數(shù)學(xué)人教A版必修4問題導(dǎo)學(xué)1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用問題導(dǎo)學(xué)一、與函數(shù)圖象有關(guān)的問題活動與探究1已知電流I與時間t的關(guān)系為I＝Asin(ωt＋φ)．(1)如圖所示的是I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段eq\f(1,150)秒的時間內(nèi)，電流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？遷移與應(yīng)用已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一系列對應(yīng)值如下表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(5π,6)eq\f(4π,3)eq\f(11π,6)eq\f(7π,3)eq\f(17π,6)y－1131－113(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求出函數(shù)f(x)的一個解析式；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，若函數(shù)y＝f(kx)(k＞0)的周期為eq\f(2π,3)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時，方程f(kx)＝m恰有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．正確運用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，還要綜合應(yīng)用相關(guān)學(xué)科的知識來幫助理解具體問題．二、函數(shù)解析式的應(yīng)用活動與探究2一個勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪每12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，最低點距地面2米，最高點距地面18米，P是摩天輪輪周上的定點，點P在摩天輪最低點開始計時，t分鐘后P點距地面高度為h(米)，設(shè)h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，則下列結(jié)論錯誤的是()A．A＝8B．ω＝eq\f(π,6)C．φ＝eq\f(π,2)D．B＝10遷移與應(yīng)用設(shè)y＝f(t)是某港口水的深度y(m)關(guān)于時間t(時)的函數(shù)，其中0≤t≤24，下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)y＝f(x)的圖象可近似地看成函數(shù)y＝k＋Asin(ωt＋φ)的圖象，下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是()A．y＝12＋3sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋π))，t∈[0,24]C．y＝12＋3sineq\f(π,12)t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,2)))，t∈[0,24]解決該類題目的關(guān)鍵在于如何把實際問題三角函數(shù)模型化，而散點圖起了關(guān)鍵的作用．解決這類題目的通法如下：當(dāng)堂檢測1．電流I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，則當(dāng)t＝eq\f(1,200)s時，電流I為()A．5AB．2.5AC．2．如圖所示為一簡諧振動的圖象，則下列判斷正確的是()A．該質(zhì)點的振動周期為0.7sB．該質(zhì)點的振幅為5C．該質(zhì)點在0.1s和0.5s時振動速度最大D．該質(zhì)點在0.3s和0.7s時振動速度為零3．如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離scm和時間ts的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么單擺來回擺動一次所需的時間為__________．4．振動量y＝eq\r(2)sin(ωx＋φ)(φ＞0)的初相和頻率分別為－π和eq\f(3,2)，則它的相位是__________．提示：用最精煉的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進行識記。答案：課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動與探究1思路分析：(1)根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)求T，進而得出ω，根據(jù)圖象過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)，0))得出φ，從而得出函數(shù)解析式．(2)由題意得出周期T不超過eq\f(1,150)是關(guān)鍵．解：(1)由圖知A＝300，設(shè)t1＝－eq\f(1,900)，t2＝eq\f(1,180)，則周期T＝2(t2－t1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)＋\f(1,900)))＝eq\f(1,75)．∴ω＝eq\f(2π,T)＝150π．又當(dāng)t＝eq\f(1,180)時，I＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150π·\f(1,180)＋φ))＝0．而|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)．故所求的解析式為I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6)))．(2)依題意，周期T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150)(ω＞0)，∴ω≥300π＞942．又ω∈N*，故所求最小正整數(shù)ω＝943．遷移與應(yīng)用解：(1)設(shè)f(x)的最小正周期為T，得T＝eq\f(11π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2π．由T＝eq\f(2π,ω)得ω＝1．又解得令ω·eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，即eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)，解得φ＝－eq\f(π,3)．∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋1．(2)∵函數(shù)y＝f(kx)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))＋1的周期為eq\f(2π,3)，又k＞0，∴k＝3．令t＝3x－eq\f(π,3)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))．如圖，sint＝s在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上有兩個不同的解的條件是s∈eq\b\lc\[\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(\r(3),2)，1))，∴方程f(kx)＝m在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時恰好有兩個不同的解的條件是m∈[eq\r(3)＋1,3)，即實數(shù)m的取值范圍是[eq\r(3)＋1,3)．活動與探究2思路分析：將題目中出現(xiàn)的量與三角函數(shù)解析式中A，ω，φ，B相聯(lián)系，從而解決問題．C解析：由摩天輪最低點距地面2米，最高點距地面18米，得解得因此A，D都正確；又由摩天輪每12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，得T＝12，而T＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(π,6)，則B正確；又由P是摩天輪輪周上的定點，從P在摩天輪最低點開始計時，得8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×0＋φ))＋10＝2，所以sinφ＝－1，而φ∈[0,2π)，所以φ＝eq\f(3π,2)，所以C錯誤．遷移與應(yīng)用A解析：∵y＝f(x)的圖象可以近似地看成y＝k＋Asin(ωt＋φ)的圖象，∴y＝f(x)具有周期性．當(dāng)t＝3,15時，y取得最大值，∴T＝15－3＝12，則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，∴排除C、D．下面將點(3,15.1)的坐標分別代入A、B驗證．將t＝3代入A，得y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3))＝15；代入B，得y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3＋π))＝9，與15.1相差太多．∴應(yīng)選A．【當(dāng)堂檢測】1．B解析：將t＝eq\f(1,200)代入I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))得I＝2.5A．2．B解析：由圖知該質(zhì)點振動的周期要大于0.7s，振