極坐標(biāo)及參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)+綜合訓(xùn)練題

.-.--可修編..極坐標(biāo)與參數(shù)方程【考綱知識(shí)梳理】一、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取一樣的長(zhǎng)度單位,如圖(2)所示:(2)互化公式:設(shè)M是坐標(biāo)平面任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是,于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)M直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下,由確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角.二、參數(shù)方程3．圓的參數(shù)設(shè)M，那么。圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4．橢圓的參數(shù)方程，其中參數(shù)稱為離心角；5．雙曲線的參數(shù)方程，其中。6．拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程為7．直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為：。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任一點(diǎn)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，＞0；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，＜0；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點(diǎn)，直線向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其單位長(zhǎng)度與原直角坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度一樣。由此，易得參數(shù)t具有如下的性質(zhì)：假設(shè)直線上兩點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，那么性質(zhì)一：A、B兩點(diǎn)之間的距離為，特別地，A、B兩點(diǎn)到的距離分別為性質(zhì)二：A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，假設(shè)是線段AB的中點(diǎn)，那么，反之亦然。直線的參數(shù)方程的幾何意義應(yīng)用一、求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)例1．一個(gè)小蟲從P〔1，2〕出發(fā)，它在x軸方向的分速度是?3，在y軸方向的分速度是4，問小蟲3s后的位置Q。分析：考慮t的實(shí)際意義，可用直線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\al(x=x0+at，,y=y0+bt))(t是參數(shù))。解：由題意知那么直線PQ的方程是eq\b\lc\{(\a\al(x=1?3t，,y=2+4t))，其中時(shí)間t是參數(shù)，將t=3s代入得Q〔?8，12〕。例2．求點(diǎn)A〔?1，?2〕關(guān)于直線l：2x?3y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)。解：由條件，設(shè)直線AA'的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\al(x=?1?eq\f(2,eq\r(13))t，,y=?2+eq\f(3,eq\r(13))t))(t是參數(shù))，∵A到直線l的距離d=eq\f(5,eq\r(13))，∴t=AA'=eq\f(10,eq\r(13))，代入直線的參數(shù)方程得A'(?eq\f(33,13)，eq\f(4,13))。點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的根本方法是先作垂線，求出交點(diǎn)，再用中點(diǎn)公式，而此處那么是充分利用了參數(shù)t的幾何意義。二求定點(diǎn)到過定點(diǎn)的直線與其它曲線的交點(diǎn)的距離例1.設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)(1,5),傾斜角為,1)求直線和直線的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離;2)求直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)的距離的和與積.解:直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))1)將直線的參數(shù)方程中的x,y代入,得t=.所以,直線和直線的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2)將直線的方程中的x,y代入,得設(shè)此方程的兩根為,那么==10.可知均為負(fù)值,所以=點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。三求直線與曲線相交的弦長(zhǎng)例1過拋物線的焦點(diǎn)作斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|.解因直線的傾角為，那么斜率為－1，又拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，那么可設(shè)AB的方程為(為參數(shù))代入整理得由韋達(dá)定理得t1＋t2=，t1t2=－16。∴===.例2直線L:x+y-1=0與拋物線y=交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積.解:因?yàn)橹本€L過定點(diǎn)M,且L的傾斜角為,所以它的參數(shù)方程是(t為參數(shù))即(t為參數(shù))把它代入拋物線的方程,得解得由參數(shù)t的幾何意義得，點(diǎn)評(píng):此題的解答中,為了將普通方程化為參數(shù)方程,先判定點(diǎn)M(-1,2)在直線上,并求出直線的傾斜角,這樣才能用參數(shù)t的幾何意義求相應(yīng)的距離.這樣的求法比用普通方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用距離公式求交點(diǎn)距離簡(jiǎn)便一些.四、求解中點(diǎn)問題例1,經(jīng)過點(diǎn)P(2,0),斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).解:設(shè)過點(diǎn)P(2,0)的直線AB的傾斜角為,由可得:cos,所以,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入,整理得中點(diǎn)M的相應(yīng)的參數(shù)是=，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng):在直線的參數(shù)方程中,當(dāng)t>0,那么的方向向上;當(dāng)t<0,那么的方向向下,所以A,B中點(diǎn)的M所對(duì)應(yīng)的t的值等于,這與二點(diǎn)之點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)有點(diǎn)一樣.例2．雙曲線eqx2?\f(y2,2)=1，過點(diǎn)P〔2，1〕的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1+t2=0。解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，那么直線P1P2的方程是eq\b\lc\{(\a\al(x=x0+tcosθ，,y=y0+tsinθ))(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2θ?sin2θ)t2+2(2x0cosθ?y0sinθ)t+(2x02?y02?2)=0，由題意t1+t2=0，即2x0cosθ?y0sinθ=0，得eqtanθ=\f(2x0,y0)。又直線P1P2的斜率eqk=tanθ=\f(y?y0,x?x0)，點(diǎn)P〔2，1〕在直線P1P2上，∴eq\f(1?y0,2?x0)=\f(2x0,y0)，即2x2?y2?4x+y=0為所求的軌跡的方程。五,求點(diǎn)的軌跡問題例1．雙曲線，過點(diǎn)P〔2，1〕的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1+t2=0。解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，那么直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2θ?sin2θ)t2+2(2x0cosθ?y0sinθ)t+(2x02?y02?2)=0，由題意t1+t2=0，即2x0cosθ?y0sinθ=0，得。又直線P1P2的斜率，點(diǎn)P〔2，1〕在直線P1P2上，∴，即2x2?y2?4x+y=0為所求的軌跡的方程。六、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離例1．直線l過點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\al(x=1?t，,y=2+t))(t是參數(shù))，直線l與直線2x+y?2=0交于點(diǎn)Q，求PQ。解：將直線l的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式eq\b\lc\{(\a\al(x=1?eq\f(eq\r(2),2)t'，,y=2+eq\f(eq\r(2),2)t'))，代入2x+y?2=0得t'=eq\f(3eq\r(2),2)，∴PQ=|t'|=eq\f(3eq\r(2),2)。點(diǎn)評(píng)：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯(cuò)，一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。例2．經(jīng)過點(diǎn)P(?1，2)，傾斜角為eq\f(,4)的直線l與圓x2+y2=9相交于A，B兩點(diǎn)，求PA+PB和PA·PB的值。解：直線l的方程可寫成eq\b\lc\{(\a\al(x=?1+eq\f(eq\r(2),2)t，,y=2+eq\f(eq\r(2),2)t))，代入圓的方程整理得：t2+eq\r(2)t?4=0，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2，那么t1+t2=?eq\r(2)，t1·t2=?4，由t1與t2的符號(hào)相反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1?t2|=eq\r((t1+t2)2?4t1·t2)=3eq\r(2)，PA·PB=|t1·t2|=4。點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。七、求直線與曲線相交弦的長(zhǎng)例1．拋物線y2=2px，過焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：eqAB=\f(2p,sin2θ)。分析：弦長(zhǎng)AB=|t1?t2|。解：由條件可設(shè)AB的方程為eq\b\lc\{(\a\al(x=eq\f(p,2)+tcosθ，,y=tsinθ))(t是參數(shù))，代入拋物線方程，得t2sin2θ?2ptcosθ?p2=0，由韋達(dá)定理：eq\b\lc\{(\a\al(t1+t2=eq\f(2pcosθ,sin2θ)，,t1·t2=?eq\f(p2,sin2θ)))，∴AB=|t1?t2|=eq\r((t1?t2)2?4t1·t2)=eq\r(eq\f(4p2cos2θ,sin4θ)+eq\f(4p2,sin2θ))=eq\f(2p,sin2θ)。例2．橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)FA=2FB，求那么橢圓的離心率。分析：FA=2FB轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的t1=?2t2或|t1|=2|t2|。解：設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1，左焦點(diǎn)F1〔c，0〕，直線AB的方程為eq\b\lc\{(\a\al(x=?c+eq\f(1,2)t，,y=eq\f(eq\r(3),2)t))，代入橢圓整理可得：(eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2)t2?b2ct?b4=0，由于t1=?2t2，那么eq\b\lc\{(\a\al(t1+t2=eq\f(b2c,eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2)=?t2①，,t1·t2=?eq\f(?b4,eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2)=?2t22②))，①2×2+②得：eq2c2=eq\f(1,4)b2+eq\f(3,4)a2，將b2=a2?c2代入，8c2=3a2+a2?c2，得eqe2=\f(c2,a2)=\f(4,9)，故e=eq\f(2,3)。在研究線段的長(zhǎng)度或線段與線段之間的關(guān)系時(shí)，往往要正確寫出直線的參數(shù)方程，利用t的幾何意義，結(jié)合一些定理和公式來解決問題，這是直線參數(shù)的主要用途；通過直線參數(shù)方程將直線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用同一參變量t來表示，可以將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題來求解，表達(dá)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。1．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，以一樣的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系．直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．〔1〕設(shè)為參數(shù)，假設(shè)，求直線的參數(shù)方程；〔2〕直線與曲線交于，設(shè)，且，數(shù)的值．2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為方程為〔〕，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕．〔=1\*ROMANI〕點(diǎn)在曲線上，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求點(diǎn)的直角坐標(biāo)和曲線C的參數(shù)方程；〔=2\*ROMANII〕設(shè)直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率的取值圍．3．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為,〔為參數(shù)〕，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)直接寫出直線、曲線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)曲線上的點(diǎn)到與直線的距離為，求的取值圍.4．極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合．假設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕．〔1〕求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；〔2〕設(shè)點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0的值．5．在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程〔為參數(shù)〕．以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．〔1〕求曲線的極坐標(biāo)方程；〔2〕設(shè)直線極坐標(biāo)方程是射線與圓的交點(diǎn)為、，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)．6．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，直線與曲線相交于兩點(diǎn)．〔Ⅰ〕寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的值．7．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線〔為參數(shù)〕，過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)．〔Ⅰ〕求的取值圍；〔Ⅱ〕設(shè)，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．8．曲線C的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是〔t為參數(shù)〕〔1〕求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；.-.--可修編..參考答案1．〔1〕將，代入直線的極坐標(biāo)方程得直角坐標(biāo)方程．…1分再將，代入直線的直角坐標(biāo)方程，得，所以直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕．4分〔2〕由，得，由代入，得．6分將直線的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得，〔*〕．6分設(shè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)參數(shù)恰為上述方程的根，那么．8分由題設(shè)得，即．由〔*〕得，，那么有，得或．因?yàn)椋裕?0分【命題意圖】此題主要考察拋物線極坐標(biāo)方程、直線的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，意在考察邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力、運(yùn)算求解能力，以及方程思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．2．〔Ⅰ〕由〔〕得曲線C的直角坐標(biāo)方程為，所以曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，〕，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，由得是以為圓心，為半徑的上半圓，因?yàn)镃在點(diǎn)處的切線與垂直，所以直線與直線的斜率一樣，，故D點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．〔Ⅱ〕設(shè)直線：與半圓相切時(shí)，，〔舍去〕設(shè)點(diǎn)，，故直線的斜率的取值圍為.【命題意圖】此題考察圓的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程、直線和圓位置關(guān)系等根底知識(shí)，意在考察數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想和根本運(yùn)算能力．3．〔Ⅰ〕直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)椋?，那么，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.〔Ⅱ〕∵曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，∴曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為.∵，∴，∴的最小值為，的最大值為.∴，即的取值圍為.考點(diǎn)：1.曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化；2.點(diǎn)到直線的距離公式．4．〔1〕由，得，所以，即曲線的直角坐標(biāo)方程為．由，消去參數(shù)，得直線的普通方程為．〔2〕由〔1〕知直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為，代入曲線的直角坐標(biāo)方程得．由韋達(dá)定理，得，那么．【命題意圖】此題主要考