螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)方法

螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)方法徐健;余賓宴;余小玲;馮全科【摘要】Inthispaper,thetoothprofilenormallinemethodisusedtodemonstratethedesignprocessofrotorprofileofscrewcompressorsstep-by-stepandtoderivetheFushengProfileindetail.Itprovesthereliableandconvenientoftoothprofilenormallinemethodinthedesignofscrewrotorprofile.Thentheprofiledesignmethodsuperiortothetraditionalenvelopeanalysismethodisobtained.%采用齒廓法線法，逐步演示螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)過(guò)程,并對(duì)復(fù)盛型線進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo),驗(yàn)證了齒廓法線法在螺桿轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)中的可靠便捷,從而得到了優(yōu)于以往解析包絡(luò)法的型線設(shè)計(jì)方法.期刊名稱】《壓縮機(jī)技術(shù)》年(卷),期】2012(000)002【總頁(yè)數(shù)】7頁(yè)(P1-6,14)【關(guān)鍵詞】螺桿轉(zhuǎn)子;型線設(shè)計(jì);齒廓法線法【作者】徐健;余賓宴;余小玲;馮全科【作者單位】西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,陜西西安710049;西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,陜西西安710049;西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,陜西西安710049;西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,陜西西安710049【正文語(yǔ)種】中文中圖分類】TH455引言螺桿壓縮機(jī)由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、維護(hù)方便及可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于氣動(dòng)、制冷空調(diào)及石化等工業(yè)領(lǐng)域，是目前市場(chǎng)上主要的壓縮機(jī)種之一。一對(duì)相互嚙合的轉(zhuǎn)子是螺桿壓縮機(jī)的核心部件，轉(zhuǎn)子副的型線決定了壓縮機(jī)的性能。轉(zhuǎn)子型線的不斷更新改進(jìn)，結(jié)合轉(zhuǎn)子加工能力的進(jìn)步，是螺桿壓縮機(jī)性能大幅提高和市場(chǎng)份額迅速擴(kuò)大的根本原因。因此，螺桿轉(zhuǎn)子的型線設(shè)計(jì)一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，各種特征的新型線也被接踵推出。轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)是壓縮機(jī)運(yùn)行性能和轉(zhuǎn)子加工性能等諸問(wèn)題的研究基礎(chǔ)，目前廣泛采用解析包絡(luò)法來(lái)推導(dǎo)型線的嚙合方程［1－4］，其來(lái)源均都可追溯到前蘇聯(lián)Sakun所著的文獻(xiàn)［5］。解析包絡(luò)法的原理為微分幾何中提出的相互嚙合的2個(gè)齒面在接觸點(diǎn)處成切觸關(guān)系，運(yùn)動(dòng)學(xué)上的物理意義就是切點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度一定要在公切線方向，即與公法線垂直。采用解析包絡(luò)法求解型線方程的嚙合條件時(shí)，需先將一個(gè)轉(zhuǎn)子上的已知型線坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)轉(zhuǎn)子的坐標(biāo)系內(nèi)，然后再通過(guò)對(duì)得到的曲線簇方程連續(xù)進(jìn)行偏微分計(jì)算而得到。通常解析幾何法需定義繁復(fù)的坐標(biāo)系及冗長(zhǎng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式，計(jì)算過(guò)程雖清晰卻繁冗復(fù)雜，不適于采用現(xiàn)代計(jì)算軟件中矩陣模塊進(jìn)行運(yùn)算。螺桿轉(zhuǎn)子屬于齒輪的一種，其特點(diǎn)為型線組成段的數(shù)量較多，故齒輪原理中的理論和研究方法均可應(yīng)用于轉(zhuǎn)子型線的推導(dǎo)和研究中。本文引入齒輪原理中的齒廓法線法，結(jié)合坐標(biāo)變換的矩陣表示，詳細(xì)介紹螺桿轉(zhuǎn)子型線的推導(dǎo)過(guò)程和方法;并以復(fù)盛型線為例，列舉確定各型線段的主要處理過(guò)程和手段，演示轉(zhuǎn)子型線的現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)理論基礎(chǔ)Willis法則螺桿壓縮機(jī)的螺桿轉(zhuǎn)子是由端面的平面齒形經(jīng)過(guò)螺旋掃描而成，故三維齒面實(shí)際上是二維半，即可以將二維的端面齒形結(jié)合其繞軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)研究三維空間上的齒形及其嚙合問(wèn)題。這個(gè)特征使得齒形研究大為簡(jiǎn)化，在型線推導(dǎo)過(guò)程中，可以完全引入傳統(tǒng)齒輪原理所基于的二維平面。齒廓嚙合的基本原理，即Wills定理，可以完整表述如下［6］:共軛齒廓在傳動(dòng)的任意瞬時(shí)，他們?cè)诮佑|點(diǎn)的公法線必然通過(guò)該瞬時(shí)的瞬心點(diǎn)P。P點(diǎn)在聯(lián)心線上，而在歐美學(xué)術(shù)界普遍引用的齒輪幾何學(xué)體系中，齒廓嚙合的基本原理基于Lewis定理，表述如下［7］:共軛齒形必須是這樣的，它們?cè)谇杏|點(diǎn)處的公法線與回轉(zhuǎn)中心0102相交，并且將該線分為兩段O1I和O2I，并滿足方程(1)，式中31、32分別表示兩共軛齒的角速度。顯然，Willis定理和Lewis定理是一致的，也是齒廓法線法的理論依據(jù)，其來(lái)源均來(lái)自19世紀(jì)中葉劍橋大學(xué)的RobertWillis教授的著作［8］。如圖1所示，2個(gè)螺桿轉(zhuǎn)子的瞬心線就是圖示的2個(gè)外切圓，這也是最常見(jiàn)的齒輪瞬心線形式，故齒廓的瞬時(shí)瞬心點(diǎn)固定在其公切點(diǎn)上，即圖中的點(diǎn)P°》1、》2為分別以01、02為回轉(zhuǎn)中心，以31、32為角速度旋轉(zhuǎn)的2個(gè)齒廓，M為第1個(gè)嚙合點(diǎn)，此時(shí)兩齒廓的公法線為MP。在以式⑴確定的比率下，》1、》2分別旋轉(zhuǎn)到￡1、￡2,M'為第2個(gè)嚙合點(diǎn)，M卩則為此時(shí)兩齒廓的公法線?？梢?jiàn)，共軛齒廓的公法線必定通過(guò)瞬時(shí)瞬心點(diǎn)。以上就是齒廓法線法的圖示表達(dá)，在螺桿轉(zhuǎn)子齒形求解中，可逆向應(yīng)用上述法則，從而求解經(jīng)過(guò)一定轉(zhuǎn)角后的公共接觸點(diǎn)，從而求得共軛齒形。圖1齒廓嚙合基本原理坐標(biāo)系及基于矩陣的坐標(biāo)變換設(shè)計(jì)或確定螺桿轉(zhuǎn)子的型線，最常見(jiàn)的處理方法，是將不同的基本曲線組合在一起，大致形成所需的形狀。這種方法所構(gòu)成轉(zhuǎn)子型線的特點(diǎn)是，某個(gè)轉(zhuǎn)子（陰轉(zhuǎn)子或陽(yáng)轉(zhuǎn)子）首先由確定的基本曲線組合完畢，而對(duì)應(yīng)的另一個(gè)轉(zhuǎn)子則由包絡(luò)嚙合原理確定求得。這個(gè)過(guò)程包括2個(gè)步驟，即包絡(luò)條件求取和坐標(biāo)變換，本文將采用矩陣方程來(lái)實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變化。圖2螺桿轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系圖2是螺桿轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)計(jì)算中所采用的坐標(biāo)系，其中Ofxfyf表示固接于固定坐標(biāo)系的機(jī)架坐標(biāo)系，O1x1y1表示固接于陽(yáng)轉(zhuǎn)子的坐標(biāo)系，O2x2y2表示固接于陰轉(zhuǎn)子的坐標(biāo)系;rj1、rj2分別表示陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑，A為中心距。陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子的齒形分別在坐標(biāo)系O1x1y1和O2x2y2中確定?，F(xiàn)有的螺桿壓縮機(jī)教材資料［1，2，4,9］均采用解析幾何中的解析式表達(dá)，將圖2中的Olxlyl和O2x2y2分別叫陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子動(dòng)坐標(biāo)系，而將起始時(shí)（申1二申2=0）的相對(duì)平行于機(jī)架坐標(biāo)Ofxfyf的坐標(biāo)系Olxlyl和O2x2y2分別叫陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子靜坐標(biāo)系。于是，從陽(yáng)轉(zhuǎn)子的某齒形段推導(dǎo)對(duì)應(yīng)嚙合的陰轉(zhuǎn)子的齒形段，需要經(jīng)歷從陽(yáng)轉(zhuǎn)子動(dòng)坐標(biāo)系到陽(yáng)轉(zhuǎn)子靜坐標(biāo)系、從陽(yáng)轉(zhuǎn)子靜坐標(biāo)系到機(jī)架坐標(biāo)系、從機(jī)架坐標(biāo)系到陰轉(zhuǎn)子靜坐標(biāo)系、從陰轉(zhuǎn)子靜坐標(biāo)系到陰轉(zhuǎn)子動(dòng)坐標(biāo)系這四步。每一步都有冗長(zhǎng)的解析表達(dá)式，容易出錯(cuò);而以矩陣方程來(lái)表示的坐標(biāo)變換可以通過(guò)前后坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸所夾的方向余弦和坐標(biāo)系原點(diǎn)的相對(duì)位置直接給出。圖2中從Olxlyl到O2x2y2的坐標(biāo)變換基于矩陣方程式中Z1、Z2分別為陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子的齒數(shù)。同理，從O2x2y2到Olxlyl的坐標(biāo)變換基于矩陣方程求解嚙合線時(shí)，則需從坐標(biāo)系Olxlyl轉(zhuǎn)換到Ofxfyf,采用如下變換齒廓法線法齒廓法線法是齒輪嚙合理論中基于Willis定理的一種曲線包絡(luò)條件的求解方法，即在已知曲線所在的坐標(biāo)系內(nèi)，接觸點(diǎn)的公法線必然通過(guò)其瞬時(shí)瞬心點(diǎn)，即瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心。即可表示為方程⑸中的各表達(dá)式均落在坐標(biāo)系O1x1y1中，接觸點(diǎn)(x1,y1)與對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心(X1，Y1)連線的矢量方向與接觸點(diǎn)的法向一致。Nx1,Ny1為接觸點(diǎn)法向量的水平和垂直分量，由下式確定式中r1(t)為所求齒廓型線的矢量方程，前面的微分項(xiàng)為該齒廓在接觸點(diǎn)處的切向量，k1為齒輪軸線的單位向量，兩者叉乘即可求得接觸點(diǎn)的法向量。圖3型線組成段(橢圓)定義下面以最常見(jiàn)的橢圓弧為例，詳細(xì)說(shuō)明如何應(yīng)用齒廓法線法求解對(duì)應(yīng)的橢圓弧包絡(luò)弧線。首先將橢圓弧段置于圖3所示位置，則在坐標(biāo)系O1x1y1中，該曲線表示如下式中rt1 齒頂圓半徑a、b——6圓的長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)。則其切向量、法向量分別為由圖2可得，陽(yáng)轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中，瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)表示如下將方程(7)、(9)、(10)代入方程(5)，可得進(jìn)一步化簡(jiǎn)得方程(11)是嚙合條件的數(shù)學(xué)表達(dá)，即建立了被包絡(luò)曲線的曲線參數(shù)t和回轉(zhuǎn)角申1(t)的一映射關(guān)系。將方程(7)代入方程(2)，就得到了在坐標(biāo)系O2x2y2中的橢圓弧包絡(luò)曲線的方程表達(dá)圓弧作為橢圓的一種特殊形式，在螺桿壓縮機(jī)的轉(zhuǎn)子型線中得到了最為廣泛的應(yīng)用，如果將橢圓方程中的a、b都定義為r，即圓半徑，則方程(7)、(11)、(12)分別簡(jiǎn)化為如下各方程更特殊的兩種情況是⑻當(dāng)rt1-r=rj1,即圓心落在節(jié)圓上，產(chǎn)生了銷齒圓弧，方程(14)、(15)分別退化為(b)當(dāng)rt1-r=0,即圓心落在節(jié)圓圓心上，產(chǎn)生了對(duì)滾圓弧，方程(14)、(15)分別退化為復(fù)盛型線解析如圖4所示，復(fù)盛型線是20世紀(jì)80年代末由復(fù)盛公司構(gòu)造出來(lái)的一種優(yōu)良型線，其特點(diǎn)是曲線組成段少，齒面光滑，利于形成良好潤(rùn)滑以減少磨損。雖然其專利已公開(kāi)多年［10］，但仍未有文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行構(gòu)造分析。本文以復(fù)盛型線為例，用齒廓法線法詳細(xì)闡述轉(zhuǎn)子型線的構(gòu)造方法。圖4復(fù)盛型線轉(zhuǎn)子齒形及嚙合線表1復(fù)盛型線的構(gòu)成段陰轉(zhuǎn)子陽(yáng)轉(zhuǎn)子嚙合線齒曲線曲線性質(zhì)方程式齒曲線曲線性質(zhì)方程式A2B2圓弧(30)A1B1圓弧包絡(luò)線(31)34C2D2橢圓弧包絡(luò)線(22)C1D1橢圓弧(21)41B2C2圓弧包絡(luò)線(33)B1C1圓弧(32)23D2E2圓弧(29)D1E1圓弧包絡(luò)線(28)12復(fù)盛型線的常見(jiàn)齒數(shù)比組合為5－6齒，即陽(yáng)轉(zhuǎn)子5齒，陰轉(zhuǎn)子6齒。則一個(gè)獨(dú)立完整的陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒槽所夾圓心角為60°，陰轉(zhuǎn)子齒槽所夾圓心角為72°。圖5給出了一對(duì)完整型線的具體構(gòu)成曲線段，圖中的虛線為陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子的節(jié)圓，細(xì)實(shí)線為陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子的齒頂圓°a1、a2,pi、p2分別表示陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子齒前側(cè)、齒后側(cè)所夾的圓心角，并滿足3.1CD、DE曲線段橢圓弧C1D1和橢圓弧包絡(luò)線C2D2可以直接引用公式(7)、(12)得圖5復(fù)盛型線的構(gòu)成曲線段把變量t的取值設(shè)為0~n/2,即設(shè)定C1D1段為四分之一段橢圓弧，并將D1置于陽(yáng)轉(zhuǎn)子節(jié)圓上(相應(yīng)的D2也落于陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓上)。應(yīng)用圖6所示的a1所在的直角三角形中的長(zhǎng)度關(guān)系，在由AO1ND1內(nèi)，由，可得式中rb1——陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒底圓半徑rt1——陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑rt2——陰轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑a1、a2——均作為初參數(shù)給定圖6CD、DE段位置方程(23)求解出R1后，橢圓弧的參數(shù)a、b由下式確定本文把基本曲線段的軸心落于聯(lián)心線上的位置定義為該曲線段的基位。圓弧DE段的求解須把圓弧D1E1先以01為回轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)到圖6所示位置DTET，即圓心落于轉(zhuǎn)子聯(lián)心線上。此時(shí)，可求得圓弧D1'E1'的共軛曲線D2'E2'。然后將DTE1'、D2'E2'分別以01、02為回轉(zhuǎn)中心，如圖6所示方向，分別旋轉(zhuǎn)a1.pi即得到了最終的齒曲線組成段D1E1和D2E2。把基本曲線放置在上述基位上，可以使推導(dǎo)過(guò)程大為簡(jiǎn)化，避免求解過(guò)程的各種不必要的麻煩。Di'Ei'的矢量方程為參照前述步驟，可得D2'E2'的方程從Di'Ei'.D2'E2'推導(dǎo)到D1E1、D2E2可直接通過(guò)其向量矩陣乘以轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣直接得到。轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣M表示曲線順時(shí)針繞回轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過(guò)角度申，表示如下DiEi、D2E2分別取申為ai、-pi,可得到DiEi、D2E2的方程如下DE段的參數(shù)取值范圍為：3.2AB、BC曲線段圖7AB、CD位置AB、BC段是兩對(duì)圓弧-圓弧包絡(luò)線曲線段，圓弧段A2B2、BiCi分別位于陰、陽(yáng)轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中。根據(jù)齒廓法線法，同上，可直接寫(xiě)出A2B2、AiBi、BiCi、B2C2的方程式式中rt2——陰轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑rj1、rj2——陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓半徑R2、R3——圓弧段A2B2、B1C1的半徑AB、BC方程的確定可以歸結(jié)為求取2個(gè)參量R3和tB，其他量均為給定值。根據(jù)A1B1、B1C1在B1點(diǎn)相切觸，則有以下的2個(gè)邊界條件：圓弧包絡(luò)線A1B1的端點(diǎn)B1在圓弧上，即圓弧包絡(luò)線A1B1和圓弧B1C1相切于點(diǎn)B1,即方程(34)、(35)中的x1(t)、y1(t)采用方程(31)的表達(dá)式。通過(guò)求解(34)、(35)這兩個(gè)非線性方程，可求解出R3和tB，則確定了A2B2、A1B1、B1C1、B2C24段組成曲線。復(fù)盛型線的具體算例取陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒數(shù)Z1=5，陰轉(zhuǎn)子齒數(shù)Z2=6，中心距A=110mm，陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑rt1=77mm，陰轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑rt2=61mm,02=20°,R2=1.6mm。貝可依次求得02=4O°,a2=24°,a1=48°;a=41.76382mm,b=35.47410mm,R1=3.65964mm,R3=9.20237mm,tB=1.91586。各段的參數(shù)取值分別為:AB段:OGS1.91586;BC段:0GS0.75746;CD段:OGS1.57O8O;BC段0GS0.73304。陰、陽(yáng)轉(zhuǎn)子副如圖4所示,圖8表示了陽(yáng)轉(zhuǎn)子對(duì)陰轉(zhuǎn)子的包絡(luò)過(guò)程,并顯示嚙合過(guò)程無(wú)干涉現(xiàn)象。選用不同的齒數(shù)比以適應(yīng)不同的工況,是對(duì)轉(zhuǎn)子型線的基本要求。復(fù)盛型線具有良好的適應(yīng)性，可應(yīng)用于各種齒數(shù)比。圖9展示了上述5~6齒之外常見(jiàn)的齒數(shù)比。圖8陽(yáng)轉(zhuǎn)子對(duì)陰轉(zhuǎn)子的包絡(luò)圖9采用不同齒數(shù)比的盛復(fù)型線(a)4~5齒(b)4~6齒(c)5~7齒(d)6~7齒結(jié)論在齒輪設(shè)計(jì)中廣泛采用的齒廓法線法，物理意義明晰，結(jié)合矩陣法進(jìn)行坐標(biāo)變換，推導(dǎo)過(guò)程比解析包絡(luò)法大為簡(jiǎn)捷，且適于選用現(xiàn)代計(jì)算程序。本文將齒廓法線法應(yīng)用于螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)，從而使得螺桿轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)直觀簡(jiǎn)便，并以復(fù)盛型線這一簡(jiǎn)潔高效的現(xiàn)代型線為例，首次對(duì)其型線方程進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，即檢驗(yàn)了齒廓法線法在螺桿型線推導(dǎo)中的的方便有效性，又揭示了復(fù)盛型線的特點(diǎn)，為轉(zhuǎn)子型線的改進(jìn)設(shè)計(jì)提供參照。參考文獻(xiàn):[1]鄧定國(guó)，束鵬程?回轉(zhuǎn)壓縮機(jī)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1989.[2]邢子文?螺桿壓縮機(jī)-理論、設(shè)計(jì)及應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2000.