第11講 點乘雙根法（解析幾何）（解析版）

第11講點乘雙根法知識與方法在計算兩個向量的數(shù)量積（即點乘）時，會遇到x11.方法介紹所謂的“點乘雙根法”,是指構(gòu)建雙根式，整體處理含x1?x2.理論基礎二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c3.適用類型x1x24.解題步驟化雙根式→賦值→整體代入.典型例題下面以一個例題來說明點乘雙根法的解題步驟.【例1】已知點Mx0,y0是拋物線y2=2px(【證明】設Ax1,y顯然直線AB不與x軸平行，設其方程為x=步驟1:化雙根式聯(lián)立y2=2pxx=my+聯(lián)立y2=2pxx=步驟2:賦值在(1)中,令y=y0在(2)中,令x=x0步驟3:整體代入即t2即t?所以t=x0情形一：當t=x0?my0情形二：當t=2p+x0+m綜上所述：直線AB恒過定點x0通過本例可以看到，利用點乘雙根法處理這類問題時，看起來式子仍然不少,實際上運算量已經(jīng)減少了很多.【例2】設橢圓中心在原點O,長軸在x軸上，上頂點為A,左右頂點分別為F1,F2,線段OF(1)求橢圓的方程;(2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點,使P【解析】（1）設所求橢圓的標準方程為x2a2因為△AB1B2是直角三角形,又AB1

結(jié)合

在中,,故由題設條件,得,從而.因比,所求橢圓的標準方程為;(2)顯然直線不與軸垂直，設的方程為,因為,則,所以聯(lián)立因為是方程的兩根,所以,令,得,令,得,代入(*),得,化簡可得:,所以,故直線方程為:.【例3】設分別為橢圓的左、右頂點,過左焦點且斜率為的直線與橢圓交于兩點.若,求的值.【答案】.【解析】設點,由得直線的方程為,由方程組,消去,整理得.由韋達定理可得.因為,所以由,得.因為是方程的兩根,所以令,則,所以令,則所以因為,所以,解得.【例4】設為曲線上兩點,與的橫坐標之和為4.(1)求直線的斜率;(2)設為曲線上一點,在處的切線與直線平行,且,求直線的方程.【答案】(1)1；(2)【解析】(1)設,則于是直線的斜率.(2)由,得.設,由題設知,解得,于是因為,所以,即.設直線的方程為,因為點在直線上,所以,所以.由得.由,得.在式中,令,得在(1)式中,令,得∴,解得,或(舍）,所以直線的方程為.強化訓練1.橢圓,若直線與橢圓交于兩點不是左右頂點）,且以直線為直徑的圓恒過橢圓的右頂點.求證：直線恒過定點,并求出該點的坐標.【答案】【解析】設橢圓的右頂點為,則聯(lián)立,整理得:,因為是方程的兩個根,所以取,得,所以(2).取,并兩邊同時乘以,可得(3).將（2和(3)整體代入(*),得,即,即或,當時,直線過點,不合題意;當時,直線,顯然恒過定點.2.已知橢圓的右焦點為,過且與軸垂直的弦長為3.(1)求橢圓標準方程;(2)直線過點與滿圓交于兩點,問軸上是否存在點,使為定值?若存在,求出的坐標;若不存在,說明理由.【答案】(1);(2)見解析【解析】(1)易得橢圓標準方程為;(2)當直線的斜率存在時,設為,則直線的方程為,設,則(1).在(1)中令,得,(3)在(1)中令,得,(4)把(3)4代入(2)并整理得所以,得,此時.當直線的斜率不存在時,,仍有.綜上所述,的坐標為.3.已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線與橢圓有且只有一個公共點.(1)求橢圓的方程及點的坐標;(2)設是坐標原點,直線平行于,與橢圓交于不同的兩點,且與直線交于點.證明:存在常數(shù),使得,并求的值.【答案】(1)(2),【解析】(1),點坐標為,過程路.(2)由已知可設直線的方程為,由方程組可得所以點坐