關于幾種行列式計算的注記

關于幾種行列式計算的注記

列方程出現(xiàn)在解線方程組。此外，它還廣泛應用于各種工程領域，如線性方程、矩陣、特征多項式等。這是一個不可缺少的工具。因此,行列式的計算具有十分重要的作用,對于n階行列式來說,大家熟悉的計算方法是由行列式的定義和性質得到的定義法、按行(列)展開定理、化三角形法、連加法及逐行(列)加減法。本文依據(jù)行列式元素間的規(guī)律總結了下面幾種比較特殊而且實用的計算方法。一、限制法加邊法是把等n階增加一行一列變?yōu)閚+1階行列式,然后再利用性質進行計算。例1計算二、+s1xnn,1+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+anxn+分解行列法的原理:如果行列式某行(列)是兩行(列)之和,將行列式分解為兩個行列式的和,然后再利用性質進行計算。例2計算Dn=|1+a1x12+a2x1?n+anx11+a1x22+a2x2?n+anx2???1+a1xn2+a2xn?n+anxn|Dn=∣∣∣∣∣∣1+a1x11+a1x2?1+a1xn2+a2x12+a2x2?2+a2xn???n+anx1n+anx2?n+anxn∣∣∣∣∣∣解:將行列式Dn分解為若干行列式的和,則當n>2時,每個行列式至少有兩列成比例,故Dn=0;當n=2時,D2=|1+a1x12+a2x11+a1x22+a2x2|=|1a2x11a2x2|+|a1x12a1x22|=(x1-x2)(2a1-a2).D2=∣∣∣1+a1x11+a1x22+a2x12+a2x2∣∣∣=∣∣∣11a2x1a2x2∣∣∣+∣∣∣a1x1a1x222∣∣∣=(x1?x2)(2a1?a2).當n=1時,D1=1+a1x1.三、dn—遞推法遞推法就是利用行列式的性質,把給定的n階行列式Dn用同樣形式的n-1(或更低)階行列式表示出來,得到遞推關系,再根據(jù)遞推關系式求出Dn的一般表示式。例3計算Dn=|a+bab00?001a+bab0?0001a+bab?00001a+b?00??????0000?a+bab0000?1a+b|Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+b100?00aba+b10?000aba+b1?0000aba+b?00??????0000?a+b10000?aba+b∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣解:將Dn按第一行展開,得Dn=(a+b)Dn-1-abDn=(a+b)Dn?1?ab(n-1)階=(a+b)Dn-1-abDn-2.把上式改寫成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)利用上述遞推關系,遞推得到Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=b2(Dn-2-aDn-3)=…=bn-2(D2-aD1).而D1=a+b?D2=|a+bab1a+b|=a2+ab+b2D1=a+b?D2=∣∣∣a+b1aba+b∣∣∣=a2+ab+b2,將它們代入上式,得Dn-aDn-1=bn,即Dn=aDn-1+bn再由此遞推關系锝Dn=aDn-1+bn=a(aDn-2+bn-1)+bn=a2Dn-2+abn-1+bn=?=an+an-1b+?+abn-1+bn={bn+1-an+1b-a,當a≠b時；(n+1)an+1,當a=b時.四、有大量積整除的因子分離線性因子法是把行列式看成含其中一個或多個字母的多項式,變換它,如果發(fā)現(xiàn)它可被一些線性因子所整除且這些線性因子互質,則它可被這些因子的積整除。例4計算Dn=|123?n1x+13?n12x+1?n????123?x+1|解:令f(x)=Dn,當i=1,2,…n-1時,f(i)=0,即(x-1),(x-2),…(x-n+1)是f(x)的因子且它們互質,故n-1∏i=1(x-i)是f(x)的因子,比較xn-1的系數(shù)知f(x)=n-1∏i=1(x-j)=Dn.五、規(guī)則an及一個假設a構造法是根據(jù)題設條件構造一個新行列式,然后再利用性質進行計算。例5計算Dn=|1a1a21?an-21an11a2a22?an-22an21a3a23?an-23an3?????1an-1a2n-1?an-2n-1ann-11ana2n?an-2nann|解:構造線性方程組{x1+a1x2+a21x3+?+an-11xn=an1x1+a2x2+a22x3+?+an-12xn=an2x1+a3x2+a23x3+?+an-13xn=an3????x1+an-1x2+a2n-1x3+?+an-1n-1xn=ann-1x1+anx2+a2nx3+?an-1nxn=ann①(1)當a1,a2,…,an中有兩個相等時,顯然Dn=0.(2)當a1,a2,…,an互不相等時,由范德蒙行列式知,方程組①的系數(shù)行列式D=Ⅱi＜j(aj-ai)≠0方程組有唯一解,其中xn=DnD,∴Dn=xnD②再作n次方程tn