解析幾何專題　吳學(xué)生 最后

專題5--解析幾何一、高考動(dòng)向：解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，從近幾年的高考試題看，約占總分的20%，一般是一大（解答題）三小（選擇題、填空題）或一大兩小。小題以中檔題居多，主要是考查直線、圓和圓錐曲線的性質(zhì)及線性規(guī)劃問題，一般可利用數(shù)形結(jié)合方法解決。大題一般以直線和曲線的位置關(guān)系為命題背景，并結(jié)合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、平面向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查軌跡方程、探求曲線性質(zhì)、求參數(shù)取值范圍、求最值與定值、探求存在性問題。對求軌跡問題，主要涉及圓錐曲線位置關(guān)系的題目，要充分應(yīng)用等價(jià)化歸的思想方法把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)（坐標(biāo)）問題，進(jìn)而利用韋達(dá)定理處理；對于最值、定值問題，常采用①幾何法：利用圖形性質(zhì)來解決，②代數(shù)法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值，確定某幾何量的值域或取值范圍，一般需要建立方程或不等式，或利用圓錐曲線的有界性來求解；對于圓錐曲線中的“存在性”型的題目，可以先通過對直線特殊位置的考查（如直線垂直軸）探求出可能的結(jié)論，然后再去解決更一般的情況，這樣也可以實(shí)現(xiàn)“分步得分”的解題目的。思想方法上注意定義法、消參法、相關(guān)點(diǎn)法、解析法、解方程（組）、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等。二、易錯(cuò)易漏(1)求解直線與圓錐曲線問題時(shí)，忽視“△”的作用．(2)忽視數(shù)形結(jié)合的作用，導(dǎo)致繁雜的計(jì)算量與低效的解題．(3)對于綜合問題，未能化繁為簡，化難為易，有效轉(zhuǎn)化．（4）.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線l代入曲線C的方程，消去一個(gè)字母(如y)得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，則(1)當(dāng)a0時(shí)，則有>0，l與C相交；=0，l與C相切；<0，l與C相離．(2)當(dāng)a=0時(shí)，得到一個(gè)一元一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則l平行于雙曲線的漸近線；若C為拋物線，則l平行于拋物線的對稱軸．需要注意的是，當(dāng)直線與雙曲線或拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線或拋物線可能相切也可能相交．三、規(guī)律技巧提煉：1．確定直線的幾何要素，一個(gè)是它的方向，一個(gè)是直線過一個(gè)點(diǎn)．在解析幾何里面用得最廣泛的就是直線方程的點(diǎn)斜式．2．求圓的方程要確定圓心的坐標(biāo)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo))和圓的半徑，這實(shí)際上是三個(gè)獨(dú)立的條件，只有根據(jù)已知把三個(gè)獨(dú)立條件找出才可能通過解方程組的方法確定圓心坐標(biāo)和圓的半徑，其中列條件和解方程組都要注意其準(zhǔn)確性．3．直線被圓所截得的弦長是直線與圓相交時(shí)產(chǎn)生的問題，是直線與圓的位置關(guān)系的一個(gè)衍生問題．解決的方法，一是根據(jù)平面幾何知識(shí)結(jié)合坐標(biāo)的方法，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離是d，則圓被直線所截得的弦長l＝2eq\r(r2－d2)；二是根據(jù)求一般的直線被二次曲線所截得的弦長的方法解決．4．離心率的范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個(gè)不等式確定a，c的關(guān)系．橢圓雙曲線5．拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.同樣可得拋物線y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py類似的性質(zhì)．6．解決直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題方法是：設(shè)而不求，根據(jù)韋達(dá)定理，進(jìn)行整體代入．即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，而|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)等，根據(jù)將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后的一元二次方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入．7．求曲線方程的基本方法有直接法，定義法(或者待定系數(shù)法)，代入法，參數(shù)法．8．定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．9．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理．考點(diǎn)一曲線（軌跡）方程的求法已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x-3）2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.2、如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.3、在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（0，－1），B（0,1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足①,②==③∥（1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（,0），已知∥,∥且·=0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.考點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)4、F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)已知四邊形為平行四邊形，（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程考點(diǎn)三直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題題型1直線與圓錐曲線相交弦問題5、已知橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長為2，且與拋物線y2=4x有共同的焦點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線y=3分別交于G，H兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)求線段GH的長度的最小值；(3)在線段GH的長度取得最小值時(shí)，橢圓C上是否存在一點(diǎn)T，使得△TPA的面積為1，若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．題型2圓錐曲線中的合情推理6、已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線C過點(diǎn)Q(2，)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F1.(1)求雙曲線C的方程；(2)命題：過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則為定值，且定值是.命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對稱軸的交點(diǎn)M，AB的長度與F、M兩點(diǎn)間距離的比值．AB的長度與F、M兩點(diǎn)間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于雙曲線C的類似的正確命題，并加以證明．試推廣(2)中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的統(tǒng)一的一般性命題(不必證明)題型三參數(shù)取值范圍問題考點(diǎn)四圓錐曲線的應(yīng)用．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。8、（雙曲線）設(shè)雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（2）求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；（3）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（Ⅰ）中的點(diǎn)）的取值范圍。（2）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的有機(jī)聯(lián)系。9．P是拋物線C：上一點(diǎn)，直線L過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q。（Ⅰ）若直線L與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）若直線L不過原點(diǎn)且與X軸交于S，與Y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍；四．專題訓(xùn)練：1、（2022年全國I高考）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.2、(2022江西理)是雙曲線：上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線的斜率之積為．（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值．3、（2022年全國III高考）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.4.【2022課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).5.(2022江西理)是雙曲線：上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線的斜率之積為．（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值．6.(2022福建理)如下圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率.過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為8.（Ⅰ）求橢圓的方程。（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.7.(2022北京理)已知曲線（Ⅰ）若曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，曲線與y軸交點(diǎn)為A,B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線交于不同兩點(diǎn)M,N，直線與直線BM交于點(diǎn)G，求證：三點(diǎn)共線。8.(2022山東理)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接.設(shè)的角平分線交的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.9.【2022高考新課標(biāo)1，理20】在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線(＞0)交與M,N兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.10.【2022天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.11.【2022高考廣東理第20題】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.12【2022高考江蘇第18題】如圖：為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)劃要求，新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任一點(diǎn)的距離均不少于80m，經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60處，點(diǎn)O位于點(diǎn)O正東方向170處，（OC為河岸），.（1）求新橋BC的長；（2）當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？練習(xí)題1..【2022高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長同時(shí)增加個(gè)單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A．對任意的， B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C．對任意的， D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，2.【2022高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）3.【2022高考重慶，理10】設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A、B、C、D、4.【2022高考天津，理6】已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()（A）（B）（C）（D）5.【2022高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，，，其中點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（）A.B.C.D.6.【2022高考上海，理9】已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和．若的漸近線方程為，則的漸近線方程為．7.【2022高考山東，理15】平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為.8.【2022江蘇