高考數(shù)學(xué)：高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題型匯總

高考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型1、設(shè)函數(shù)f(x)=,則滿足f(f(a))=的a取值范圍是（）（A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1,+[答案][解析]當(dāng)a≥1a＜1f(f(a))＝2222f(a)≥1，即3a－1≥1，∴a≥≤a＜1，綜上a≥.∴選333[方法點(diǎn)撥]1.分段函數(shù)求值或解不等式時(shí)，一定要依據(jù)條件分清利用哪一段求解，對于具有周期性的函數(shù)要用好其周期性．2．形如f(g(x))的函數(shù)求值應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則．2、偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，若不等式f(ax－1)<f(2＋x2)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－23，2)解析]由于函數(shù)為偶函數(shù)，故f(ax－1)＝f(|ax－1|)，因此f(ax－1)<f(2＋x)f(|ax－1|)<f(2＋x)，據(jù)已知單調(diào)性可得f(|ax－1|)<f(2＋x2)?|ax－1|<2＋x2，據(jù)題意可得不等式|ax－1|<2＋x2恒成立，即－(2＋B．(－2,2)C．(－23，2D．(－2,2[－ax＋3>0，＋ax＋1>0－12<0，－4<0，2)<ax－1<2＋x2?恒成立，據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可知解得－2<a<2，故選B.13()32A．a(chǎn)<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．a(chǎn)<c<b[答案]D[解析]∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于y軸對稱，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又∵函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，第1頁共90頁112∵f(2)＝f(0)，且2，∴f(2)<f()<f(log2)，∴a<c<b.33221－x＋1，－1≤x<k－3x＋2，k≤x≤a4、已知函數(shù)f(x)＝，若存在k使得函數(shù)f(x)的值域是[0,2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()1A．[3，＋∞)B．[，C．(0，3]D．{2}2[答案]B[解析]當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－3x＋2，k≤x≤2，f(2)＝28不合題意，∴a≠2，排除A、D；1111222當(dāng)k＝，<loglog2<0，23333333∴不合題意，排除C，故選B.5.已知命題py＝2－2在Ry＝2＋2在Rq：121p∨p∧p：(?p)∨p和q：p)中，真命題是()12212312412A．q，q3B．q314D．q24[答案][解析]∵y＝2x在R在R－2在R上是增函數(shù)，所以py＝2－2在R上為增函數(shù)為真命題，py＝2＋2在R上為減函數(shù)為假命題，故12q：p∨p為真命題，q∧p是假命題，q：(?p)∨p為假命題，q∧(?p)是真命題．故真命題112212312412是q，故選146、已知實(shí)數(shù)a、b，則“2>2a>logb”的()22A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]由y＝2x為增函數(shù)知，2>2b?a>b；由y＝logx在(0，＋∞)上為增函數(shù)知，a>logb?a>b>0，∴a>b/a>b>0，但a>b>0a>b，故選B.227已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2－1(ma＝f(log則a，b，c的大小關(guān)系為(A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜b)C．c＜a＜bD．c＜b＜a第2頁共90頁[答案][解析]考查函數(shù)奇偶性及指數(shù)式、對數(shù)式的運(yùn)算．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2－1為偶函數(shù)，所21|log1|以m＝0，即f(x)＝2－1，所以a＝f(log3)＝f3＝23－1＝2log3－1＝3－1＝2，2b＝f(log5)＝2log5－1＝4，c＝f(2m)＝f(0)＝2－1＝0，所以c<a<b，故選22[方法點(diǎn)撥]1.冪式、對數(shù)式等數(shù)值比較大小問題，利用同底數(shù)、同指數(shù)或同真數(shù)等借助于函數(shù)單調(diào)性或圖象求解．．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y＝logy＝a(a>0，a≠1，x∈R)叫指數(shù)函數(shù)(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1)x>0；(1)y>0；(2)圖象恒過點(diǎn)(1,0)；(3)a>1，(2)圖象恒過點(diǎn)(0,1)；(3)a>1，當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0；0<a<1，當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；0<a<1，當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0；(4)a>1，在(0，＋∞)上y＝logxy＝logx為減函數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1；R上y＝ax在R上y＝ax為減函數(shù)第3頁共90頁3.冪函數(shù)的性質(zhì)y＝x3y＝x12y＝x2(－∞，0)∪(0，＋定義域RR[0，＋∞)∞)(－∞，0)∪(0，＋R[0，＋∞)[0，＋∞)非奇非偶∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)x∈[0，x∈(0，＋∞)時(shí)，減＋∞)單調(diào)性增時(shí)，增增x∈(－∞，x∈(－∞，0)時(shí)，減0]時(shí)，減8命題f(x)＝a－2(a>0且f(x)＝lg|x|(x≠0)有兩個(gè)零則下列說法正確的是(A．“p或q”是真命題C．?p為假命題)B．“p且q”是真命題D．?q為真命題[答案][解析]∵f(0)＝a－2＝－1，∴p為假命題；令lg|x|＝0得，|x|＝1，∴x＝±1，故q為真命題，∴p∨q為真，p∧q為假，?p為真，?q為假，故選2－1，x>0，9、已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是－2－2x，x≤0，第4頁共90頁________．[答案](0,1)[解析]f(x)的圖象如圖所示：當(dāng)0<m<1時(shí)，直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．10、a、b∈[－1,1]，則函數(shù)f(x)＝ax＋b在區(qū)間(1,2)上存在一個(gè)零點(diǎn)的概率為()12B.11148[答案]C[解析]f(x)＝ax＋b在區(qū)間(1,2)111112上存在一個(gè)零點(diǎn)的點(diǎn)(a，b)所在區(qū)域面積S′＝××1×2＝，故所求概率P＝＝.222842，x∈[0，1，311、f(x)＝若f(xx的取值范圍是()004－2x，x∈[1，2]，235B．(0，log2]∪[，＋∞)5A．(log2，)2424C．[0，log35D．(log2，1)∪[524240≤x0<1，1≤x≤2，4－2x0≤330≤3[答案]C[解析])≤?或0222350≤x≤log2或≤x≤2，故選024第5頁共90頁12、已知常數(shù)a、b、c都是實(shí)數(shù)，f(x)＝ax＋cx－34的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)≤0的解集為{x|－2≤x≤3}，若f(x)的極小值等于－115，則a的值是()A．－81B.1C．2D．53[答案][解析]依題意得f′(x)＝3ax＋2bx＋c≤02b，c－－2×3＝，∴b＝－，c＝－18a，函數(shù)f(x)在x＝3處取得極小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝3a2115，－a＝－81，a＝2，故選2設(shè)函數(shù)f(x)＝3＋axex(a∈Rf(x)在x＝0ay＝f(x)在點(diǎn)(1，1f(1))處的切線方程。6x＋a－3x＋ax－3x2＋exx＋a，解析：(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex2f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.－3x＋6x當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2，f′(x)＝，exx33故f(1)＝，f′(1)＝.ee33f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為＝(x－1)，化簡得3x－ey＝0.ee14、已知函數(shù)f(x)＝(ax＋bx＋c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)＝1，f(1)＝0.求a的取值范圍；解析](1)由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，則f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e，[f′(x)＝[ax＋(a－1)x－a]ex依題意須對于任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax＋(a－1)x－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a<0，所以須f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；第6頁共90頁當(dāng)a＝1時(shí)，對任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x－1)e<0，f(x)符合條件；當(dāng)a＝0時(shí)，對于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xe<0，f(x)符合條件；當(dāng)a<0時(shí)，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合條件．故a的取值范圍0≤a≤1.πα＋π115、6－cos2sin6)355C．－77A．－B.99π3α1[答案]B[解析]2sinαcos6＝α22＝32α－2＝22α＋ππ131316－，又由于6－cosα＝α＋α－cosα＝α－α＝22222α－π16＝，3π6π－ππα＋π2α＋π277又16＝cos23＝1－2sin26＝1－＝2sinαcos6＝9995－＝.2[方法點(diǎn)撥]關(guān)系公式求解，能用誘導(dǎo)公式化簡的先化簡．2tanα求sinα與cosα的齊次式的值時(shí)，將分子分母同除以cos時(shí)，視分母為1＝sinα＋cosα代換．3．sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ知一求其他值時(shí)，利用關(guān)系(sinθ±cosθ)2＝1±2cosθcosθ.第7頁共90頁要特別注意利用平方關(guān)系巧解題．已知某三角函數(shù)式的值，求另一三角函數(shù)式的值時(shí)，關(guān)鍵是分析找出兩三角函數(shù)式的聯(lián)系恰當(dāng)化簡變形，再代入計(jì)算．116、已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(－3，a)，若點(diǎn)A在拋物線2的準(zhǔn)線上，則)433C．－11A．－B.22221[答案]D[解析]由已知得拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝1，故A(－3，1)，所以sinα＝.2π17、函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝sin3x的圖象，2則只要將f(x)的圖象()ππA．向右平移個(gè)單位長度B．向右平移個(gè)單位長度4ππC．向左平移個(gè)單位長度D．向左平移個(gè)單位長度4答案]B[解析]由題知，函數(shù)f(x)的周期T＝4(5－，所以ππ2π＝，[433ω解得ω＝3，易知A＝1，所以f(x)＝sin(3x＋φ)．又f(x)＝sin(3x＋φ)過點(diǎn)(5，－1)，πsin(3×5＋φ)＝－1，所以3×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，π32πππππ所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin(3x＋)＝sin[3(x＋)]，4244π所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)g(x)＝sin3x的圖象，故選B.第8頁共90頁[方法點(diǎn)撥]1.已知正弦型(或余弦型)函數(shù)的圖象求其解析式時(shí)，用待定系數(shù)法求解．由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定ω，由圖象上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來確定φ，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一解，否則φ的值不確定，解析式也就不唯一．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn)．“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次類推即可．2mx＋m(或x－m)代替xy上)平移ny＋n(或y－n)代替k代替x(或代替kky)，即可獲解．18、已知α∈R，sinα＋2cosα＝10tan2α＝()24B.3C．－3D．－43443[答案][解析]本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系．將sinα＋2cosα＝兩邊平方可得，253sinα＋4sinαcosα＋4cosα＝，∴4sinαcosα＋3cos.22將左邊分子分母同除以cosα得，＋4tanα＝，解得tanα＝3或tanα＝－，311＋tanα232tanα3∴tan2α＝.1－tanα4ππ1函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的圖象關(guān)于直線23數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對稱中心是()ππC．(πA．(B．(D．(－，0)3[答案]B[解析]由題意知T＝π，∴ω＝2，第9頁共90頁ππππ由函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對稱，得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z3326πππππk又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝Asin(2x－2x－＝kπ(k∈Z＋π(k∈Z)．26662π∴一個(gè)對稱中心為(，0)，故選B.20、在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值是()221D．－1A．－B.3222tanA＋tanB[答案]B[解析]由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，1－tanA·tanBA＋B＝3π，cosC＝2，故選B.π442π－，ππ3－3cos23R則f(x)在閉區(qū)間44上的最大值和最小值21、已知函數(shù)4分別為________．14113cosx－3＝sin2x－3(cos2x＋1)＋13[答案]、－[解析]f(x)＝sinxcosx＋3cosx＋2x－π2224444x－π－，ππ－6，π－1，1－，11212π＝344時(shí)，2x－∈363∈2.∴f(x)∈24.22、f(x)＝3sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期為3π.2π3π(1)當(dāng)x∈[，]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；24(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．解析]∵f(x)＝3sin(ωx)－2·1－cosωx＝3sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1，π[26第10頁共90頁由2＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1.π22πω336(1)由≤x≤得≤≤，∴當(dāng)x＋時(shí)，f(x)＝2×－1＝3－1.ππ2π2π24236336222π2π(2)由f(C)＝2sin()－1及C＋)＝1，3636π2π2πππ而≤C＋≤，C＋＝，解得.63663622π在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，∴2cosA－sinA－sinA＝0，22∴A＋sinA－1＝0，解得sinA＝－.∵0<sinA<1，∴sinA＝.2π5π23、已知函數(shù)f(x)＝2sin(x＋5)cos(x＋)－2cos(x＋)＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．π解析](1)∵f(x)＝2sin(x＋5)cos(x＋)－2cos(x＋)＋1＝sin(2x＋)－cos(2x＋5π5π)[2[sin(2x＋5)·cos－cos(2x＋2sin[(2x＋2sin(2x＋πππππ＝4446∴f(x)的最小正周期2π＝π.2ππππ(2)由(1)可知f(x)＝2sin(2x＋＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Zkπ－≤x≤kπ＋(k∈)62ππ6236時(shí)，πππf(x)＝2sin(2x＋)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋](k∈Z336第頁共90頁24、α＝2.π(1)求4的值；的值．2α＋sinαcos2α－1α＋tanππ4α＋12＋1＝－3，－tanαtanπ1－tanα1－2[解析]4＝＝＝142α2α＝＝α＋sin2α－1sinα＋sin2cosα－12αcosα2tanα2×2＝＝＝1.2α－2cosαtanα＋tan＋2－225、在直角梯形中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則)10B.352555[答案]B[解析]由已知條件可得圖形，如圖所示，設(shè)CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(2a)2＋(5a)2－2×2a3.×[方法點(diǎn)撥]解三角形的常見類型：(1)已知兩角和一邊，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.和對的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知和A＋B＋C＝π求正弦定理或余弦定理求c，要注意解的討論．第12頁共90頁(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.26、在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sinA＝22，a＝2，S＝2，則b3的值為()B.32C．221D．2332112＝2，∴bc＝3，[答案]A[解析]由已知得：cosA＝＝bcsinA＝bc×3223又由余弦定理得：a＝b＋c－2bccosA，即b＋c2－2＝4，2＋c＝6，∴b＋c＝23，解得b＝c＝在△ABC的對邊分別為2＋c－b)tanB＝B的值為(∴2)π6π3π5π6π3B.或或63＋c－b2[答案][解析]由(a2＋c2－b)tanB＝3ac得，·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝a＋c－b2得，2cosB·tanB＝sinB＝3π，∴角B的值為或，故應(yīng)選23328、在△ABCA所對的邊分別是c＝7，πC＝，則△ABC的面積是()3A.337337434636ππ[答案]D[解析]由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，則∠A＝，則B＝，267321＝bc＝××7＝7113πb＝＝322362第13頁共90頁112＝a＋b7＝a＋9a2－3a2＝7a＝absinC＝2×1×3×＝32429、在△ABC中，已知atanB＝btanA，試判斷△ABC的形狀．[解析]1：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB.∴(2RsinA)2＝(2RsinB)2sinA，cosBcosAπ∴∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.2△ABC為等腰或直角三角形.2：∵atanB＝btanA，∴a2＝tanAsinAcosB＝.由正弦定理得＝.ab2tanBcosAsinBsinBba＋c－b2由余弦定理得cosB＝，cosA＝＋c－a2.∴a2＝·acosBa＋c－b2＝，2bc2bcosAb＋c－a2整理得(a－b)(c2－a－b)＝0.∴a＝b或2＋b＝c2，∴△ABC為等腰或直角三角形．3330、設(shè)向量，b滿足||＝2，·＝，|＋|＝22，則||等于()2123B．1D．22[答案]B[解析]∵|＋|＝|a＋2a·＋||＝4＋3＋||＝8，∴|b1、若兩個(gè)非零向量、b滿足|b|＝|a－|＝2||，則向量＋b與ab的夾角是()π6π336B.＋b·ab－2[答案][解析]解法b|＝3|acosθ＝＝ab|·|－|2||2第14頁共90頁＝－22θ＝2π.122332、如圖，正方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么EF＝()11111112→→→→→→→→B.AB＋234232231112→→→→→→→→→[答案]D[解析]EF＝AF－AE＝AB＋AD－(AD＋AB)＝AD.3223→→→→→→33、在邊長為1的正三角形中，設(shè)BC＝2BD，CA＝3CE，則AD·BE＝________.b－11→→→→→→[答案]－[解析]如圖，令A(yù)B＝aa＋)，BE＝BC＋CE＝(－342＝2a，3ab－a1a|2|21|2||211111－a·＝－－×.621→→∴AD·BE＝22·3＝·b－＋－a·＝－3232326324→→→→→34、和BD相交于點(diǎn)aa和b表示)．11223231223→→→→→→→→→[解析]據(jù)題意可得AC＝AD＋DC＝AD＋AB＝＋b，又由AB＝2DC，可得AO＝a＋)＝a2第15頁共90頁13＋.x≥1，→→35、Oy≥0，x＋y≤4.[解析]據(jù)不等式組得可行域如圖所示：→→由于z＝3×4＋2×0＝12.36、在△ABC中，角A、B、C所對的對邊長分別為a、b、c.(1)設(shè)向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋)，求tanB＋tanC的值；(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，證明：a－c22.[解析](1)xy＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，整理得tanC＋tanB＋2＝0，∴tanC＋tanB＝－2.(2)證明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，＋b2－c2b＋c－a22bc∴由正、余弦定理得：a·＋3××c＝0，∴a－c.37、已知{a}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是S.若a，a，a成等比數(shù)列，則()nn348A．a(chǎn)d>0，dS>0B．a(chǎn)d<0，dS<0C．a(chǎn)d>0，dS<0D．a(chǎn)d<0，dS>014141414[答案]B[解析]考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的概念．5∵}為等差數(shù)列，且a，a，a成等比數(shù)列，∴(a＋3d)＝(a＋2d)(a＋7d)?an34811113第16頁共90頁25323∴S＝2(a)＝2(a＋3d)＝－d，∴ad＜0，dSd2＜0，故選B.4141114338、等比數(shù)列{an項(xiàng)和為SS＋10a＝9，則a)nn3215113B．－111399[答案][解析]＋10a＋a＝a＋10a，a＝9aq，∴q＝9，321123213111又∵a＝9，∴9＝a·q＝9a，∴a＝1，又a＝9aa＝.5333311911139、若數(shù)列{a}為等比數(shù)列，且a＝1，q＝2，則T＝＋＋…＋等于()n1naaaa1aa223n121121B.(1－)(1－)4n34n2n3n[答案]B[解析]a＝1×2＝2，所以a·a＝2·2＝2×4，nn1111＝×()，所以{}也是等比數(shù)列，aa24aann11－1111n21T＝＋＋…＋aa＝×＝)，故選B.aaaa121－143n223n55S40、已知等比數(shù)列{an項(xiàng)和為Sa＋a＝，a＋a＝()nn132424nA．4－1B．4C．2－1D．255115[答案][解析]設(shè)公比為a(1＋q(1＋q)＝，∴a＋a＝，∴a＝2.12111242421212122[1－]＝4[1－(]，∴＝4[1－]11S1∴aq＝＝2(2－)＝2n1n22an122第17頁共90頁[點(diǎn)評]用一般解法解出a、q，計(jì)算量大，若注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求，可簡明解答如下：n1a11－qn1－q1－1Snn－1.1∵a＋a＝q(a)，∴q＝＝＝＝24132n·q12aq·141、設(shè)數(shù)列{aa＝1，且a＝n＋1(n∈)，則數(shù)列a前項(xiàng)的和為________．n1nn20[答案][解析]考查數(shù)列通項(xiàng)，累加法、裂項(xiàng)求和．n2＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a)＋a＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝nn211111111111，S20.以－)，S＝2(1－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－n＋1nnnn＋1223n[方法點(diǎn)撥]1.熟記等差、等比數(shù)列的求和公式．23．形如＝a＋f(n)的遞推關(guān)系用累加法可求出通項(xiàng)；．形如＝af(n)的遞推關(guān)系可考慮用累乘法求通項(xiàng)a；nnb4．形如＝ka＋b(k、b為常數(shù))可通過變形，設(shè)b＋構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)nnnk－12Sn42、已知等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S}滿足b＝.求數(shù)列{ann13n123n的通項(xiàng)公式。[解析](1)等差數(shù)列{a}，a＝1，S＝6，∴d＝1，故a＝nn13nb·b·b·…·b＝2Sn1123n，(1)÷(2)得b＝2S＝2a＝2(n≥2)，nnb·b·b·…·b＝2S2123b＝2S＝2＝2，滿足通項(xiàng)公式，故b＝2n11n第18頁共90頁43、已知等差數(shù)列{a}滿足：a＝2，且a成等比數(shù)列．求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。n1125n(1)設(shè)數(shù)列{a}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)＝2(2＋4d)．化簡得d2－4d＝0，解得或當(dāng)d＝0時(shí)，a＝2；當(dāng)時(shí)，a＝2＋(n－1)·4＝4n－2，從而得數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a＝2或a＝4n－2.nnn44、已知數(shù)列{a}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a＝2，a＝a2＋4a＋2.n1n(1)令b＋2)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列．n2nn(2)設(shè)c＝nb，求數(shù)列{cnS.nnnn[解析](1)由a2＋4a＋2，得＋2＝a2＋4a＋4＝(a＋2).因?yàn)閍a＋2＝a＋2.因?yàn)閎＝2＋22＋2＝log22＋2＝b＝log1112b2n＋2)＝2，1所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列．n211(2)由(1)知，b＝2·2c＝2n2.nn1111S2＋4×21＋…＋2(n－1)2＋2n2111112＝2×212＋…＋2(n－1)2＋2n2.②111111①＝－②得：S＝2×2＋2×2＋2×2＋…＋2×22nn212n11112－2n·2＝4－(4＋2n)2＝8－(n＋2)2.1－2第19頁共90頁[方法點(diǎn)撥]數(shù)列求和的類型及方法技巧(1)公式法：直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的求和公式求和．(2)錯(cuò)位相減法這種方法主要用于求數(shù)列{a·bn項(xiàng)和，其中{a}、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．nnnn(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n相加時(shí)若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和．(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和．(5)分組轉(zhuǎn)化求和法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，可先分別求和，然后再合并．n45、已知向量＝(SS是數(shù)列{a}的前na⊥}nnn的最大項(xiàng)的值為________．n2[解析]a⊥，∴·b＝2S－n(n＋1)＝0，∴S＝，∴a4nn14nnn∴＝＝n＝2取最小值取到最大值·ann＋＋5n19.46、設(shè)數(shù)列{an項(xiàng)和為S，滿足(1－q)S＋qa＝1，且q(q－1)≠0.nnnn(1)求{a}的通項(xiàng)公式；(2)若S，S成等差數(shù)列，求證：a成等差數(shù)列．396285[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，由(1－q)S＋qa＝1，∴a111第20頁共90頁當(dāng)n≥2＋qa＋qa＋q(a)＝0，nnnn∴＝qa＝1，q(q－1)≠0，∴a，綜上a.1nnn(2)由(1)可知＝q，所以{a1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列．＝1－aqS＋S＝2S1－aq1－aq＋＝21－aq，3691－q1－q化簡得a＋a＝2a，兩邊同除以q得a＋a＝2a.故a成等差數(shù)列．369258285[方法點(diǎn)撥]1.在處理數(shù)列求和問題時(shí)，一定要先讀懂題意，分清題型，區(qū)分等差數(shù)列與等比數(shù)列，不是基本數(shù)列模型的注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為等差、等比數(shù)列，在利用分組求和時(shí)，要特別注意項(xiàng)數(shù)．方程求解．247、.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.34π333B.C．8－D．8－[答案][解析]由三視圖知原幾何體是棱長為2的正方體中挖掉一個(gè)圓錐，13∴－V＝2×2×2－×(π×1)×2＝8－.3第21頁共90頁[方法點(diǎn)撥]1.求幾何體的表面積與體積問題，熟記公式是關(guān)鍵，應(yīng)多角度全方位的考慮．(1)給出幾何體的形狀、幾何量求體積或表面積，直接套用公式．(2)用三視圖給出幾何體，先依據(jù)三視圖規(guī)則想象幾何體的形狀特征，必要時(shí)畫出直觀圖，找出其幾何量代入相應(yīng)公式計(jì)算．(3)用直觀圖給出幾何體，先依據(jù)線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理討論分析幾何體的形狀特征，再求體積或表面積．(4)求幾何體的體積常用等積轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面在幾何體的某一面上，求不規(guī)則幾何體的體積，主要用割補(bǔ)法．2歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．構(gòu)成的線段P－ABCD補(bǔ)成球的內(nèi)接長方體，利用4R＋PB＋PC2解決問題．8、如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面34E和F分別是CD、PC的中點(diǎn)，求證：ABCD；(2)BE∥平面(3)平面BEF⊥平面[解析](1)因?yàn)槠矫娲怪庇谶@兩個(gè)平面的交線AD，所以ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為的中點(diǎn)，第22頁共90頁AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?BE∥平面(3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知ABCD.所以CD⊥PD.E和F分別是和的中點(diǎn)，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因?yàn)镃D⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.9、在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面為等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC4＝(1)求證：AC⊥平面(2)求四面體的體積；(3)線段上是否存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論．[解析](1)證明：在△ABC3，AB＝2，BC＝1，∴AC⊥BC.FBC.(2)解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD.第23頁共90頁在等腰梯形中可得∠BCD＝120°，CB＝DC＝1，∴FC＝1.∴S＝，4四面體的體積為：V＝S·FC＝.1∴3(3)線段上存在點(diǎn)M，且M為中點(diǎn)時(shí)，有FDM，證明如下：CE，與交于點(diǎn)N，連接MN.CDEF為正方形，所以N為中點(diǎn)．所以EA∥MN.因?yàn)?FDM，EA?FDM，EA∥平面FDM.所以線段上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM成立．50、a，b，m，n是四條不同的直線，其中a、b是異面直線，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①②③若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，則m∥n；若m∥a，n∥b，則是異面直線；若m與a，b都相交，n與a，b都相交，則m，n是異面直線．A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]對于①，過直線a上一點(diǎn)O作直線a∥b，則直線a，a確定平面α，因?yàn)閙⊥a，11m⊥a1m⊥α，同理n⊥α，因此直線a上取點(diǎn)A作直線與b其中正確的命題的個(gè)數(shù)是1，故選B.5設(shè)的()A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件第24頁共90頁[解析]m⊥α?nα[答案]Aα⊥β.n⊥β?m∥β或mβ?/n⊥β.52、a、b表示直線，α、β、γ表示平面．①②③④⑤若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；若?α，a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則α⊥β；若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a⊥b；若a不垂直于平面α，則a不可能垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線；若?α，mα，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β.其中為真命題的是__________．[答案][解析]對①可舉反例如圖，需b⊥β才能推出α⊥β.對③可舉反例說明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時(shí)，即可得到a，b不垂直；④對a只需垂直于α內(nèi)一條直線便可以垂直α內(nèi)無數(shù)條與之平行的直線．所以只有⑤是正確的．3、已知三棱柱ABC－ABC底面是邊長為6的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球表面②511112π，則該三棱柱的體積為________．[答案][解析]4πR＝12π，∴R＝3，△ABC外接圓半徑2，∴柱高h(yuǎn)＝2R－r＝2，3∴V＝×(23.454、已知正方體ABCD－ABCD的棱長為1，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD的外接111111球半徑R的取值范圍是______________．343，[答案]2[解析]當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)球半徑為R，球心到底面距離為h，則11第25頁共90頁R＋h＝133，3R－h(huán)＝1，∴R＝P與AC11424225如圖，在直三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC為等邊三角形，AB＝4，AA＝5，點(diǎn)M是BB的中11111(1)求證：平面AMC⊥平面C(2)求點(diǎn)A到平面A的距離．111[解析](1)證明：記與AC的交點(diǎn)為11∵∴直三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC為等邊三角形，AB＝4，AAM是BB的中點(diǎn)，11111＝MA＝MC＝MC＝.112因?yàn)辄c(diǎn)E是C的中點(diǎn)，所以ME⊥AC且ME⊥AC，從而ME⊥平面C111111MEAMC，所以平面ACC.1111(2)過點(diǎn)A作AH⊥ACH，由(1)知平面ACC，平面AMC∩平面CC＝AC，∴AH⊥平面CC111111111∴即為點(diǎn)A到平面A的距離．在△A中，∠AAC＝90°，AA＝5，AC＝4，∴AC＝41，∴AH＝5＝1111A到平面A的距離為.15如圖1Rt△ABCE在線段上，CE＝4.如圖2所示，將△BCD沿折起，使得平面AB.第26頁共90頁(1)求證：DE⊥平面BCD；(2)求三棱錐A－BDE的體積．解析](1)在圖1[∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.的平分線，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，∴CD＝2CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.則CD＋DE2＝EC，所以∠CDE＝90°，DE⊥DC.3∵又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?DE⊥平面BCD.(2)在圖2中，作BH⊥CD于H，因?yàn)槠矫鍭CD，平面BCD∩平面BHBCD，所以BH⊥平面1中，由條件得BH＝321××2×2sin120°×＝.113所以三棱錐A－BDE的體積V＝V＝S3322257、如圖，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－ABC中，AA＝AB＝2，D是BC的中點(diǎn)．1111(1)求證：AD；A到平面D的距離．1111[解析](1)證明：連接AB，交O，連接OD，11第27頁共90頁∵∵ABC－ABC是直三棱柱，∴ABBA是平行四邊形，∴O是AB的中點(diǎn)，111111D是BC的中點(diǎn)，∴OD∥AC，∵OD?D，A?D，∴A111111(2)由(1)知，O是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A到平面D的距離等于點(diǎn)B到平面D的距離，111∵ABC－ABC⊥平面BD＝＋BD＝1111111∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面B，∴AD⊥BD，111B到平面D的距離為d，∵VB－ABD＝VB－ABD，111·BB＝AD·BD·BBBD·BB25.∴∴·BBD·d，∴d＝＝11S△ABDAD·BDBD525.點(diǎn)A到平面D的距離為11558、P－ABC中分別是)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面C．平面PDF⊥平面D．平面PDE⊥平面[解析]∵D、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴BC∥DF，∵?平面PDF，∴BC∥平面A正確；在正四面體中，∵E為BCBC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面B正確；∵DF⊥平面平面第28頁共90頁P(yáng)DF⊥平面正確，故選9、l表示空間中的兩條直線，若p：l是異面直線，q：l，l不相交，則(5)121212A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件[解析]若不相交成立，121212即p是q的充分條件；反過來，若q：l，l不相交，則l，l可能平行，也可能異面，所以不能推出l，121212是異面直線，即pq的必要條件，故應(yīng)選0、如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是∠DAB＝60°，且邊長為a的菱形，側(cè)面為正三角6形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．[解析]為BG⊥AD.又平面ABCD，ABCD＝AD，∴(2)證明：連接為正三角形，G為的中點(diǎn)，得PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，∵PG∩BG＝G，?PGB，BG?PGB，∴∵PGB.PGB，∴AD⊥PB.第29頁共90頁(3)解：當(dāng)F為的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：取的中點(diǎn)F，連接中，F(xiàn)E∥PB，在菱形中，GB∥DE，∴AD⊥EF，AD⊥DE.∴AD⊥平面DEF，又ADABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.61、如圖，在三棱柱ABC－ABC中，AA⊥平面ABC，AC⊥BC，E在線段BC上，BE＝3EC，AC11111111＝＝4.(1)求證：BC⊥；(2)試探究：在上是否存在點(diǎn)F，滿足EF∥平面A，若存在，請指出點(diǎn)F11的位置，并給出證明；若不存在，說明理由．[分析]BC⊥ACA，111BC⊥AA，這由已知三棱柱中可證．11(2)假定存在，執(zhí)果索因找思路：假定上存在點(diǎn)F，使EF∥平面A，考慮矩形C中，E在BC上，且BE＝3EC，因此11111111取BC上點(diǎn)G，使BG＝3GC，則EG＝BB，從而EG∥平面A，因此平面EFG∥平面A，由面11111面平行的性質(zhì)定理知＝BGG作的平行線交于即所探求的點(diǎn)．GC[解析]∵AA⊥平面ABC，∴BC⊥AA.11?CCC，111111又CC，∴BC⊥AC.1111(2)解法一：當(dāng)AF＝3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A.11理由如下：在平面ABCE作EG∥AC交AB于G，連接1111111第30頁共90頁3∵BE＝3EC，∴EG＝AC，111143又AF∥AC且AF＝AC，∴AF∥EG且AF＝EG，11114∴∴四邊形為平行四邊形，∴EF∥AG，又?AA，1111EF∥平面A.11解法二：當(dāng)AF＝3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A.11理由如下：在平面BE作EG∥BB交BC于G，連接FG.111∵∵∴∴EG∥BB?A，BBA，∴EG∥平面A.11111111BE＝3EC，∴BG＝3GC，∴FG∥AB，又ABA?A，111111FG∥平面A.又EGEFG，F(xiàn)GEFG，EG∩FG＝G，11EFG∥平面A.∵EF?EFG，∴EF∥平面A.111162、3x＋4y＝b2＋y－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或B．2或－12C．－2或－12D．2或[答案]D[解析]1.直線與圓的位置關(guān)系；2.點(diǎn)到直線的距離公式．3x＋4y＝b與圓心為(1,1)，半徑為1的圓相切，∴|3＋4－b|＝1b＝2或12，故選∵3＋4263、已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為()A．(x＋1)＋(y－1)＝2C．(x－1)＋(y－1)＝2B．(x－1)2＋(y＋1)D．(x＋1)＋(y＋1)2第31頁共90頁[答案]B[解析]由題意知，圓心C既在與兩直線x－y＝0與x－y－4＝0平行且距離相等的直線上，又2a||2a－4|在直線x＋y＝0上，設(shè)圓心C(a，－a)，半徑為r，則由已知得|B.＝，解得a＝1，∴r＝2，故選22[方法點(diǎn)撥]1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系①d與半徑r??點(diǎn)在圓內(nèi)．②代數(shù)法：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)(或一般)方程的左邊，將所得值與r(或0)作比較，大于r(或時(shí)，點(diǎn)在圓外；等于r0)時(shí)，點(diǎn)在圓上；小于r0)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．2．直線與圓的位置關(guān)系l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)與圓：(x－a)＋(y－b)2＝r(r>0)的位置關(guān)系如下表.代數(shù)法：幾何法：Ax＋By＋C＝0|Aa＋Bb＋C|x－a2＋＝r22＋B2位置關(guān)系消元得一元二次方程，與r的大小關(guān)系根據(jù)判別式Δ的符號(hào)Δ＝03.求圓的方程有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的半徑和圓心，得出圓的方程；(2)代數(shù)法，求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立條件，利用“待定系數(shù)法”求出圓心和半徑．64、P(－3，－1)的直線lx＋y＝1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()ππππ]]]D．[0，]6363第32頁共90頁[解析]由題意可畫出示意圖：易知過點(diǎn)P的圓的兩切線為與處傾斜角為0，在Rt△POMππ中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝，66ππ∴，∵直線l傾斜角的范圍是[0，]．33[方法點(diǎn)撥]本題還可以設(shè)出直線l的方程P點(diǎn)代入得出k與bb，再將直線代入圓方程，利用Δ>0k的范圍，再求傾斜角的范圍．12．求直線的方程常用待定系數(shù)法．．兩條直線平行與垂直的判定可用一般式進(jìn)行判定，也可以用斜率判定．65、C：x＋y＝1C22－6x－8y＋m＝0外切，則)12A．21B．19C．9D．－11[答案][解析]本題考查了兩圓的位置關(guān)系．由條件知C：x＋y＝1，C：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圓心與半徑分別為(0,0)，(3,4)，r＝1，r2121＝25－m，由兩圓外切的性質(zhì)知，5＝1＋25－m，∴m＝9.方法點(diǎn)撥]圓與圓的位置關(guān)系表現(xiàn)形式幾何表現(xiàn)：圓心距d與r、r的[12位置關(guān)系d>r＋r2程組的解的情況d＝r＋r2一組實(shí)數(shù)解兩組不同實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解－r|<d<r＋r2121d＝|r－r≠r)1212第33頁共90頁0≤d<|r|(r≠r)1212166、一動(dòng)圓過點(diǎn)A(0,1)，圓心在拋物線2上，且恒與定直線l相切，則直線l的方程為()411A．x＝1B．x＝D．y＝－1[答案]D[解析]∵A(0,1)是拋物線2＝4yC在拋物線上，由拋物線的定義知|CA|等于C到準(zhǔn)線的距離，等于⊙C的半徑，∴⊙C與定直線l：y＝－1總相切．16＋y＝1相交于的面積為)2A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件12|k|[解析]O(0,0)到直線l：kx－y＋10＝0的距離d＝，弦長為|AB|＝21－d＝1，1＋k21＋k21|k|1∴＝×|AB|·d＝＝，∴k＝±1，因此當(dāng)“k＝1”時(shí)，“S＝”，故充分性成立．2k＋1221“＝”時(shí)，k也有可能為－1，∴必要性不成立，故選2168、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若2A＋sinB＝C，則直線ax－by＋c＝02＋y2所截得弦長為________．1c[解析]由正弦定理得＋b＝c，∴圓心到直線距離d＝＝＝c22，122a＋b2∴l(xiāng)＝2－d＝29－2＝269、已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)M(0,2)，且在x軸上截得弦長為4.設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C.求曲線C方程。解析：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為C(x，y)，根據(jù)題意得2＋2＝＋4，化簡得＝4y.第34頁共90頁2y20、設(shè)P是橢圓＋＝1＋y和(x－2)2＋y＝1795＋|PN|的最小值，最大值分別為(A．4,8B．2,6)C．6,8D．8,12[解析]如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知|PA|＋|PB|＝2a＝6，連接兩點(diǎn)，此時(shí)|PM|＋|PN|最小，最小值為|PA|＋|PB|－2R＝4；連接并延長，分別與兩圓相交于M′、N′兩點(diǎn)，此時(shí)|PM′|＋|PN′|最大，最大值為|PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分別為4、8.[方法點(diǎn)撥]涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點(diǎn)距離的問題或焦點(diǎn)弦問題，及到拋物線焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)距離的問題，可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義．π71、以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，兩坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線C的離3心率為()B．223C.23D．2A．2或333解析](1)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x－y2y2[2b2bbπc＝±x，所以＝tan＝3，所以b＝3a，c＝＋b＝2a，故雙曲線C的離心率e＝＝aa3aa(2)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由題意知雙曲線C：2－2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±a2b2baπc＝2.＝tan＝3，所以3b，c＝＋b＝2b，故雙曲線C的離心率e＝＝b3a3b3第35頁共90頁綜上所述，雙曲線C的離心率為223.3已知雙曲線2－2＝1(a>0，b>0)的左右焦點(diǎn)分別為FFF為直徑的圓被直線＋截得xy71212a2b2ab的弦長為6a，則雙曲線的離心率為()A．3B．2326axya＋b2[解析]由已知得：O(0,0)到直線＋＝1的距離為：d＝，由題意得：22＋d2＝r2即ab6aa＋b22＝c2－c＋ae－2＝2或e＝55122＋222＝[方法點(diǎn)撥]b用ca、c代換，求的值；另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系．a(chǎn)2．注意圓錐曲線的對稱性在解題中的應(yīng)用．73、設(shè)拋物線＝8y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線的傾斜角等于60°，那么|PF|等于()A．23B．43C.8D．43[解析]在△APF中，|PA|＝|PF|，|AF|sin60°＝4，∴|AF|＝83，又∠PAF＝∠PFA＝30°，過P作31|AF||BF|8＝.2⊥于B，則|PF|＝＝cos30°3cos30°74、從拋物線2＝8x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△PFM的面積為()第36頁共90頁：s.sanA．56B．65C．102D．52[解析]拋物線的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.設(shè)P(m，n)，則|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入11拋物線方程得n＝24，故|n|＝2S＝|PM|·|n|＝×5×26＝52275、過原點(diǎn)的直線l與雙曲線C：x2－y2＝1(a>0，b>0)的左右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)(－3，0)2b2→→是雙曲線CC的方程是________．[解析]由已知得：c＝F，則四邊形B為矩形，∴|AB|＝2c＝211|＋|FB|22|AB|2＋|FB|2，∴2即||AF|－|AF1||＝22，∴a＝2∴2＝1，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－y276、已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C：2＋2＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C與C的公共弦的1212a2b2→→長為26.過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，與C相交于C，D兩點(diǎn)，且AC與BD同向．求C的方122[解析](1)由C＝4y知其焦點(diǎn)FF也是橢圓Ca－b212①；又C與C的公共弦長為26，C與C都關(guān)于y軸對稱，且C的方程為：x2＝4y，由此易知C與121211396C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(±)，∴＋＝1②，24a2b222聯(lián)立①②得a＝9，b2C的方程為＋＝1.298第37頁共90頁：s.san177、己知集合A＝{x|x－3x＋2<0}，B＝{x|log}，則()42A．A∩B＝?B．BAC．A∩(?B)＝RD．A?B1[解析]A＝{x|x－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，B＝{x|log}＝{x|x>2}，∴A∩B＝?.42[方法點(diǎn)撥]解不等式或由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍是高考常見題型．．解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解．有理有據(jù)、層次清楚地求解．12347．解不等式與集合結(jié)合命題時(shí)，先解不等式確定集合，再按集合的關(guān)系與運(yùn)算求解．．分段函數(shù)與解不等式結(jié)合命題，應(yīng)注意分段求解．8、設(shè)a、b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析](1)若0<|a|<|b|，∴∴∴a>ba|a|>b|b|成立．(2)若a>0，22a≥0>－b2，<b，∴(a＋b)(a－b)<0，∴a>b，綜上當(dāng)a|a|>b|b|時(shí)有a>b成立，故選C．21b79、若直線2ax＋by－2＝0(a、b∈R)平分圓x＋y－2x－4y－6＝0，則＋的最小值是()aA．1B．5C．422[解析]直線平分圓，則必過圓心．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)＋(y－2)∴∴C(1,2)在直線上?2a＋2b－2＝0a＋b＝1.2121aa＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋22，故選abababab第38頁共90頁1280、若實(shí)數(shù)a，b＋＝ab，則的最小值為()abA．2B．2C．22D．4[解析]考查基本不等式．121212根據(jù)＋＝＋≥2×求解ababab1a＋21212×＝2ab2＝ab，∴a＞0，b＞0，∵ab＝＋≥2，∴ab≥22，(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取bab等號(hào))，所以的最小值為22，故選[方法點(diǎn)撥]1.用基本不等式≥2時(shí)候等號(hào)成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、湊”、“1的代換”等技巧的應(yīng)用．2.不等式恒成立問題一般用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解或用賦值法討論求解．xy81、若直線＋＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于()abA．2B．3C．4D．51111[答案]C[解析]考查基本不等式．由已知得，＋＝1，a>0，b>0，則a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋ababba＋a≥2＋2ba·＝4，當(dāng)＝a＝b＝2時(shí)取等號(hào)．a(chǎn)bbabab182、a>0，b>0，且2a＋b＝4，則的最小值為()14C．1A．B．4D．22答案][解析]∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，∴≥1，等號(hào)在a＝1，b＝2時(shí)成1[2第39頁共90頁x－4y≤－383、設(shè)z＝2x＋y，其中變量x，y滿足條件3x＋5y≤25.若z的最小值為m的值為()x≥mA．1B．2C．3D．4x－4y≤－3[解析]作出不等式組z＝2x＋y的最小值為3x＋5y≤25ml0符合題意．方法點(diǎn)撥]1.線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是由最優(yōu)解確定目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題可通過驗(yàn)證解決．＝[23驟：①作圖，②平移目標(biāo)函數(shù)線，③解有關(guān)方程組求值，確定最優(yōu)解(或最值等)．x－2≤0，84、設(shè)變量x，y滿足約束條件x－2y≤0，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為()x＋2y－8≤0，A．7B．8C．9D．1415[解析]z＝3x＋y＝(x－2)＋(x＋2y－8)＋9≤9，當(dāng)x＝2，y＝3時(shí)取得最大值9，故選C．此題也22可畫出可行域如圖，借助圖象求解．第40頁共90頁3x＋y－6≥0，85、設(shè)變量x、y滿足約束條件x－y－2≤0，則目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為()y－3≤0，A．－7B．－4C．1D．23x＋y－6≥0，解析]由滿足的約束條件x－y－2≤0，y－3≤0，[由圖可知當(dāng)直線z＝y(tǒng)－2xB(5,3)時(shí)，z最小值為3－2×5＝－7.x＋y－2≥0，86、若x、ykx－y＋2≥0，且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k的值為()y≥0，11A．2B．－222[解析]本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用．若k≥0，z＝y(tǒng)－x沒有最小值，不合題意．若k<0，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示．2由圖可知，z＝y(tǒng)－x在點(diǎn)(－，0)處取最小值－4，k第41頁共90頁21故0－(－)＝－4，解得k＝－，即選項(xiàng)D正確．k2x＋y－1≥0x－1≤0ax－y＋1≥08為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于a的值為()A．－11B．3C．9D．9或－11[解析]由題意知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域，設(shè)為△ABC，其中A(1,0)，B(0,1)，C(1,11＋a>－1，因?yàn)镾＝5，所以×(1＋a)×1＝5，解得a＝9.2x＋1－y≥088、已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y－4≤0，若目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)my≥m的值為()A．4B．3C．212x＋1－y≥0[解析]x＋y－4≤0表示的可行域如圖中陰影部分所示．第42頁共90頁x＋1－y＝0y＝m將直線向上平移至過點(diǎn)x＋y－4＝0得得z＝2(m－1)＋m＝3m－2，z＝2(4－m)y＝m＋m＝8－m，所以z－z＝8－m－(3m－2)＝10－4m＝2，解得m＝2.x＋y≥3，9、設(shè)變量x、y滿足約束條件x－y≥－1，x－y≤3，8則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y2的最大值為________．2x＋y≥3，解析]約束條件x－y≥－1，x－y≤3，[畫出可行域如圖，2x＝4，y＝5時(shí)，z有最大值，z＝4＋5＝41.90、x、y的取值如下表所示：xy0134.4從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且y＝0.8x＋a，則a＝()A．0.8B．1C．1.2D．1.5＝0＋1＋3＋4＝0.9＋1.9＋3.2＋4.44y＝0.8x＋a過樣本中xy[解析]4心點(diǎn)(2,2.6)所以2.6＝0.8×2＋a，解得a＝1.91、5第43頁共90頁x(萬元)y(萬元)7.58.08.59.8^^^^^^yx根據(jù)上表可得回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為萬元家庭的年支出為()A．11.4B．11.8C．12.0D．12.28.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9＝10(萬元)，x[解析]考查線性回歸方程．由已知得56.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8＝8(萬元)，故a＝8－0.76×10＝0.4.y5^^所以回歸直線方程為y＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為萬元家庭年支出為y＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)，故選B．92、()A．74.5B．75C．75.55＋76D．76[解析]中位數(shù)為729某中學(xué)為了檢驗(yàn)得到樣本頻率分布直方圖如下圖所示，則考試成績的眾數(shù)大約為()第44頁共90頁A．55答案][解析]最高小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)．方法點(diǎn)撥]1.莖葉圖C．75D．85[[當(dāng)數(shù)據(jù)有兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖．當(dāng)數(shù)據(jù)有三位有效數(shù)字，前兩位相對比較集中時(shí)，常以前兩位為莖，第三位(個(gè)位)為葉(其余類推)．2．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)(或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù))．(2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)．34．求中位數(shù)、平均數(shù)、方差主要依據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算．中位數(shù)的估計(jì)值兩側(cè)直方圖的面積相等；最高小矩形中點(diǎn)對應(yīng)數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．4、已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(9)A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)[解析]因?yàn)樽兞縳和y滿足關(guān)系x與yy與z正相關(guān)，不妨設(shè)z＝ky＋b(k>0)，則將y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x與z負(fù)相關(guān)，綜上可知，應(yīng)選第45頁共90頁9某網(wǎng)絡(luò)廣告AA兩個(gè)網(wǎng)站某月中天的日訪問量n(單位：萬次)，整理后得到如下莖葉圖，已知A公司要從網(wǎng)站日訪問量的平均值和穩(wěn)定性兩方面進(jìn)行考量選擇．(1)請說明A公司應(yīng)選擇哪個(gè)網(wǎng)站；(2)現(xiàn)將抽取的樣本分布近似看作總體分布，A公司根據(jù)所選網(wǎng)站的日訪問量n進(jìn)行付費(fèi)，其付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：選定網(wǎng)站的日訪問量n(單位：萬次)A公司的付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位：元/日)25≤n≤35求A公司每月(按天計(jì))應(yīng)付給選定網(wǎng)站的費(fèi)用S.[解析](1)由莖葉圖可知x＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，1S2＝×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(32甲－－2＋(35－30)＋(45－30)2x＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，1S2＝×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36乙2＋(35－30)＋(40－30)2xx∵＝，S2>S2，∴A公司應(yīng)選擇乙網(wǎng)站；乙甲乙第46頁共90頁(2)由(1)得A公司應(yīng)選擇乙網(wǎng)站，由題意可知乙網(wǎng)站日訪問量n<25的概率為0.3，日訪問量25≤n≤5的概率為0.4，日訪問量n>35的概率為3∴A公司每月應(yīng)付給乙網(wǎng)站的費(fèi)用S＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1000×0.3)＝2190096、某個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站為了更好地滿足消費(fèi)者需求，對在其網(wǎng)站發(fā)布的團(tuán)購產(chǎn)品展開了用戶調(diào)查，每個(gè)用戶在使用了團(tuán)購產(chǎn)品后可以對該產(chǎn)品進(jìn)行打分，最高分是分．上個(gè)月該網(wǎng)站共賣出了份團(tuán)購產(chǎn)品，所第三組[4,6)，第四組[6,8)，第五組[8,10]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)分別求第三，四，五組的頻率；(2)該網(wǎng)站在得分較高的第三，四，五組中用分層抽樣的方法抽取了6個(gè)產(chǎn)品作為下個(gè)月團(tuán)購的特惠產(chǎn)品，某人決定在這6個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)購買，求他抽到的兩個(gè)產(chǎn)品均來自第三組的概率．[解析](1)第三組的頻率是0.050×(2)設(shè)“抽到的兩個(gè)產(chǎn)品均來自第三組”為事件A，2由題意可知，從第三、四、五組中分別抽取3個(gè)，2個(gè)，1不妨設(shè)第三組抽到的是A，A，A；第四組抽到的是B，B；第五組抽到的是C，所含基本事件總123121數(shù)為：{A，1213231112112122213B}，{A，B}，{A，C}，{B}，{B，C}，{B}1323112112131P(A)＝＝.5第47頁共90頁97、某市教育局邀請教育專家深入該市多所中小學(xué)，開展聽課、訪談及隨堂檢測等活動(dòng)，他們把收集到的節(jié)課分為三類課堂教學(xué)模式，教師主講的為A模式，少數(shù)學(xué)生參與的為B模式，多數(shù)學(xué)生參與的為C模式，A、B、C三類課的節(jié)數(shù)比例為312(1)為便于研究分析，教育專家將A模式稱為傳統(tǒng)課堂模式，B、C統(tǒng)稱為新課堂模式，根據(jù)隨堂檢測結(jié)果，把課堂教學(xué)效率分為高效和非高效，根據(jù)檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)得到如下2×2列聯(lián)表(單位：節(jié))非高效新課堂模式傳統(tǒng)課堂模式請根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)回答：有沒有99%的把握認(rèn)為課堂教學(xué)效率與教學(xué)模式有關(guān)？并說明理由．(2)教育專家采用分層抽樣的方法從收集到的節(jié)課中選出節(jié)課作為樣本進(jìn)行研究，并從樣本中的B模式和C模式課堂中隨機(jī)抽取2節(jié)課，求至少有一節(jié)課為C模式課堂的概率．參考臨界值有：P(K≥k)010.828nad－bc2參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.c＋da＋cb＋d[解析](1)由列聯(lián)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算隨機(jī)變量2的觀測值為：60×50－40×302∵＝＝9>6.63560＋4030＋5060＋3040＋50由臨界值表P(k≥6.635)≈0.010，∴有99%的把握認(rèn)為課堂效率與教學(xué)模式有關(guān)．(2)樣本中的B模式課堂和C模式課堂分別是42分別記為B、B、C，從中取出2節(jié)課共有種情況：123412)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，C)，(B，1112131421222324121第48頁共90頁B)，(B，B)，(B)，(B)，(B)，(B，B)21314232434至少有一節(jié)課為C模式課堂的事件為9種11121314212223241293∴至少有一節(jié)課為C模式課堂的概率為＝.5y≤x，若不等式組y≥－x，x－y－3≤0.9表示的平面區(qū)域?yàn)镸，x＋y所表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)2域M內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為()ππ8π6π3A．B．C．[解析]如圖，不等式組表示的平面區(qū)域M為△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S＝3，πππ4N在M中的部分面積為，∴所求概率P＝＝.43[方法點(diǎn)撥]1.當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積、弧長、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解；2需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．3第49頁共90頁公式求解．9、在長為10cm的線段上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段的長，則該矩形9面積小于24cm2的概率為(1)A．B．1C．2D．46335[解析]設(shè)線段的長為－x)cm2，由x(10－x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故該矩形面積小于4cm2的概率為＋4＝，故選D．425100、在區(qū)間[1,6]上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x，使得2∈[2,4]的概率為()1B．1C．12A．6535由2∈[2,4]知1≤x≤2，∴P(2∈[2,4]