八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)-因式分解

第21講因式分解【板塊一】因式分解的基本方法題型一提公因式法【例1】分解因式12a2x3+6abx2y-15acx2；2a2b(x+y)2(b+C)-6a3b3(X+y)(b+C)2；(2x+y)3—(2x+y)2+(2x+y)；(2x—3y)(3x—2y)+(2y—3x)(2x+3y);a(a—b)2n+b2(b—a)2n-1；a(1—b+b2)—1+b—b2.題型二公式法（一）平方公式法【例2】分解因式:(1)9(m—n>—4(m+n)2；(2)(a+b+c+d)2—(a—b+C—d)2；(3)xy3—4xy；(4)a2(x—y)+b2(y—x).（二）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b>；a2—2ab+b2=(a—b>【例3】分解因式:(1)9x2—24xy+16y2；(2)(x2+4)+8X(x2+4)+16X2.(三)立方公式立方和、差公式：a3+b3=(a+b)(a2一ab+b2);a3一b3=(a一b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b>；a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b>；a3+b3+C3一3abc=(a+b+C)(a2+b2+C2一ab一bc一ca).【例4】分解因式:(1)9%5-72%2J3；(2)8%3+27J2+36%2j+54Xy2.題型三分組分解法(一)分組后可提公式方法技巧：①將原式適當(dāng)分組；②每組有公因式可提.一位高明的棋手，在下棋時(shí)絕不會(huì)只看第一步，同樣，在進(jìn)行分組分解的時(shí)候，不僅要看到第二步，而且要看到第三步.【例5】分解因式：(1)%2-4J2-2%+4J； (2)%2一J2一%一J.(二)分組后可用公因式子技巧：分組后可用公式法【例6】分解因式：(1)%2-%j+4J2-1；(2)a2-2ab+b2-c2-2c一1.題型四 十字相乘法十字相乘法：先看一個(gè)乘法公式(%+a)(%+b)=%2+(a+b)%+ab.利用這個(gè)乘法公式我們可以得到分解形如%2+p%+q的二次三項(xiàng)式的方法：如果我們可以找到兩個(gè)數(shù)a,b，使得常數(shù)項(xiàng)為兩者的積，同時(shí)一次項(xiàng)也即ab=q,a+b=P,如下圖:為兩者的和，a+b=p,ab=qab=A,ab=C,ad+bc=B第一列的積為1x1=1為二次系數(shù)項(xiàng)；第二列的積為axb=q為常數(shù)項(xiàng)；列間的交叉成乘積1Xb+1Xa=a+b=P為一次項(xiàng)系數(shù).那么我們就完成了對(duì)％2+Px+q的因式分解：X2+Px+q=(X+a)(x+b).對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則Ax2+Bx+C=(ac+C)(bx+d).【例7】分解因式：(1)X2+5X+6； (2)X2-6X+8；(3)X2-X-6.【例8】因式分解：(1)3a2-7a-6；(2)5X2+12X-9.【例9】因式分解：(1)X4+7X2-30；(2)(X+y)2-4(X+y)-12.題型五雙十字相乘【例10】分解因式：(1)X2+2Xy-3y2+3X+y+2(2)X2-6Xy+9y2-5Xz+15yz+6z2.題型六拆添項(xiàng)【例11】因式分解：(1)X3-9X+8；(2)X4+X3+4X2+3X+3.1.分解因式：(1)一6abc-14a2b3+12a3b針對(duì)練習(xí)1(2)-6a3+15a2-12a4(3)4XVa2+X2)-a2-x2；2.因式分解(1)Va+b)2-c2(3)y4-81(5)V3x-2y)2-16y23.分解因式：(1)Vc2-a2-b2)2-4a2b2(4)Vp-q)2m+1+Vq-p)2m-1(2)4y2-V2z-x)2(4)-2x2+1y2乙(6)Va+x)4-Va-x)4(2)Vx2+4)2-16x24.分解因式：(1)a6+b6(2)729a6-243a4+27a2-15.分解因式：(1)a2+b2-2ab-1；(2)x2-2xy+y2-16⑶ax(y3+b3)+byQX2+a2y)..分解因式:-x2—2x+63；x2-20xy+64y2.分解因式:⑴一6x2-11x+7(2)32-12x-27X2.(x2+4x+8)+3x(x2+4X+8)+2X2.分解因式:2y2-5xy+2x2-ay-ax-a2；2a2—7ab—22b2—5a+35b—3；2x2+2y2+5Xy+4x+5y+2.10.(1)X3+6X2+11X+6；(3)%4—3%2+1%4一7%2y2+81y4板塊二因式分解應(yīng)用題型一求值【例12】若％,y滿足%2+2y2-2%y-2y+1=0，求5%+2y的值.【練12】已知Q2+〃2=5,C2+d2=2,求代數(shù)式QC+圮?+QDe)2的值題型二巧算【例13】計(jì)算:19973—2.19972—199519973+19972-1998【練13】計(jì)算:19993-IOOQ3-99921999×1000×999題型三證明【例14］證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方【練14］若“是自然數(shù)，則_3俏+9是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？給出你的證明.題型四判定三角形的形狀【例15】已知。,4C是一個(gè)三角形的三邊，判定加+〃4+,4.2〃2枚_2%_2*的符號(hào)【練15］若a,b,C為乙ABC的三邊長(zhǎng)，且Q-b)b+a(b-a)=a(C-a)+bQ-c)，則△ABC按邊分類，應(yīng)是什么三角形？針對(duì)練習(xí)21,已知（％+y）2-2%-2y+1=0，則（%+y）999=,2.已知a=—%+20,b=—%+19,C=—%+21,求代數(shù)式a2+b2+C2-ab-bc-ac的值.20 20 20b2+2ac=14.已知三個(gè)數(shù)a,b,C滿足方程卜2+2ab=29，求a+b+C的值.a2+2bC=21.已知a,b,C,d為非負(fù)整數(shù)，且aC+bd+ad+b=1997.求a+b+C+d的值..已知%+y=3,%2+y2—%y=4