所以.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關(guān)系．5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線與圓相切于點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合雙曲線定義可得，在中利用勾股定理即可求出.【詳解】由題可得，因?yàn)椋?，則在中，，即，即.故選：A.6．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知雙曲線

=1的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作一條漸近線的垂線垂足為M，若與另一條漸近線交于點(diǎn)，且滿足5，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作圖，利用圖中的直角三角形和雙曲線的幾何關(guān)系求出a與b的關(guān)系即可.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，M點(diǎn)在第一象限，則，則，漸近線的方程為，，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，，因?yàn)椋?，∴，，，因?yàn)閤軸平分∠MON，

所以，又因?yàn)?，所以，即，得，設(shè)C的離心率為e，則，所以；故選：A.7．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及兩向量垂直數(shù)量積為得出為等腰直角三角形，再利用雙曲線的定義列出方程組，求出、和的長(zhǎng)，進(jìn)而利用幾何關(guān)系列出關(guān)于離心率的齊次式求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易知，，，又為的中點(diǎn)，，，，為等腰直角三角形，設(shè)，由雙曲線的定義知，解得，，又，.在中，，，，化簡(jiǎn)得，即，又，.故答案為：.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】聯(lián)立直線方程可得點(diǎn)，的坐標(biāo)，結(jié)合，可得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線為，若過(guò)的直線與直線垂直，垂足為，直線與直線交于，，因?yàn)?，所以在，之間，如圖所示，直線的方程為，由，得，由，得，由，可得，所以，所以，所以雙曲線的離心率．同理，過(guò)的直線與直線垂直時(shí)，雙曲線的離心率．綜上所述，雙曲線的離心率為，故答案為：.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是________．【答案】【分析】連接，，結(jié)合雙曲線定義及余弦定理解三角形，可得離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，由條件可得，則，，，所以，即，即，所以雙曲線的離心率為：，故答案為.10．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，是雙曲線的左?右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先由中位線結(jié)合求得，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，求得，即可求出離心率.【詳解】易得是線段的中點(diǎn)，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，又，則，作軸于點(diǎn)，又，則，則，代入可得，解得，故離心率為.故選：A.題型二：雙曲線的離心率范圍范圍問(wèn)題【例1】設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn)，若有且只有一對(duì)相較于點(diǎn)、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則由作圖易知雙曲線的漸近線的離心率必須滿足，∴，，既有，又雙曲線的離心率為，∴．【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C中第一象限上的一點(diǎn)，的平分線與x軸交于Q，若，則雙曲線的離心率范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，利用三角形的三邊關(guān)系以及雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，離心率為，由，則，，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以,又因?yàn)?，所以，所以，解得，即，所以雙曲線的離心率取值范圍為.故選：B【例3】（2022四川成都七中高三開學(xué)考試（理））已知雙曲線，，是實(shí)軸頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，是虛軸端點(diǎn)，若在線段BF上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】將題意轉(zhuǎn)化為以，為直徑的圓與線段BF有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合列不等式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】以，為直徑的圓與線段BF有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，，解得；且圓心到直線BF：的距離，化簡(jiǎn)得，所以，，又，解得，所以雙曲線離心率的取值范圍是．故選：B【例4】（2022河南高三開學(xué)考試（文））已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線定義，變形后由基本不等式得最小值，從而得，再利用雙曲線中的范圍有，由此結(jié)合可得離心率的范圍．【詳解】，是左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，所以，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，又點(diǎn)是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以，即，.故選：C．【例5】（2022·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】由可得，記∠PF1F2=α，利用正弦定理結(jié)合雙曲線及離心率的定義，利用分比定理以及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)離心率.然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)得到離心率的取值范圍，進(jìn)而做出判定.【詳解】∵，則離心率，則排除A；記，，，則，由正弦定理結(jié)合分比定理可知：，則，所以B，C是正確的，D不正確.故選：BC.【題型專練】1．2022·江西上饒·高二期末（文））已知雙曲線的焦距為為其左右兩個(gè)焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與漸近線平行，若l上存在第一象限的點(diǎn)P滿足，則雙曲線C離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析滿足的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)此軌跡與直線l有交點(diǎn)，結(jié)合漸近線的性質(zhì)求解即可；【詳解】因?yàn)闈M足的所有點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的雙曲線，即上.故若l上存在第一象限的點(diǎn)P滿足，則雙曲線與直線l有交點(diǎn)即可.又直線，數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)或的經(jīng)過(guò)一象限的漸近線的斜率即可，兩種情況均有，故，故離心率故選：A2.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線：的右焦點(diǎn)為，雙曲線的一條漸近線為，以為圓心的圓與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【分析】取直線的方程為，過(guò)點(diǎn)作于，則有，為等腰直角三角形，所以,,,由，可得，即可得，即可得出離心率的取值范圍.【詳解】解：由題可知，點(diǎn)，如圖所示，不妨取直線的方程為，過(guò)點(diǎn)作于，則到直線的距離，，且，為等腰直角三角形，，，，，，，，即，離心率，令，，則，即]，．故答案為：.3.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為A．若△OAF（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，雙曲線的離心率，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)△OAF的面積得到，然后利用離心率的取值范圍得到關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】取雙曲線的一條漸近線為，即.則到漸近線的距離即，，，即.又，，易得，即，解得.故選：B.4.（2022·山西·模擬預(yù)測(cè)（理））雙曲線的右頂點(diǎn)為在軸上，若上存在一點(diǎn)（異于點(diǎn)）使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則由已知可得點(diǎn)的軌跡方程為，與雙曲線方程聯(lián)立可求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，由題意知點(diǎn)在雙曲線的右支上，，化簡(jiǎn)可得，從而可求出離心率的取值范圍【詳解】設(shè)，∵，點(diǎn)的軌跡方程為.聯(lián)立得，解得（舍去），，由題意知點(diǎn)在雙曲線的右支上，即，故，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，故選：D.5.（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作軸的垂線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.【答案】【分析】表達(dá)出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量數(shù)量積列出不等式，求出離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，不妨設(shè)，則，即，不等式兩邊同除以得：，解得：故答案為：6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，則的取值范圍為______，的取值范圍為______．【答案】

【分析】由雙曲線的漸近線的斜率小于，即可得出,由此即可求出、的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的焦距分別為，，由題意，得雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以，．故答案為：；題型三：橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)離心率之間的關(guān)系（利用定義或者焦點(diǎn)三角形面積公式）【例1】（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線離心率倒數(shù)之和的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)，，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，因是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則由余弦定理可得：……①在橢圓中，由定義知，①式化簡(jiǎn)為：……②在雙曲線中，由定義知，①式化簡(jiǎn)為：……③由②③兩式消去得：，等式兩邊同除得，即，由柯西不等式得，.故選：B【例2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為M，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由條件得出為等腰直角三角形，即可得出橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸，長(zhǎng)半焦距的關(guān)系，從而得出橢圓的離心率；然后在焦點(diǎn)三角形中，利用余弦定理得出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為，半焦距為的關(guān)系，從而得出雙曲線的離心率，依次對(duì)選項(xiàng)驗(yàn)證即可。【詳解】因?yàn)?，且，所以為等腰直角三角形．設(shè)橢圓的半焦距為，則，所以，則．在中，，設(shè)，，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，則（在中，由余弦定理可得），故，故，又，所以，即，故，，，，選BD．故選：BD【題型專練】1.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)多選）已知橢圓與雙曲線有共同的左右焦點(diǎn)，，設(shè)橢圓和雙曲線其中一個(gè)公共點(diǎn)為P，且滿足，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則關(guān)于和，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】假設(shè)點(diǎn)P在第一象限，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)分別為，半焦距為c，根據(jù)定義可知，進(jìn)而解出，再由勾股定理得到間的關(guān)系，進(jìn)而求得答案.【詳解】根據(jù)橢圓和雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)分別為，根據(jù)題意，，聯(lián)立方程組解得：,而，則，于是，由基本不等式，易知，所以.故選：AC.2.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)多選）已知橢圓與雙曲線，有公共焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)），（右焦點(diǎn)），且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若△是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A由已知共焦點(diǎn)及橢圓、雙曲線參數(shù)的關(guān)系判斷；B、C由橢圓、雙曲線的定義可得，而，即可判定；D記，應(yīng)用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判斷.【詳解】設(shè)，的焦距為，由，共焦點(diǎn)知：，故A正確；△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B錯(cuò)；由且，易得，故C正確；在△中，記，根據(jù)定義．由余弦定理有．整理得，兩邊同時(shí)除以，可得，故．將代入，得．故D正確故選：ACD．3．（2022·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知F是橢圓：（）的右焦點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，雙曲線：（，）與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)直線與的一條漸近線平行，得到，再結(jié)合雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：設(shè)的半焦距為c（），則，又，所以，又直線與的一條漸近線平行，所以，所以，所以，所以，所以