2022高考數(shù)學(xué)(人教A版)單元測試卷-第11單元 空間向量與立體幾何

2022高考數(shù)學(xué)單元測試卷第11單元空間向量與立體幾何一、選擇題()某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()TOC\o"1-5"\h\z24+9n12+9n12+5n24+4n2?設(shè)l,m表示兩條不同的直線,a，卩表示兩個不同的平面,Q表示一個點，給出下列四個命題，其中正確的命題是()①Q(mào)Ga,luanQGl②lCm=Q,mupnlG卩③l||m,lua,QGm,QGanmua④a丄卩，且aAp=m,Qep,QGl,l丄anlG卩A.①②B.A.①②B.②③C.①③D.③④3?圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示?若該幾何體的表面積為16+20n，則r=()1

2484?已知四棱錐PABCD的底面四邊形ABCD是邊長為2的正方形,若過點P作平面ABCD的垂線,垂足為四邊形ABCD的中心,且四棱錐PABCD的側(cè)棱與底面所成的角為60°,則四棱錐PABCD的高為()A.2V2B.V3C.V6D.2V35?如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的外接球TOC\o"1-5"\h\z的表面積為()6n24n48n96n6?四棱錐PABCD的底面為正方形ABCD,PA1底面ABCD,AB=2,若該四棱錐的所有頂點都在體積為加的同一球面上，則PA的長為()2A.3二、填空題B.2C.1D.A.3二、填空題B.2C.1D.127?如圖，四棱錐PABCD的底面為矩形，矩形的四個頂點A,B,C,D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，且球的表面積為16n,則四棱錐PABCD體積的最大值為.8?某工廠現(xiàn)將一棱長為V3的正四面體毛坯件切割成一個圓柱體零件，則該圓柱體體積的最大值為值為三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB丄平面ABC,△SAB是等邊三角形，已知AC=2AB=4,BC=2V5.求證:平面SAB丄平面SAC;求二面角B-SC-A的余弦值.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,PA丄底面ABCD,ZABC=60°,AB=V3,AD=2V3,AP=3.求證:平面PCA丄平面PCD;設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點,若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角E-AB-D的余弦值.如圖，在四棱錐PABCD中,PA!平面ABCD,AD丄CD,AD||BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且圧=1.PC3參考答案4242D①錯誤，②錯誤，③正確,④正確?故選D.B由條件知,該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面圓直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成,其表面積是一個矩形面積,兩個半圓面積,圓柱側(cè)面積的一半,球表面積的半相加所得,所以表面積為S表=2rx2r+2x1nr2+nrx2r+1X4nr2=5nr2+4r2=16+20n，解得r=2.據(jù)題設(shè)分析知，所求四棱錐PABCD的高h(yuǎn)』2*?tan60°=V6.故選C.25.B由三視圖可知,三棱錐的直觀圖如圖PADC,是底面為直角邊為4與2的直角三角形,高為2的三棱錐,將三棱錐補成長方體,利用長方體的外接球與棱錐的外接球相同求解即可.圖中矩形ABCD的長為4,寬為2,棱錐的高為PB=2,所以棱錐的外接球就是以BC,BA,BP為長、寬、高的長方體的外接球,外接球的直徑就是長方體的體對角線，即2R=V42+22+22=V24,所以外接球的表面積為4nR2=24n?故選B.四棱錐的所有頂點的距離相等，即O為球心，設(shè)球半徑為R,可得r=1pc=1VpA2+8，可得4n?(WPA2+8)3=啦,解得pa=1故選C.223227.16因為球O的表面積是16n，所以S=4nR2=16n，解得R=2.3設(shè)矩形ABCD的長、寬分別為xy則x2+y2=(2R)2>2xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時上式取等號，即底面為正方形時，底面面積最大，此時S正方a|cd=2R2=8-因為點P在球面上,所以當(dāng)PO丄底面ABCD時,PO=R,即hmax=R,max此時四棱錐PABCD體積有最大值為1x8x2=16.33&辰27圓柱體體積最大時，圓柱的底面圓心為正四面體的底面中心O',圓柱的上底面與棱錐側(cè)面的交點N在側(cè)面的中線AM上.???正四面體棱長為V3,aBM=3,O'M=1,BO'=1,aAO'=V2,22設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則0<r<1?由三角形相似得r=厶，即h=V22V2r,2士寸22圓柱的體積V=nr2h=V2nr2(12r),?r2(12r)<'r+r+1^、3亠，當(dāng)且僅當(dāng)r=12r即r=!時取等號圓柱的最大體積為妊?故答案327327為屁.279.(1)證明在△BCA中,tAB=2,CA=4,BC=2V5,???AB2+AC2=BC2,故AB1AC.又平面SAB丄平面ABC,平面SABA平面ABC=AB,aAC丄平面SAB.又ACu平面SAC,所以平面SAB丄平面SAC.⑵解如圖建立空間直角坐標(biāo)系,A(O,O,O),B(2,O,O),S(1,O,V5),C(O,4,O),CS=(l,-4,V3),BC=(-2,4,0),AC=(0,4,0),設(shè)平面SBC的法向量n=(x,y,z)，由=0則“十丄￥)?(4b=0,l設(shè)平面SCA的法向量m=(a,b,c),由｛a-4b+^3c=0Am=(-V3,0,1),-cos<n,m>=-2^19,19又二面角B-SC-A的平面角為銳角，???二面角B-SC-A的余弦值為也9.19(1)證明在平行四邊形ABCD中,zADC=60°,CD=V3,AD=2V3,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD?CDcoszADC=12+3-2x2V3XV3Xcos60°=9,???AC2+CD2=AD2,.?.zACD=90。,即CD1AC，又PA!底面ABCD,CDu底面ABCD/.PA1CD,又ACAPA=A,?CD丄平面PCA.又CDu平面PCD,.平面PCA丄平面PCD.(2)解如圖，以A為坐標(biāo)原點,AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(V3,0,0),C(0,3,0),D(-V3,3,0),P(0,0,3).設(shè)E(x,y,z),PE=APC(09三1),則(x,y,z-3)="0,3,-3).???x=0,y=3人z=3-3人即點E的坐標(biāo)為(0,3九,3-3九).???Be=(-V3,3X,3-3X),又平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),?sin45°=|cos<BE,n>|=^=|3_3入1，解得X=1.3V3+9入2+(3-3入)2點E的坐標(biāo)為(0,1,2),AE=(0,1,2),AB=(73,0,0)."im?AR=0(x=0設(shè)平面EAB的法向量為m=(x,y,z),由—_J得'y+2z=0、m°AE=0,2令z=1，得平面EAB的一個法向量為m=(0,-2,1),???cos<m,n>=mm=丄=遲.|m||n|755又二面角E-AB-D的平面角為銳角，所以，二面角E-AB-D的余弦值為5(1)證明因為PA1平面ABCD,所以PA1CD.又因為AD1CD,所以CD丄平面PAD.

(2)解過(2)解過A作AD的垂線交BC于點M.因為PA!平面ABCD,所以PA1AM,PA1AD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因為E為PD的中點,所以E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2).所以PF=』PC=2,2,-2,AF=AP+PF=.3333333設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則｛，n?AE=0,則｛、n?AF=0,即｛y+z=0,即｛2x+2y+4z=0.333令z=1側(cè)y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因為平面PAD的法向量為p=(1,0,0),所以cos<n,p>=n-p=必.TOC\o"1-5"\h\z|n||p|3由題知，二面角F-AE-P的平面角為銳角,所以其余弦值為血.3解直線AG在平面AEF內(nèi)?因為點G在PB上，且弧=2,PB=(2,-1,