試驗設計與數(shù)據(jù)處理(整理)

第四章1、誤差的來源:主要有四個方面：1.設備儀表誤差：包括所使用的儀器、器件、引線、傳感器及提供檢定用的標準器等，均可引入誤差。2.環(huán)境誤差：周圍環(huán)境的溫度、濕度、壓力、振動及各種可能干擾測量的因素，均能使測量值發(fā)生變化，使測量失準，產(chǎn)生誤差；3.人員誤差：測量人員分辨能力、測量經(jīng)驗和習慣，影響測量誤差的大小。4.方法誤差：研究與實驗方法引起的誤差。2、誤差的分類：粗大誤差、系統(tǒng)誤差、隨機誤差；粗大誤差的特點是測量值顯著異常。處理方法是在對實驗結(jié)果進行數(shù)據(jù)處理之前，須先行剔除壞值。系統(tǒng)誤差的特點是在測量條件一定時，誤差的大小和方向恒定，當測量條件變化時，誤差按某一確定規(guī)律變化。處理方法：由于誤差是按某一確定規(guī)律變化的，即誤差變化可用函數(shù)式或用曲線圖形描述偶然出現(xiàn)，誤差很大，數(shù)據(jù)異常。可以理論分析、實驗驗證，找到規(guī)律并修正。隨機誤差的特點是測量時，每一次測量的誤差均不相同，時大時小，時正時負，不可預定，無確定規(guī)律。處理方法是采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，來研究隨機誤差的特征，以判斷它對測量結(jié)果的影響。粗大誤差或者壞值的判斷方法:剔除方法有兩種：1)格拉布斯準則。設對某物理量進行N次重復測量，得測量列x1，x2，···xn，算術平均值測量值與平均值之差稱為殘余誤差或殘差，用Vi表示，即測量列的標準差；若某測量值xi的殘差絕對值時，則判為壞值。（n為測量次數(shù)，α為置信度）。2)3準則。確定其最大可能誤差，并驗證各測量值的誤差是否超過最大可能誤差。一般為簡化計算，提出以+-3為最大可能誤差，也稱為3準則。3.誤差傳遞公式及其應用（任意選取兩個方面）這就是誤差傳遞函數(shù)，或稱方差傳遞公式。時，可寫成方差合成公式其中稱為方差傳遞系數(shù)。誤差傳遞公式可用于確定最佳實驗條件；確定測量的限差以及儀表的選配。確定最佳實驗條件根據(jù)誤差傳遞關系，設計實驗在電工學實驗中，利用下列函數(shù)式測定金屬的導電率L―試件金屬導線的長度，d―試件金屬導線的截面直徑；R―試件金屬導線的電阻。寫成相對誤差形式從所得的結(jié)果可以看出，若欲提高導電率的測量精度，使減小，首先,選擇金屬導線，使LdR各值越大越好。在各直接測量精度未定的情況下，應盡可能提高導線直徑的測量精度，由上式的系數(shù)可以表明，d的相對精度對誤差的影響最大。確定測量的限差：設被測量的真值為a，第一件儀器測量值為L1，標準差為。第二件儀器測量值為L2，標準差為。則各個測量值應滿足令測量值之差為，即，根據(jù)方差合成公式可知寫成誤差限的形式，則兩個測量值之差最大不應超過，不超過差值合成方差的3倍。因此，就是限差。第六章1、單因素析因?qū)嶒灢襟E:1.由觀測值計算各種方差：，…，，并按照公式算出觀測值的F值。2.事先給定顯著水平，從F分布表上查出當自由度為（）時的臨界值。如果,則認為因素A對試驗結(jié)果變差的影響在下是顯著的，反之，，則不顯著。2、方差分析有哪三種因素模型及各自特點？固定效應模型、隨機效應模型、混合模型；固定效應模型的特點：當因素固定在某一水平時，因素的水平完全可以控制，如溫度、壓力等，這時候因素對試驗結(jié)果帶來的影響是固定的。隨機效應模型的特點：當因素水平確定后，人們難以控制，如原料的不均勻性、爐內(nèi)溫度等，它的效應值不是一個固定數(shù)，是隨機變量?；旌夏Ｐ偷奶攸c：混合模型是指一種因素的效應是隨機的而另一種因素的效應則是固定的。3、析因?qū)嶒炛泻螘r需要多重比較？多重比較的T法的檢驗步驟？原因：正交試驗：幾個顯著因素中，每個因素取哪個水平，組合起來能得到最好的結(jié)果，最佳的工藝條件或配方。如果在生產(chǎn)上難以實現(xiàn)，或成本太高。如何換成與最佳水平差異不顯著的其它水平。步驟：T法，以單因素試驗為例。設m為要比較的水平個數(shù)，r為同一水平下試驗的重復次數(shù)（設各水平下，重復測定次數(shù)r相等），為試驗誤差的方差，fe為其自由度。采用“判別”統(tǒng)計量dT。1.查，α是顯著水平，m是要比較的水平個數(shù)，fe是自由度Φ2.令分別表示每一水平所產(chǎn)生觀測結(jié)果之和的平均值。將任兩水平的平均觀測值之差的絕對值，記dij，即。3.T法的判斷原則是：如果，則表示i,j兩個水平之間結(jié)果有顯著差異，否則，對結(jié)果無顯著差異。第七章1、三種基本插值方法及各自特點：圖解法、線性插值法、拉格朗日法。圖解法特點是簡便易行，不必求出曲線的函數(shù)表達式，但它要求原函數(shù)在插值區(qū)間必須連續(xù)，否則，會帶來比較大的誤差。線性插值法特點是把插值區(qū)間的函數(shù)關系，近似當作直線來處理。當原函數(shù)關系偏離直線較遠或者插值區(qū)間較寬時，線性插值會引起很大的誤差。拉格朗日插值法的優(yōu)點是形式對稱，它與插值點的編排次序無關，便于編制計算機程序。缺點是計算工作量大，在遇到表中給出的已知點數(shù)據(jù)較多時，應作分段插值，即在所給的n個點中，選取幾個與插值點最近的點作插值點就可以了。2.如何正確繪制實驗結(jié)果曲線？（1）坐標的選擇，當曲線繪制時，尚未選定采用哪種坐標之前，一般都是用直角坐標繪制的。當在下列三種情況下，采用單對數(shù)坐標紙繪圖，一、變量之一在所研究的范圍內(nèi)，有若干個數(shù)量級的變化時；二、當自變量在起始段的少許變化，引起因變量有劇烈的變化時；三、當需要將非線性函數(shù)關系，變換成直線函數(shù)關系時。使用雙對數(shù)坐標紙作圖的適用條件，與單對數(shù)紙基本相同，唯一不同的是，當自變量x和因變量y都有幾個數(shù)量級的變化時，才選用雙對數(shù)坐標。極坐標適用于表示實驗中有周期性重復變化的變量，亦可用于縮短原需長帶形表達的曲線。（2）比例尺的選擇，兩個坐標比例尺應遵守的比例法則：兩軸比例尺的選擇應保證“雙雙誤差”（）面積成正方形。單個坐標軸比例尺的選擇應按下列原則：一、比例尺的大小，應保證所描出的實驗誤差“點”的面積，通常在2~4之內(nèi)（或各觀測值的精密度在圖上不應超過兩個最小分度），且應使所有測試數(shù)據(jù)易于在圖面上繪出確切的坐標點；二、自變量置于x軸上，因變量置于y軸上，沿軸標示的變量應包括所研究區(qū)間的全部變化值；三、應使所繪曲線，占滿坐標紙面，如是直線關系，應使其盡量接近一根斜率為1的直線。（3）通過數(shù)據(jù)“點”描繪曲線，在標繪數(shù)據(jù)點時，可使用各種符號，符號的大小應與觀測值的準確度相當。為數(shù)據(jù)點配曲線時，要求所配曲線與各數(shù)據(jù)點最接近，并不希望曲線都聽過數(shù)據(jù)點，希望在曲線上下的數(shù)據(jù)點數(shù)大致相等。曲線應光滑，不要有突然折曲和不連續(xù)的地方。繪制曲線除用曲線尺外，也可用寬約1mm的細窄彈性帶或鋼絲。當實驗點（）的間隔很大時，可用拉格朗日插值法來補充某些中間點的數(shù)值。（4）用最小二乘法對所配曲線做數(shù)量上的評定，當全部偏差平方和，為最小時，則這條曲線就是最佳配線方案。第八章1、根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型的步驟1.將實驗數(shù)據(jù)標繪成曲線，根據(jù)此曲線形狀，對照典型曲線，初選函數(shù)形式，將所選出的函數(shù)，通過變量代換將其轉(zhuǎn)換成線性函數(shù)Y=A+BX。2.將已知的值，代入變量轉(zhuǎn)換公式，求出成對的新變量值，然后匯在直角坐標（X，Y）上，如果這些坐標點接近一條直線，則表明所初選的模型公式合適。2、如何用差分法確定一元n次多項式模型方次數(shù)？選取一系列成等差數(shù)據(jù)的自變量，即（為級距或步長），則，所以就可以以h為級距列出因變量來。計算一階差分，二階差分；三階差分等等。然后作出差分表，當?shù)趎階差分列內(nèi)所有的數(shù)值接近相等時，就可以停止差分計算了，此時，此模型就可以用n次多項式表示。即3、如何用差分計算（牛頓內(nèi)插公式）確定次多項式模型系數(shù)？(確定n次多項式系數(shù),……)，利用牛頓內(nèi)插公式：與公式聯(lián)立后，利用x的同次冪系數(shù)相等，計算,……，其中，在代入初值，時，可以用中任何一對，或者采用幾對不同的作初值，分別求出,……后，取其相應的平均值。利用牛頓內(nèi)插公式與公式聯(lián)立后，利用x的同次冪系數(shù)相等，計算,……，其中，在代入初值，時，可以用中任何一對，或者采用幾對不同的作初值，分別求出,……后，取其相應的平均值。4、求數(shù)學模型公式系數(shù)的方法有哪些？1.用圖解法求公式系數(shù)。首先利用直線化方法得出線性方程Y=A+BX，其中，系數(shù)A可由直線與Y軸的交點的縱坐標定出（以X=0，Y=0為坐標原點時），系數(shù)B有兩種確定方法：①由直線與0-X軸的正切來確定②從直線上選取距離較遠的兩點，然后代入方程求解得出。2.用平均值法求公式系數(shù)。假設試驗數(shù)據(jù)有n對，將這n對分別代入線性方程Y=A+BX，就會得到n個條件方程，然后將這n個條件方程等分為兩大組，每一大組對應項相加，并將最終得到的兩個方程聯(lián)立求解，即可求得平均意義下的系數(shù)A,B;3.用最小二乘法求公式系數(shù)。對于一元m次多項式，利用下列正規(guī)方程求解系數(shù)：；；；其中，（p=0,1,2……2m）(q=0,1,2……m)（4）用回歸分析法求模型系數(shù)適用于多元線性或非線性函數(shù)，對于一元線性函數(shù)，y=a+bx,按照下式求a,b:b=第九章1、用最小二乘法確定回歸系數(shù)的原理？對于每一個變量（i=1、2、3、……），由回歸方程可以確定一回歸值

設回歸值與實際測定值之差，表示了與回歸直線=+bx的偏離程度，因而對于所有的自變量來說，如果的偏離愈小，便可認為回歸直線與所有實驗點擬合得愈好。為了更準確地表示全部實測值與回歸直線的偏離程度，常用實測值與回歸值的偏差平方和表示，并記為E(,b),于是得到

要使E最小，根據(jù)微積分學的極值原理，只要將上式分別對a、b求偏微分，并令其等于零即可。由于平方運算又稱二乘運算，因此，求回歸直線的方法又稱為最小二乘法。要使E（,b）為最小值，、b可由下式求出。

從得

同樣由

得到

,式中，分別為x和y的平均值，為直線截距，b為直線斜率，、b確定，一元線性回歸方程及回歸直線就可確定用回歸分析和用牛頓插值法確定模型系數(shù)有何異同？用最小二乘法找出的近似函數(shù)y=f(x),與牛頓插值函數(shù)不同，它并不求曲線y=f(x)恰好通過各試驗點(xi,yi),而只需使求出的曲線能夠反映給定數(shù)據(jù)的一般趨勢就行了。2、如何用相關分析檢驗一元線性回歸方程是否顯著，分析方差檢驗與相關系數(shù)檢驗的一致性。相關系數(shù)ρ是衡量兩個變量（或多個變量）之間線性關聯(lián)程度的一個指標。如x和y是兩個隨機變量，相關系數(shù)為：當ρ=0時，q最大，x和y線性無關；當|ρ|=1時，q=0，所有觀測點都落在回歸直線上，x和y完全線性相關。|ρ|越靠近于1時，則q較小，表明x與y間線性相關密切。然后進行相關系數(shù)的顯著性檢驗：1根據(jù)實測數(shù)據(jù)求p值2給定顯著性水平，在相關系數(shù)檢驗表上，按自由度n-2查出相應的臨界值pa這里n是對變量x和y成對觀察的次數(shù)，2是變量數(shù)目。3將pxy與pa進行比較。如|pxy|>pa則認為在(1-a)%置信度下，變量x與y之間線性相關顯著，此時所建立的回歸方程才有應用價值。反之，當|pxy|<pa時，不顯著。一致性：，|ρ2|越大，則Q回越小，回歸方程的效果越好，反之亦然。兩種檢驗結(jié)果是一致的。在實際應用中，不需要了解相關系數(shù)時，對回歸方程進行方差分析的F檢驗即可。3、從因素的取舍以及取舍順序上分析，常用回歸分析分有哪幾類及各自特點？強行進入法；前進法；后退法；前進-后退法。特點：它們的共同特點：每一步只引入或剔除一個自變量。1預先選定的自變量全部進入回歸模型2自變量從無到有、從少到多3先將全部自變量放入方程，然后逐步剔除。4、什么是回歸線的置信帶、回歸系數(shù)的置信區(qū)間？置信帶：在（1-α）置信水平下，由α確定的兩條弧形曲線所形成的包含真實的回歸直線的區(qū)帶。置信區(qū)間：討論了根據(jù)實驗數(shù)據(jù)確定回歸系數(shù)的最小二乘法，不是反映變量關系的真實系數(shù)。在許多情況下希望估計回歸系數(shù)a、b、……的真實值（范圍），確定這些參數(shù)的置信區(qū)間。a系數(shù)的置信區(qū)間為第十章1、什么情況下需要正交試驗？正交試驗的原理？情況：在科學研究，產(chǎn)品設計與開發(fā)和工藝條件的優(yōu)選過程中，當為了揭示多種因素對實驗或計算結(jié)果的影響，一般都需要進行大量的多因素組合條件的實驗時，需要進行正交試驗。原理：1.正交實驗設計，是利用規(guī)格化的正交表，恰當?shù)卦O計出試驗方案，有效地分析試驗結(jié)果，提出最優(yōu)配方和工藝條件，并進而設計出可能更優(yōu)秀的試驗方案的一種科學方法。2.其中，正交表是利用“均衡搭配”和“整齊可比”這兩條基本原理，從大量的全面試驗方案中，為挑選出少量具有代表性的試驗點，所制成的排列整齊的規(guī)格化表格。其特點為：1)每個縱列中“1”、“2、“3”、……字碼出現(xiàn)的次數(shù)相同。2)任意兩縱列的橫行所構成的有序數(shù)字對中，每種數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相同。上述兩個特點是“均衡搭配”和“整齊可比”的體現(xiàn)。3.正交性原理是設計正交表的科學依據(jù)，主要表現(xiàn)在上述的“均衡搭配”和“整齊可比”兩個方面。a、“均衡搭配”是指每一列（一個因素）各水平出現(xiàn)的次數(shù)相等。b、“整齊可比2、正交試驗常規(guī)分析方法如何對正交試驗結(jié)果進行分析？常規(guī)分析法通過對試驗結(jié)果進行分析，可確定諸因素對結(jié)果影響的主次順序；可確定各因素的可能最優(yōu)水平，從而可以設計出可能更優(yōu)的試驗方案；還可用空列極差估計試驗誤差。包括以下三項：1.“看一看”。即通過對試驗結(jié)果大小進行直接觀察和比較，來初步確定較好的試驗條件。2.“算一算”。即通過簡單的計算，粗略估計各因素對結(jié)果的影響的主次順序，以及各因素的優(yōu)秀水平。A.計算每一因素同一水平導致結(jié)果之和。B.計算每個因素各水平導致結(jié)果之和的極差。3.畫水平影響趨勢圖。它有助于發(fā)現(xiàn)正交表中所未列入而可能更優(yōu)的水平值，為下一輪正交試驗確定水平值提供依據(jù)。作法是：以因素的水平值為橫坐標，以相應