線性代數(shù)教學(xué)的困境與對(duì)策

線性代數(shù)教學(xué)的困境與對(duì)策

線性代碼是19世紀(jì)末的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。這是大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。應(yīng)該由現(xiàn)代大學(xué)的經(jīng)濟(jì)、管理、工程、計(jì)算和其他專(zhuān)業(yè)支持。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的普及,也已日益顯出了該課程的重要性。因此,其教學(xué)效果對(duì)提升學(xué)生的綜合素質(zhì)至關(guān)重要。線性代數(shù)具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性與廣泛的實(shí)用性,由于這些特點(diǎn),在教學(xué)上還存在若干困難,需要給出可行的對(duì)策。1線性代數(shù)內(nèi)容共享的必要性受現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理化思潮的影響,經(jīng)典線性代數(shù)主要是按照“由定義到定理”的方式層層推進(jìn)構(gòu)建起來(lái)的一個(gè)自洽的知識(shí)體系,與高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)相比,線性代數(shù)課程的顯著特點(diǎn)是內(nèi)容抽象、體系獨(dú)立。在傳統(tǒng)教學(xué)中,正是這兩大特點(diǎn),造成了實(shí)際教學(xué)的主要障礙。因其抽象性,使得線性代數(shù)內(nèi)容晦澀難懂,導(dǎo)致了學(xué)生接受上的困難;因其獨(dú)立性,沖淡了線性代數(shù)理論的實(shí)用價(jià)值,使之越發(fā)顯得枯燥乏味,影響了學(xué)習(xí)積極性。兩者相較,后一問(wèn)題尤其突出。長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐表明,為了切實(shí)提高線性代數(shù)的教學(xué)效果,使學(xué)生真正掌握這一數(shù)學(xué)工具,而不滿足于記住一些機(jī)械的計(jì)算程序和莫名其妙的定義定理,必須要針對(duì)上述兩大障礙給出對(duì)治之方,亟需進(jìn)行教育改革。近年來(lái),教育界關(guān)于線性代數(shù)的教學(xué)教材改革,主要是圍繞著如何克服上述兩大問(wèn)題而展開(kāi)的,根據(jù)角度的不同,不妨分別稱(chēng)之為線性代數(shù)教學(xué)的幾何化改革和應(yīng)用化改革。2線性代數(shù)的幾何教學(xué)2.1線性代數(shù)、解析幾何的結(jié)合?為了克服線性代數(shù)內(nèi)容的抽象性,最可行的途徑就是將它與解析幾何結(jié)合起來(lái),實(shí)行合并教學(xué)。眾所周知,解析幾何為線性代數(shù)提供了直觀背景,線性代數(shù)為解析幾何提供了研究工具。事實(shí)上,線性代數(shù)的許多概念都存在幾何原型,一些抽象的代數(shù)理論被賦予幾何意義后,常常會(huì)變得通俗易懂。反過(guò)來(lái),很多貌似復(fù)雜的幾何結(jié)論,若以代數(shù)觀點(diǎn)看來(lái),則十分簡(jiǎn)易明了。更重要的是,線性代數(shù)作為一種抽象邏輯系統(tǒng),可以做到青出于藍(lán)而勝于藍(lán),往往能夠超越三維幾何而上升到高維空間,給出更為本質(zhì)更為廣泛的結(jié)果,從這個(gè)角度講,線性代數(shù)可以視為高維空間的解析幾何。因此,毫無(wú)疑問(wèn),線性代數(shù)與解析幾何的結(jié)合是大勢(shì)所趨。當(dāng)前已有數(shù)量可觀的文獻(xiàn)探討了這一主題,一批名為《線性代數(shù)與解析幾何》的優(yōu)秀教材相繼出版,并為一些院校采用。2.2線性代數(shù)的幾何化線性代數(shù)幾何化教學(xué)的確切意義是代數(shù)與幾何兩大系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上的緊密結(jié)合,至于用代數(shù)工具處理幾何問(wèn)題,則屬于線性代數(shù)的應(yīng)用化范疇。當(dāng)然,并非任何線性代數(shù)問(wèn)題都可以實(shí)施幾何化,片面追求幾何化也未必有意義。在線性代數(shù)的幾何化處理上,有兩種主要方式:第一種方式:將論域降到三維空間,給出低維代數(shù)問(wèn)題的幾何意義。例如,在討論線性方程組時(shí),若將未知數(shù)限定為三個(gè),那么解方程組相當(dāng)于求若干個(gè)平面的交點(diǎn);在引入線性相關(guān)的定義時(shí),可以指出,它在三維幾何中相當(dāng)于向量的共線或共面等等。在敘述方式上,往往是先討論三維幾何概念,然后再抽象為線性代數(shù)概念。顯然,這種從直觀到抽象的做法有著認(rèn)識(shí)論和方法論上的意義。第二種方式:直接在高維向量空間內(nèi)研究代數(shù)問(wèn)題的幾何意義。高維向量空間本身就有一套幾何語(yǔ)言,如線性表示、子空間、正交、基底、坐標(biāo)、投影、變換等,都是三維幾何概念在n維空間的對(duì)應(yīng)表述。利用這套高維幾何語(yǔ)言可以直接分析抽象的代數(shù)問(wèn)題,而不必作降維處理。概括起來(lái),在一定程度上,如果把線性代數(shù)視為高維幾何,那么所謂線性代數(shù)幾何化的實(shí)質(zhì)就是要在三維幾何與高維幾何體系之間建立一種同構(gòu)關(guān)系。借助這種同構(gòu)關(guān)系,對(duì)同一個(gè)線性代數(shù)問(wèn)題,如果可以進(jìn)行幾何化,那么它在三維幾何與高維幾何中各有其幾何意義,兩種處理方式正是為此而設(shè)。例如,“線性方程組有解”作為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題,在三維幾何上可解釋為“幾個(gè)平面有交點(diǎn)”,在高維幾何中固然可解釋為“幾個(gè)超平面有交點(diǎn)”,但更好的解釋卻是“右端向量落在系數(shù)矩陣的列空間之內(nèi)”。2.3不同齊次微分方程情形的問(wèn)題關(guān)于線性代數(shù)的幾何化教學(xué),從文獻(xiàn)上反映出的主要問(wèn)題是:究竟哪些代數(shù)問(wèn)題需作幾何化處理,沒(méi)有形成統(tǒng)一意見(jiàn),操作上比較隨意。處理一些具體問(wèn)題時(shí),在觀念和技術(shù)上仍存在改進(jìn)的余地。例如:在高維空間中對(duì)“線性方程組的解集”作幾何解釋時(shí),多數(shù)文獻(xiàn)從正交補(bǔ)空間的角度指出了齊次方程組解集的幾何意義,而對(duì)更一般的非齊次方程組情形卻避而不談。原因是:要對(duì)后一情形給出恰當(dāng)?shù)膸缀谓忉?必然要涉及到一個(gè)比子空間略為廣泛的概念——線性流形,而這個(gè)概念是超綱的。但只解釋齊次情形而回避非齊次情形,顯然不合適,何況線性流形概念并不復(fù)雜,這是應(yīng)該加以介紹的。再比如:關(guān)于行列式,多數(shù)文獻(xiàn)都從三個(gè)三維向量混合積的角度指出,三階行列式的絕對(duì)值正是其三個(gè)列向量所成平行六面體的體積,至于一般n階行列式的幾何意義則語(yǔ)焉不詳。雖然這個(gè)問(wèn)題稍稍復(fù)雜,但若不作介紹,總感意猶未盡。類(lèi)似問(wèn)題還有不少,要么只給出低維情形而忽視高維情形,要么只解釋特殊情形而回避一般情形,要么只介紹某種情形而遺漏對(duì)偶情形等等,從知識(shí)體系的完備性角度講都是不夠完善的。因此,在進(jìn)行線性代數(shù)幾何化處理時(shí),一定要努力做到既知其一也知其二,實(shí)現(xiàn)低維與高維、特殊與一般的完美結(jié)合。2.4構(gòu)成向量式的構(gòu)造因素下面再舉兩個(gè)涉及幾何化的簡(jiǎn)單例子,但在一般教材中似乎并未得到發(fā)揮。例2.1(線性代數(shù)觀點(diǎn)下的平面與直線)我們知道,在三維解析幾何中,平面的一般方程和向量式方程分別為Ax+By+Cτ=D,r=r0+k1r1+k2r2直線的一般方程和向量式方程分別為{A1x+B1y+C1z=D1A2x+B2y+C3z=D4,r=r0+kβ{A1x+B1y+C1z=D1A2x+B2y+C3z=D4,r=r0+kβ從線性代數(shù)的角度,至少可以得到如下概括性的結(jié)論:(1)不論是平面還是直線,二者的一般方程無(wú)非都是三元線性方程組,只是方程個(gè)數(shù)有所不同而已,因此直線與平面的代數(shù)本質(zhì)是一樣的;(2)一般方程是線性方程組,向量式方程無(wú)非是該方程組的向量式通解,這就是一般方程與向量式方程之間的本質(zhì)聯(lián)系;(3)由一般方程求取向量式方程,相當(dāng)于求線性方程組的向量式通解;反之,由向量式方程求取一般方程,相當(dāng)于根據(jù)線性方程組通解的結(jié)構(gòu)逆向構(gòu)造原方程組,是解方程組的逆問(wèn)題。例2.2(向量積的推廣)向量積是解析幾何中的一個(gè)重要概念,在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T則二者的向量積為a×b=|ijka1a2a3b1b2b3a×b=∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3它滿足:a×b的方向垂直于a和b,a×b的長(zhǎng)度恰是a和b所張成平行四邊形的面積。自然要問(wèn),在n維歐式空間中可否定義類(lèi)似的向量積運(yùn)算呢?其實(shí),對(duì)于Rn中的任意n-1個(gè)向量a1,a2…,an-1,設(shè)各向量在Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,e2,…,en下的坐標(biāo)分別為(a11,a12,…,a1n),(a21,a22,…,a2n),…,(an-1,1,an-1,2,…,an-1,n)則可以定義向量組a1,a2,……an-1的向量積如下:β=a1×a2×?×an-1=|e1e1?e1a11a12?a1n???an-1,1an-1,2?an-1,n|β=a1×a2×?×an?1=∣∣∣∣∣∣e1a11?an?1,1e1a12?an?1,2???e1a1n?an?1,n∣∣∣∣∣∣這仍然是一個(gè)n維向量,且利用行列式理論不難證明,它滿足:β的方向垂直于a1,a2,…,an-1中的每個(gè)向量;β的長(zhǎng)度恰是a1,a2,…,an-1所張成平行多面體的體積。3線性代數(shù)的應(yīng)用3.1廣征博采線性代數(shù)對(duì)知識(shí)產(chǎn)權(quán)法的價(jià)值體現(xiàn)由于線性代數(shù)理論自成一體,容易給人一種脫離現(xiàn)實(shí)、空中架屋的印象。為了克服這一障礙,必須充分重視線性代數(shù)的應(yīng)用性介紹。實(shí)際應(yīng)用是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的源泉和目的,也是檢閱理論結(jié)果的最佳手段,在考察實(shí)際案例的過(guò)程中,既可以感受代數(shù)理論的切實(shí)用途,拉近理論與實(shí)踐的距離,也可生動(dòng)展示理論走向應(yīng)用時(shí)的具體方式和細(xì)節(jié),無(wú)形中更深化了對(duì)理論的認(rèn)識(shí)層次。越是抽象的理論,就越有廣泛的應(yīng)用性,線性代數(shù)的應(yīng)用是可以無(wú)限延伸、不斷更新的話題。在這個(gè)問(wèn)題上,不可能面面俱到,只能盡力將那些不需要太多專(zhuān)業(yè)知識(shí)的具有啟發(fā)性的典型案例加以分析介紹?？梢哉f(shuō),對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用最有感觸的,不是代數(shù)學(xué)家,而是計(jì)算數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、控制論、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的專(zhuān)家。在一些應(yīng)用學(xué)科中,線性代數(shù)問(wèn)題提法之新穎、處理技巧之高超甚至是代數(shù)學(xué)家所無(wú)法想象的。因此,如何更恰當(dāng)有效地展示線性代數(shù)的應(yīng)用,有賴(lài)于廣征博采。有大量文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了探討,有多部名為《線性代數(shù)及其應(yīng)用》的著作及譯作出版,并收到了良好效果。3.2關(guān)于問(wèn)題和建議3.2.1在微積分學(xué)中的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)各課之間有所交叉,由于講授順序的原由,先修課程中凡是涉及后修課程的地方,都是當(dāng)時(shí)處理上的薄弱環(huán)節(jié),因此在后修課中適當(dāng)修補(bǔ)和回顧這類(lèi)環(huán)節(jié)就十分必要,這樣既可鞏固以往的知識(shí),亦可體現(xiàn)線性代數(shù)的應(yīng)用。線性代數(shù)的講授時(shí)間是比較靠后的,需要做的這類(lèi)工作很多。以高等數(shù)學(xué)為例,在多元函數(shù)微積分學(xué)部分,方程組形式的隱含數(shù)定理、重積分的變量替換定理、多元函數(shù)極值的充分條件、斯托克斯公式等重要結(jié)論都用到了行列式,在隱函數(shù)定理中甚至用到克萊姆法則,極值的充分條件中還涉及對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性分類(lèi);梯度、旋度、方向?qū)?shù)、方向余弦等概念用到了向量,方向?qū)?shù)還可以解釋為內(nèi)積;如果作類(lèi)比的話,函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi),正是用空間基底表示空間向量這一思想的拓廣,而函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)則是參照了空間標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)良性質(zhì)。3.2.2題作適當(dāng)?shù)恼砗?jiǎn)化由于線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用案例太多,在選擇介紹時(shí),何者該入選,何者不適合,未免有仁智之見(jiàn)。但不論如何,為了整體的協(xié)調(diào)性,對(duì)原問(wèn)題作適當(dāng)?shù)恼砗?jiǎn)化是必要的,尤其在對(duì)案例的分析處理上,應(yīng)該采用更具數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)水準(zhǔn)的推導(dǎo)論證方式。同時(shí),任何一個(gè)實(shí)際案例,在解決過(guò)程中都可能暗含著線性代數(shù)的某些一般性理論,此時(shí)就不能只限于具體數(shù)值上的演算過(guò)程,還應(yīng)該把其中隱藏的一般性問(wèn)題提煉出來(lái),在更高層面上重新審視案例的數(shù)學(xué)本質(zhì)。以這種方式來(lái)剖析案例,擴(kuò)大了具體案例的回旋空間,才可以更深刻地感受到理論分析的實(shí)踐價(jià)值。3.3對(duì)線性代數(shù)的證成下面再舉幾個(gè)簡(jiǎn)單例子,以輔助說(shuō)明上述關(guān)于線性代數(shù)應(yīng)用化教學(xué)的觀點(diǎn)。例3.1(一元統(tǒng)計(jì)學(xué)中的樣本均值、樣本方差)對(duì)于一元總體的樣本X=(X1,X2,…,Xn)T,熟知的統(tǒng)計(jì)量樣本均值ˉXX與樣本方差S都可以用矩陣運(yùn)算來(lái)表達(dá)。記n維向量u=(1,1,…1)T,構(gòu)造矩陣Η=E-1nuuΤ,則ˉX=1n(X1+X2+?+Xn)=1nuΤXQ=n∑i=1(Xi-ˉX)2=(X-uˉX)Τ(X-uˉX)=(X-1nuuΤX)Τ(X-1nuuΤX)=((E-1nuuΤ)X)Τ((E-1nuuΤ)X)=XΤΗΤΗX=XΤΗX于是S=1n-1Q=1n-1XΤΗX可見(jiàn),樣本方差其實(shí)是樣本向量的二次型。例3.2(多元統(tǒng)計(jì)學(xué)中的樣本相關(guān)系數(shù))基于二元總體(X,Y)的樣本(Xi,Yi)(i=1,2,…,n),為刻畫(huà)X,Y的線性相關(guān)程度,定義其樣本相關(guān)系數(shù)為ρ=n∑i=1(Xi-ˉX)(Yi-ˉY)√n∑i=1(Xi-ˉX)2?√n∑i=1(Yi-ˉY)2若令α=(X1-ˉX,X2-ˉX,?,Xn-ˉX)Τβ=(Y1-ˉY,Y2-ˉY,?,Xn-ˉY)Τ則ρ=α?β||α||?||β||=cos(α?β)因此,貌似復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)量ρ其實(shí)就是中心化數(shù)據(jù)向量α與β的夾角余弦。顯然:當(dāng)夾角為0時(shí),ρ取最大值1,α與β方向完全一致,X,Y完全正相關(guān);夾角為π時(shí),ρ取最小值-1,α與β方向完全相反,X,Y完全負(fù)相關(guān);夾角為π2時(shí),ρ取0,α與β垂直,X,Y的線性相關(guān)度最差。例3.3(工資分配問(wèn)題)現(xiàn)有三人,分別是木工、電工、油漆工,他們同意彼此相助裝修各自的房子。裝修前,他們達(dá)成協(xié)議:每人共工作10天;每人的日工資在60-80元之間;每人總收入與總支出相等。表1是他們協(xié)商制定的工作分配方案,問(wèn):該如何計(jì)算出他們每人的日工資?解:設(shè)三人的日工資分別為x1,x2,x3,根據(jù)收支平衡關(guān)系易得:解此方程組得:x1=62,x2=64,x3=72(元)。這是一個(gè)曾被各類(lèi)教材廣泛征引的例子,并且以求出之值作為結(jié)束。問(wèn)題雖然解決了,但若僅止于此,則幾乎沒(méi)有新的收獲。透過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的案例,我們要問(wèn):該模型的一般性提法是怎樣的?奇怪的是為什么模型會(huì)總有合適的解呢?事實(shí)上,令A(yù)=(216451443),x=(x1,x2,x3)Τ則原方程組可表作Ax=10x,注意到A有一個(gè)顯著的特點(diǎn):各列元素之和均為10。而由線性代數(shù)理論容易證明,對(duì)于一個(gè)各列元素之和都等于非零常數(shù)的方陣來(lái)說(shuō),λ必為該矩陣的特征值。因此,本案例中,10就是A的特征值,而x是相應(yīng)的特征向量。有特征值就必有特征向量,于是模型必有解,而且若不加限制(日工