高數(shù)二下練習題答案全部

..高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______反常積分、定積分應用〔一〕1、求無窮限積分〔〕。(過程略)2、求瑕積分。3、求由曲線與所圍成圖形的面積。求由曲線和直線，所圍成的平面圖形的面積?；颉舱堊约寒嫴輬D，體會兩種不同的求法〕5、拋物線與其在點和處的切線所圍成的圖形的面積。解：過點的切線方程為，而過處的切線方程為故求的兩切線交點為，那么所要求圖形的面為：6、設橢圓的參數(shù)方程為，求橢圓的面積。解：由橢圓的對稱性，橢圓的面積可表示為：〔簡單的計算過程略，希望同學們自行補充完成〕7、在上給定函數(shù)，問取何值時，右圖中曲邊三角形OACO與ADBA的面積之和最??？何時最大？高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______定積分應用〔二〕求由曲線和圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：分別求由曲線,及軸所圍成的圖形繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積求由曲線和直線、所圍成的平面圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積4、求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積?！矃⒖颊n本第214頁〔4〕的〔6.37〕的做法，注意是按圓環(huán)體來分隔〕解：圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積5、一拋物線過軸上的兩點：〔1〕求證：兩坐標軸與該拋物線所圍圖形的面積等于軸與該拋物線所圍圖形的面積?！?〕計算上述兩個平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的兩個旋轉(zhuǎn)體的體積。略?！灿捎跊]給出拋物線二次項的系數(shù)a，此題大家可以隨意選個非零的a來做〕求由曲線,，所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：〔注意旋轉(zhuǎn)體界面圓的半徑是〕設某產(chǎn)品的邊際本錢〔萬元/臺〕其中表示產(chǎn)量，固定本錢為〔萬元〕，邊際收益〔萬元/臺〕，求：〔1〕總本錢函數(shù)和總收益函數(shù)；〔2〕獲得最大利潤時的產(chǎn)量；〔3〕從最大利潤時的產(chǎn)量又生產(chǎn)了4臺，總利潤的變化。解：總本錢函數(shù)為總收益函數(shù)為；由〔1〕，利潤函數(shù)為當可求得駐點為，而，因此當產(chǎn)量x=6臺時，獲得最利潤；〔略〕高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______定積分綜合一、選擇題1、設函數(shù)在[]上連續(xù)，那么曲線與直線所圍成的平面圖形的面積等于〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、設，，，那么(D)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、設連續(xù)，，那么(B)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、以下結果正確的選項是(B)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、設，那么在上(B)〔A〕單調(diào)增加〔B〕單調(diào)減少〔C〕有增有減〔D〕無界6、設是連續(xù)函數(shù)，那么=(A)〔A〕0〔B〕1〔C〕〔D〕假設是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，那么是(B)〔A〕奇函數(shù)〔B〕偶函數(shù)〔C〕非奇非偶函數(shù)〔D〕既奇既偶函數(shù)8、以下反常積分發(fā)散的有(C)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、以下反常積分收斂的有(D)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10、由曲線，〔，〕及直線，所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積是(B)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題1、利用定積分的幾何意義，填寫以下定積分的結果：(1)=(2)-42、利用定積分的性質(zhì)，填寫以下各題：(1)651(2)3、設，那么=。4、在上連續(xù)，且，且設，那么-2。5、設由所確定，那么=。6、設為連續(xù)函數(shù)且滿足，那么。7、求以下定積分(1)=(2)(3)13(4)(5)0(6)(7)=0(8)=28、假設反常積分收斂，>1。9、某廠生產(chǎn)的邊際本錢函數(shù)，且固定本錢，那么總本錢函數(shù);當產(chǎn)量由2個單位增至4個單位時，總本錢的增量是。高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______一階微分方程1、求的通解。解：原方程可化為積分，得〔其中C’為任意常數(shù)〕令，不難看出C為任意常數(shù)，故，方程的通解為〔C為任意常數(shù)〕求微分方程，滿足的特解。解：原方程可化為積分得(其中C’為任意常數(shù))即，令，不難看出C為任意常數(shù)，故原微分方程通解可表示為：，其中C為任意常數(shù)，當時，故滿足條件的方程的特解為3、求微分方程的通解。解：方程可化為：所以微分方程的通解。解：當x>0時，原微分方程可等價為齊次微分方程設那么有對應的通解為即〔其中C為任意常數(shù)〕當x<0,易得原微分方程的通解為同樣的形式。綜上所述，微分方程的通解為〔其中C為任意常數(shù)〕求微分方程，滿足的特解。解：令，那么原微分方程變?yōu)榉e分得即〔其中C為任意常數(shù)〕由初始條件，代入上式，可求得C=2，所以原微分方程在此初始條件下的特解為求微分方程的通解。解：易知原微分方程對應的齊次微分方程可表示成其通解為〔其中C為任意常數(shù)〕由常數(shù)變易法，令原微分方程的通解形式為，那么，代入原微分方程，得，積分得(其中C為任意常數(shù))。于是，所求微分方程的通解為〔其中C為任意常數(shù)〕設為連續(xù)函數(shù)，由所確定，求。解：對積分方程兩邊求導數(shù)得，即且當時，代入上方程得故8、巳知生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定本錢是，生產(chǎn)單位的邊際本錢與平均單位本錢之差為：，且當產(chǎn)量的數(shù)值等于時，相應的總本錢為，求總本錢與產(chǎn)量的函數(shù)關系。高等數(shù)學II練習題二階微分方程1、求方程的通解。解：特征方程為，得特征根為所以方程的通解2、求微分方程的通解，其中常數(shù)。解：特征方程為：，求得特征根所以方程的通解3、求方程，，的特解。解：特征方程為，解得特征根為所以方程的通解為把，代入上二式，得故所求方程滿足條件的解為4、求微分方程的一個特解。5、求微分方程的通解。6、設函數(shù)求微分方程滿足初始條件的特解。高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______微分方程綜合一、選擇題1、以下各微分方程中為一階線性微分方程的是〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、滿足方程的解是〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、，是方程的解，那么(為任意常數(shù))〔B〕〔A〕是方程的通解〔B〕是方程的解，但不是通解〔C〕是方程的一個特解〔D〕不一定是方程的解．4、具有特解，的二階常系數(shù)齊次線性方程是〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、微分方程，，的特解是〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、微分方程的一個特解應具有形式〔式中為常數(shù)〕〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7、微分方程的特解應設為〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8、設微分方程有特解，那么它的通解是〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題1、微分方程的通解是2、微分方程，滿足的特解為3、微分方程的通解為4、微分方程的通解是5、微分方程的通解是6、具有特解和的二階常系數(shù)齊次線性方程為7、設為某方程的通解，其方程為8、方程的特解可設為.9、方程的特解可設為.10、方程的特解可設為.11、方程的特解可設為.注意:特解的表達式里面出現(xiàn)的常數(shù)，可說成"其中。。。。為常數(shù)〞或者"其中。。。。為待定常數(shù)〞兩者都可以。高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______空間解析幾何、多元函數(shù)概念和性質(zhì)一．選擇題1、方程表示〔D〕〔A〕平面〔B〕柱面〔C〕球〔D〕拋物面2、函數(shù)的定義域〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、設，且當時，那么=〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、假設，那么=〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二．填空題1、方程表示表示空間的準線是xOy平面上的半徑為，原點為圓心的圓，母線平行于Oz軸的圓柱面2、假設一球面以點為球心且過原點，那么其方程為3、球面：的球心是點___________，半徑_____4_____；4、的定義域5、設函數(shù)，那么6、，那么=7、，那么三．計算題1、解：當時，那么原式＝22、解：原式＝3、解：原式＝＝(注意：如何應用變量替換法，把二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的情形，利用一元函數(shù)的常見的等價無窮小來計算！考慮下什么情形下是平安的！)高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______多元函數(shù)導數(shù)及微分1、設函數(shù)，求。解：求函數(shù)的全微分。解：由全微分公式那么3、設，而，，求。解：由鏈式法那么，〔注意，最后的答案應寫成u,v的形式，因要求的表達式默認是u，v的函數(shù)！〕設，求及。解：由z=z(x,y),原方程兩邊對x求偏導數(shù)對y求偏導數(shù)整理可求得因此故z的全微分可表示為：＝設，而，，求。解：(要特別注意上面式子z在不同地方表示不同自變量的函數(shù)，如t的函數(shù)，x,y的函數(shù)；這是把原來z是t的一元函數(shù)表示成z是二元函數(shù)的復合函數(shù)的情形)設，求，其中有二階偏導數(shù)。解：〔注：下標1,2的表示對應的偏導數(shù)，參見課本p251例7.25〕7、設，求。解法一：方程兩邊對x求偏導數(shù)整理得上式兩邊對x求偏導數(shù)8、設由所確定的函數(shù)，求。解：方程兩邊對x求偏導整理得因此高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______多元函數(shù)極值和最值求函數(shù)的駐點。解：解方程得駐點求函數(shù)的極值點。解：由得駐點，,,求二階偏導數(shù)對點:故(1/3,1/3)為極大值點。對點:，不是極值點.對點(0,1)和點(1,0)，，故(0,1)和(1,0)都不是極值點；3、求的極值。解法1〕：由得駐點計算二階偏導數(shù)對應地，，，故(0,0)是極大值點，極大值為(2,2)是極小值點，極小值為.解法2〕：解：駐點為在處，，為極大值點，在處，不是極值點在處，不是極值點在處，，為極小點，4、設生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要甲、乙兩種原料，甲種原料的價格為2，乙種原料的價格為1，而用單位的甲種原料和y單位的乙種原料可生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為，假設該產(chǎn)品的單位價格為5，試求最大利潤．解：收入本錢利潤＝，，，，故最大利潤為5、工廠的同一種產(chǎn)品分銷兩個獨立市場．兩個市場的需求情況不同，設價格函數(shù)分別為，，廠商的總本錢函數(shù)為，,工廠以最大利潤為目標，求投放每個市場的產(chǎn)量，并確定此時每個市場的價格．解：總收入：總利潤：＝，不難驗證(8,2)為最大利潤對應的極值點某廠為促銷產(chǎn)品需作兩種手段的廣告宣傳．當廣告費分別為，時，銷售量，假設銷售產(chǎn)品所得利潤，兩種手段的廣告費共25(千元)，問如何分配兩種手段的廣告費才能使利潤最大？解：作函數(shù)求偏導得兩種廣告分別為15〔千元〕和10〔千元〕的時候使得利潤最大高等數(shù)學II練習題二重積分1、設區(qū)域D由所圍成，求。解：原式(X型累次積分)＝＝原式(Y型累次積分)＝2、設是由直線，及所圍成的平面區(qū)域，求。解：原式〔X型〕＝3、設區(qū)域由軸與曲線〔〕所圍成，求。解：原式〔Y型〕＝4、設，為正方形：，計算。解：原式(矩形區(qū)域)＝=5、求積分。解：把原式Y型的累次積分轉(zhuǎn)化為X型即原式＝6、設積分區(qū)域由，及所圍成，求。解：原式＝＝＝7、設積分區(qū)域為，求。解：令原式＝＝＝8、計算，其中由，所圍成。解：令原式＝高等數(shù)學II練習題多元函數(shù)微積分綜合一、選擇題1、設，那么=〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、假設，那么等于〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、設均為可微函數(shù)，那么〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、設積分區(qū)域是，那么=〔B〕〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕85、設平面區(qū)域由與兩坐標軸所圍成，假設，，，那么它們之間的大小順序為〔C〕〔A〕〔B〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕6、設是以為頂點的梯形所圍成的有界閉區(qū)域，是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，那么二重積分〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7、二次積分的另一種積分次序是〔A〕(A)(B〕(C)(D)8、的值等于〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、積分〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕積不出二、填空題1、設，那么=2、設，那么3、設，那么=4、設，那么=5、設，而，，那么=6、設，那么7、設是由與圍成的平面區(qū)域，假設，那么；假設積分區(qū)域是，那么=.8、假設區(qū)域由，圍成，那么二重積分化成先對，后對的二次積分為.9、=.10、設區(qū)域由，所確定，那么=0.11、改換積分的次序=12、化二次積分為極坐標的二次積分=高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______常數(shù)項級數(shù)1、求級數(shù)的和。解：級數(shù)的局部和，此級數(shù)的和即.2、判斷級數(shù)的斂散性。3、判斷級數(shù)的斂散性。4、判斷級數(shù)的斂散性。5、判斷級數(shù)的斂散性。6、判斷級數(shù)的斂散性，并求.7、判斷級數(shù)的斂散性。〔假設收斂是絕對收斂還是條件收斂〕解：由8、判斷級數(shù)的斂散性?！布僭O收斂是絕對收斂還是條件收斂〕高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______冪級數(shù)和函數(shù)的冪級數(shù)展開1、求級數(shù)的收斂域。求級數(shù)的收斂域。解：故級數(shù)收斂半徑為即當時，級數(shù)為，發(fā)散故級數(shù)收斂域為3、求級數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：由比值判別法可知當，即時，級數(shù)收斂，當或時，易知級數(shù)的收斂域為；又，逐項求導到4、求級數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：故級數(shù)收斂半徑為即當，級數(shù)為，發(fā)散；當，級數(shù)為，收斂；故級數(shù)的收斂域為而由得5、將函數(shù)展開為麥克勞林級數(shù)。6、將在點處展開為冪級數(shù)。7、將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。解：8、將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。高等數(shù)學II練習題________學院_______專業(yè)班級__________學號_______級數(shù)綜合一、選擇題1、假設級數(shù)收斂，記，那么〔B〕〔A〕〔B〕存在〔C〕可能不存在〔D〕為單調(diào)數(shù)列2、假設收斂，那么〔B〕〔A〕與必同時收斂〔B〕與可能同時收斂，也可能同時發(fā)散〔C〕必收斂〔D〕收斂，發(fā)散3、假設級數(shù)收斂于，那么收斂于〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、以下級數(shù)中，收斂的是〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、級數(shù)的收斂圍是(D)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、以下級數(shù)中，收斂的是〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7、在以下級數(shù)中，發(fā)散的是〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8、以下級數(shù)中，收斂的是〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、以下級數(shù)中發(fā)散的是