第二章-§2.2-第3課時(shí)-函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題

第3課時(shí)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題題型一函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例1(1)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b>a>c B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b答案C解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx＋ex為增函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，a＝f(－π)＝f(π)，又π>3>log23>1>2－0.2>0，∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)，∴a>b>c.(2)(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示．當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x>0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．[高考改編題]若函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(x－1)≥0的x的取值范圍是______，滿足eq\f(fx,x)<0的x的取值范圍是______．答案[－1,1]∪[3，＋∞)(－2,0)∪(0,2)解析由函數(shù)f(x)的性質(zhì)，作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，∵f(x－1)≥0，則－2≤x－1≤0或x－1≥2，解得－1≤x≤1或x≥3.當(dāng)eq\f(fx,x)<0時(shí)，xf(x)<0，即f(x)的圖象在二、四象限，即－2<x<0或0<x<2.思維升華解決不等式問(wèn)題，一定要充分利用已知條件，一是把已知不等式化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用單調(diào)性解不等式；二是利用函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出f(x)的圖象，利用圖象解不等式．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)滿足以下兩個(gè)條件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；②對(duì)定義域內(nèi)任意x有f(x)＋f(－x)＝0，則符合條件的函數(shù)是()A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)答案C解析由①知f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由②知f(x)為奇函數(shù)．(2)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))解析依題意有f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴|2x－1|<eq\f(1,3)，即－eq\f(1,3)<2x－1<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).題型二函數(shù)的奇偶性與周期性例2(1)(2021·德州聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，則f(2023)等于()A．20192B．1C．0D．－1答案D解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則f(2023)＝f(－1＋2024)＝f(－1)，又函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，且x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x2，則f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(2023)＝－1.(2)(多選)(2021·濟(jì)南模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，則()A．f(2019)＝f(2017) B．f(2019)＝f(2020)C．f(2020)<f(2019) D．f(2020)>f(2018)答案AC解析因?yàn)閒(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以f(x)是以8為周期的函數(shù)，則f(2017)＝f(1)，f(2018)＝f(2)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(2019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，f(2020)＝f(4)＝－f(0)＝0，又因?yàn)閒(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，所以f(2)>f(1)>f(0)＝0，即f(2019)＝f(2017)，f(2020)<f(2019)．思維升華已知函數(shù)的周期性、奇偶性求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所有函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝f(x)，則f(2020)＋f(2021)＝________.答案0解析依題意f(x)為奇函數(shù)，且周期為2，∴f(2020)＋f(2021)＝f(0)＋f(1)，∵f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又周期為2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②解得f(1)＝f(－1)＝0，∴f(2020)＋f(2021)＝0.(2)已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，2)解析∵f(x)為偶函數(shù)，且周期為3，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，∴f(5)＝2a－3<1，即a<2.題型三函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性例3(1)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且滿足f(4－x)＝－f(x)，則f(x)的周期為()A．－4B．2C．4D．6答案C解析∵f(4－x)＝－f(x)，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，∴f(－x)＝－f(x＋4)，又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)．∴T＝4.(2)函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，f(1)＝4，則f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值為_(kāi)_______．答案4解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4.所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2020)＋f(2022)＝f(2020)＋f(2020＋2)＝f(2020)＋f(－2020)＝f(2020)－f(2020)＝0，所以f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4.思維升華由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)的性質(zhì)，一種思路是按奇偶性、對(duì)稱(chēng)性的定義，可推導(dǎo)出周期性，二是可利用奇偶性、對(duì)稱(chēng)性畫(huà)草圖，利用圖象判斷周期性．跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)滿足f(x－1)為奇函數(shù)，f(x＋1)為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是_______．(填序號(hào))①f(x)的周期為8；②f(x)關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱(chēng)；③f(x)為偶函數(shù)；④f(x＋7)為奇函數(shù)．答案①②④解析∵f(x－1)為奇函數(shù)，∴f(x－1)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng)，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱(chēng)，又f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱(chēng)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)和直線x＝1對(duì)稱(chēng)，∴f(x)的周期為8，∴①②正確，③不正確．∵T＝8，∴f(x＋7)＝f(x－1)，又f(x－1)為奇函數(shù)，∴f(x＋7)為奇函數(shù)，故④正確．題型四函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性例4(多選)已知f(x)的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－3對(duì)稱(chēng)，且f(x＋3)＝f(x－3)，若當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)＝4x＋2x－11，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)為偶函數(shù)B．f(x)在[－6，－3]上單調(diào)遞減C．f(x)關(guān)于x＝3對(duì)稱(chēng)D．f(100)＝9答案ACD解析f(x)的圖象關(guān)于x＝－3對(duì)稱(chēng)，則f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，則f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)＝4x＋2x－11單調(diào)遞增，∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也單調(diào)遞增，故B不正確；f(x)關(guān)于x＝－3對(duì)稱(chēng)且T＝6，∴f(x)關(guān)于x＝3對(duì)稱(chēng)，故C正確；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正確．思維升華函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練4函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x＋log2x，則f(－80)，f(－25)，f(11)的大小關(guān)系為_(kāi)_______．答案f(－25)<f(－80)<f(11)解析依題意，f(x)的周期為8，且f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞增，又f(－80)＝f(0)，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，∴f(－1)<f(0)<f(1)．即f(－25)<f(－80)<f(11)．課時(shí)精練1．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x≠0)是()A．奇函數(shù)，且在(0,3)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,3)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,3)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,3)上是減函數(shù)答案B解析因?yàn)閒(－x)＝－x＋eq\f(9,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(9,x)))＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(9,x)為奇函數(shù)．又f′(x)＝1－eq\f(9,x2)，在(0,3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0,3)上是減函數(shù)．2．f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x＋5)＝f(x)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(16)的值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)答案A解析∵f(x＋5)＝f(x)，∴T＝5，∴f(16)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝eq\f(1,2).3．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(lnx)<f(2)，則x的取值范圍是()A．(0，e2) B．(e－2，＋∞)C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)答案D<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范圍是(e－2，e2)．4．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x都有f(x＋2)＝eq\f(13,fx)且f(2)＝2，則f(2020)的值為()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(2,13)D.eq\f(13,2)答案D解析∵f(x＋2)＝eq\f(13,fx)，∴f(x＋4)＝eq\f(13,fx＋2)＝eq\f(13,\f(13,fx))＝f(x)，∴T＝4，f(2020)＝f(4)＝eq\f(13,f2)＝eq\f(13,2).5．(多選)(2020·濟(jì)南模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)，則()A．f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為周期函數(shù)C．f(x＋3)為奇函數(shù) D.f(x＋4)為偶函數(shù)答案ABC解析由f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)，(2,0)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(2－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2為周期的函數(shù)．所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－3,0)，(－2,0)，(－1,0),(0,0)對(duì)稱(chēng)．所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)都是奇函數(shù)．6．(多選)(2020·全國(guó)Ⅲ改編)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四個(gè)命題，其中為真命題的是()A．f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱(chēng)D．f(x)的最小值為2答案BC解析∵f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋eq\f(1,sin－x)＝－sinx－eq\f(1,sinx)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤，B正確．∵f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cosx＋eq\f(1,cosx)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝cosx＋eq\f(1,cosx)，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱(chēng)，故C正確．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))時(shí)，f(x)<0，故D錯(cuò)誤．7．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，且f(x)∈[－2,4]，那么，當(dāng)x∈[－3，－1]時(shí)，f(－3)＝________，f(x)max＝________.答案－24解析偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴f(－3)＝f(3)＝－2，∴f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝4.8．f(x)為R上的奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)＝0，則不等式xf(－x)<0的解集為_(kāi)_______．答案(－1,0)∪(0,1)解析不等式xf(－x)<0可化為xf(x)>0，畫(huà)出f(x)的圖象如圖所示，∴xf(x)>0的解集為(－1,0)∪(0,1)．9．已知f(x)的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－4，－1]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.答案216解析由f(x＋4)＝f(x－2)，得f(x＋6)＝f(x)．故f(x)是周期為6的函數(shù)．所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)，所以f(1)＝f(－3)．又x∈[－4，－1]時(shí)，f(x)＝6－x，所以f(－3)＝6－(－3)＝216.從而f(1)＝216，故f(919)＝216.10．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，f(x)＝|x－3|，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝________.答案0解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.11．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)，f(2)，f(3)的值；(2)f(2021)＋f(－2022)的值．解(1)f(0)＝log21＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(2)依題意得，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)是以4為周期的函數(shù)．因此，f(2021)＋f(－2022)＝f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2021)＋f(－2022)＝1.12．已知g(x)為偶函數(shù)，h(x)為奇函數(shù)，且滿足g(x)－h(huán)(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，求實(shí)數(shù)m的最大值．解因?yàn)間(x)－h(huán)(x)＝2x，①所以g(－x)－h(huán)(－x)＝2－x.又g(x)為偶函數(shù)，h(x)為奇函數(shù)，所以g(x)＋h(x)＝2－x，②聯(lián)立①②，得g(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，h(x)＝eq\f(2－x－2x,2).由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤eq\f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq\f(4x－1,4x＋1)＝1－eq\f(2,4x＋1).因?yàn)閥＝1－eq\f(2,4x＋1)為增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,4x＋1)))max＝1－eq\f(2,4＋1)＝eq\f(3,5)，所以m≤eq\f(3,5)，即實(shí)數(shù)m的最大值為eq\f(3,5).13．(2021·安徽江南十校質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍為()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)答案C解析由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，兩邊平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得eq\f(1,3)<x<1.所以符合題意的x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).14．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－2，x≤0，,fx－2＋1，x>0，))則f(2021)＝________.答案1011解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(x－2)＋1，則f(2021)＝f(2019)＋1＝f(2017)＋2＝…＝f(1)＋1010＝f(－1)＋1011,而f(－1)＝0，故f(2021)＝1011.15．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增．若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.答案－8解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為8.又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間[－2,0]上也單調(diào)遞增，作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1<x2<x3<x4，由對(duì)稱(chēng)性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.16．對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y＝f(x)，如果存在區(qū)間[m，n]?D，同時(shí)滿足：①f(x)在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f(x)的值域也是[m，n]，則稱(chēng)[m，n]是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”．(1)求證：[0,2]是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”；(2)求證：函數(shù)g(x)＝4＋eq\f(6,x)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；(3)已知函數(shù)y＝h(x)＝eq\f(a2＋