(16)-5.5異方差問題的處理（2）：一致估計量、代數(shù)變換

計量經(jīng)濟學(xué)二、在OLS下，使用異方差性一致估計量由于實際上異方差函數(shù)形式我們無法知道，F(xiàn)GLS的效果取決于異方差函數(shù)形式的設(shè)定的是否符合實際情況，所以WLS的主觀性很大大。在這種情況下，我們試圖尋找解決異方差問題的另一種途徑。我們知道，在出現(xiàn)異方差時，OLS估計量仍然是無偏的、（大樣本情況下）一致的和漸近正態(tài)分布，僅方差是不可信的。自然要問：是否可以通過調(diào)整對方差的估計使之可信？幸運的是，最近二十年來，計量經(jīng)濟學(xué)家門已經(jīng)知道了如何調(diào)整標準誤、t統(tǒng)計量、F統(tǒng)計量和LM統(tǒng)計量，使之在出現(xiàn)未知形式的異方差性時OLS仍可用。這種方法稱為異方差－穩(wěn)健程序。White方法：OLS估計的斜率系數(shù)的方差公式是：如果滿足同方差假定，則存在一個常數(shù)方差，將其代入(5.32)，有：

(5.32)但在異方差條件下，不存在這樣的常數(shù)方差，White的方法是在(5.32)式中用取代(這里是第i個OLS殘差），得到異方差性一致標準誤差：（5.33）

注意：不能用得到的一致估計量，White得到的是的一致估計量，它是的加權(quán)平均。

同樣的分析適用于多元回歸OLSE的情況，用White方法得到的第j個OLS回歸系數(shù)方差的異方差性一致估計值由下式給出：其中是從xj對方程中所有其它解釋變量OLS回歸得到的殘差，ei為原多元回歸模型的第i個OLS殘差。（5.34）

這種估計量的性質(zhì)不是“最好”，但它們對于同方差性的違背不敏感，被稱為懷特異方差－穩(wěn)健估計量（RobustEstimators）。麥金農(nóng)和懷特還研究了對式（5.34）的其他修正。由于所有形式都只是漸近合理，而且它們還漸近等價，所以沒有哪個形式一定比其他所有形式都更好。通常，我們總是采用手邊的回歸軟件包計算出來的任意形式。通過使用系數(shù)方差的懷特異方差性一致估計值代替其OLS估計值，我們解決了異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗結(jié)果不可信賴的問題。這種解決異方差性的方法的優(yōu)越之處在于，不需要知道異方差性的具體形式。因此，在異方差性的基本結(jié)構(gòu)未知的情況下，建議仍采用OLS法估計系數(shù)，而采用方差的穩(wěn)健估計量，懷特的異方差性一致估計量就是一種很好的選擇。三、解釋變量的代數(shù)變換在模型存在異方差時，我們還可以考慮對被解釋變量進行代數(shù)變換，使得變換后的數(shù)據(jù)方差能夠接近相等，即使得方差比較穩(wěn)定，所以這種變換稱為方差穩(wěn)定性變換。常用的變換包括：；如果大致存在比例關(guān)系，則作變換：2.如果大致存在比例關(guān)系，則作變換：3.如果大致存在比例關(guān)系，則作變換：其中最常用的是對數(shù)變換。在經(jīng)濟意義成立的情況下，如果對線性模型作對數(shù)變換，其變量均用對數(shù)代替，如將一元線性回歸模型做對數(shù)變換，即為（5.35）

對數(shù)變換后的模型通常可以降低異方差性的影響。首先，運用對數(shù)變換能使測定變量值的尺度縮小。如取自然對數(shù)，它可以將兩個數(shù)值之間原來10倍的差異縮小到只有2倍多的差異。其次，經(jīng)過自然對數(shù)變換后的模型，其殘差表示相對誤差，而相對誤差往往比絕對誤差有較小的差異。對數(shù)變換的另一優(yōu)點是，斜率系數(shù)度量了y對x的彈性，即對應(yīng)于x的1％的變化，y的百分比變化。這也正是對數(shù)模型在經(jīng)驗計量經(jīng)濟模型中被廣泛應(yīng)用的原因之一。

但是需要注意的是，對變量取對數(shù)雖然能夠減少異方差對模型的影響，但應(yīng)注意取對數(shù)后變量的經(jīng)濟意義。如果變量之間在經(jīng)濟意義上并非呈對數(shù)線性關(guān)系，則不能簡單地對變量取對數(shù)，這時只能用其他的方法對異方差進行修正。此外，如果異方差是由省略