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專(zhuān)題03等式與不等式的性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2.不等式的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱(chēng)性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧與總結(jié)】1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì),不能忽視其性質(zhì)成立的條件,解題時(shí)要做到言必有據(jù),特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí),有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法,以提高解題的效率.2.比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是:(1)作差;(2)變形;(3)判斷差式與0的大小;(4)下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大小)的步驟是:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商式與1的大??;(4)下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形的方法主要有通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)(式)大小最為常用的方法,如果要比較的兩數(shù)(式)均為正數(shù),且是冪或者因式乘積的形式,也可考慮使用作商法.【題型歸納目錄】題型一:不等式性質(zhì)的應(yīng)用題型二:比較數(shù)(式)的大小與比較法證明不等式題型三:已知不等式的關(guān)系,求目標(biāo)式的取值范圍題型四:不等式的綜合問(wèn)題【典例例題】題型一:不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1.(2023·北京海淀·二模)已知,且,則(
)A. B.C. D.例2.(2023·山東日照·二模)若a,b,c為實(shí)數(shù),且,,則下列不等關(guān)系一定成立的是(
)A. B. C. D.例3.(2023·山西·模擬預(yù)測(cè)(文))若,則下列結(jié)論中正確的是(
)A. B. C. D.(多選題)例4.(2023·遼寧·二模)己知非零實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列不等關(guān)系一定成立的是(
)A. B.C. D.(多選題)例5.(2023·重慶八中模擬預(yù)測(cè))已知,,且,則下列不等關(guān)系成立的是(
)A. B. C. D.(多選題)例6.(2023·廣東汕頭·二模)已知a,b,c滿足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是(
)A.a(chǎn)c(a-c)>0 B.c(b-a)<0 C. D.(多選題)例7.(2023·福建三明·模擬預(yù)測(cè))設(shè),且,則(
)A. B. C. D.【方法技巧與總結(jié)】1.判斷不等式是否恒成立,需要給出推理或者反例說(shuō)明.2.充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.3.小題可以用特殊值法做快速判斷.題型二:比較數(shù)(式)的大小與比較法證明不等式例8.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(文))設(shè),,,則(
)A. B. C. D.例9.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若a=,b=,則a____b(填“>”或“<”).例10.(2023·全國(guó)·高一)(1)試比較與的大?。唬?)已知,,求證:.例11.(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí))比較與的大?。?2.(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí))比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大小:(1)與;(2)與.【方法技巧與總結(jié)】比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是:(1)作差;(2)變形;(3)判斷差式與0的大??;(4)下結(jié)論.作商比較大小(一般用來(lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商式與1的大??;(4)下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形的方法主要有通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)(式)大小最為常用的方法,如果要比較的兩數(shù)(式)均為正數(shù),且是冪或者因式乘積的形式,也可考慮使用作商法,作商法比較大小的原理是:若,則;;; 若,則;;.題型三:已知不等式的關(guān)系,求目標(biāo)式的取值范圍例13.(2023·浙江·模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的取值范圍(
)A. B. C. D.例14.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知,,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.例15.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若滿足,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.例16.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(文))已知-3<a<-2,3<b<4,則的取值范圍為(
)A.(1,3)B.C.D.例17.(2023·江西·二模(文))已知,,則6x+5y的取值范圍為_(kāi)_____.例18.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)二次函數(shù),若函數(shù)的值域?yàn)?,且,則的取值范圍為_(kāi)__________.例19.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知有理數(shù)a,b,c,滿足,且,那么的取值范圍是_________.例20.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,則____________.例21.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知正數(shù)a,b滿足5﹣3a≤b≤4﹣a,lnb≥a,則的取值范圍是___.例22.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知均為正實(shí)數(shù),且,那么的大值為_(kāi)_________.【方法技巧與總結(jié)】在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí),不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍,否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大,而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.題型四:不等式的綜合問(wèn)題例23.(2023·江西鷹潭·二模(理))已知,且則下列不等式中恒成立的個(gè)數(shù)是(
)①
②
③
④A.1 B.2 C.3 D.4例24.(2023·江西·臨川一中高三期中(文))若實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列選項(xiàng)中一定成立的有(
)A. B. C. D.例25.(2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí))若,,則下列選項(xiàng)中正確的是(
)A. B.C. D.(多選題)例26.(2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè))已知,直線與曲線相切,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.(多選題)例27.(2023·遼寧遼陽(yáng)·二模)已知,,且,則(
)A. B.C. D.(多選題)例28.(2023·重慶八中模擬預(yù)測(cè))已知,,且,則下列不等關(guān)系成立的是(
)A. B. C. D.例29.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若,,設(shè),則的最小值為_(kāi)_.例30.(2023·四川瀘州·三模(理))已知x、,且,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④.其中一定成立的結(jié)論是______(寫(xiě)出所有成立結(jié)論的編號(hào)).【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1.(2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè))小李從甲地到乙地的平均速度為,從乙地到甲地的平均速度為,他往返甲乙兩地的平均速度為,則(
)A. B.C. D.2.(2023·甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知,則(
)A. B.C. D.3.(2023·陜西寶雞·三模(理))若,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C. D.4.(2023·重慶·二模)若非零實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.5.(2023·安徽黃山·二模(文))設(shè)實(shí)數(shù)、滿足,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.6.(2023·安徽·蕪湖一中高三階段練習(xí)(理))已知,,,則以下正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則7.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(理))已知,,則下列結(jié)論正確的有(
)①
②
③
④A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)8.(2023·安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))若數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.二、多選題9.(2023·遼寧·一模)已知不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a和b,滿足,下列不等式正確的是(
)A. B.C. D.10.(2023·湖南省隆回縣第二中學(xué)高三階段練習(xí))已知,且,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B. C. D.11.(2023·廣東·廣州市第四中學(xué)高三階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,則下列不等式一定成立的有(
)A. B.C. D.12.(2023·河北保定·一模)已知、分別是方程,的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則下列選項(xiàng)中正確的是(
).A. B.C. D.三、填空題13.(2023·四川瀘州·三模(文))已知x,,滿足,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④.其中一定成立的結(jié)論是______(寫(xiě)出所有成立結(jié)論的編號(hào)).14.(2023·全國(guó)·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知實(shí)數(shù)、滿足,,則的取值范圍為_(kāi)_____.15.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))如果a>b,給出下列不等式:①;②a3>b3;③;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序號(hào)是________.16.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)x,y為實(shí)數(shù),滿足,,則的最小值是______.四、解答題17.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知,,.(1)試比較與的大小,并證明;(2)分別求,的最小值.18.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))(1)已知a,b均為正實(shí)數(shù).試比較與的大?。唬?)已知a≠1且a∈R,試比較與的大小.19.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知下列三個(gè)不等式:①;②;③,以其中兩個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,則可組成幾個(gè)正確命題?并選取一個(gè)結(jié)論證明.20.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知1<a<4,2<b<8,試求a-b與的取值范圍.21.(2023·貴州貴陽(yáng)·二模(理))已知(1)證明:;(2)已知,,求的最小值,以及取得最小值時(shí)的,的值.22.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)二次函數(shù),其圖像過(guò)點(diǎn),且與直線有交點(diǎn).(1)求證:;(2)若直線與函數(shù)的圖像從左到右依次交于A,B,C,D四點(diǎn),若線段能構(gòu)成鈍角三角形,求的取值范圍.專(zhuān)題03等式與不等式的性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2.不等式的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱(chēng)性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧與總結(jié)】1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì),不能忽視其性質(zhì)成立的條件,解題時(shí)要做到言必有據(jù),特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí),有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法,以提高解題的效率.2.比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是:(1)作差;(2)變形;(3)判斷差式與0的大?。唬?)下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大小)的步驟是:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商式與1的大?。唬?)下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形的方法主要有通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)(式)大小最為常用的方法,如果要比較的兩數(shù)(式)均為正數(shù),且是冪或者因式乘積的形式,也可考慮使用作商法.【題型歸納目錄】題型一:不等式性質(zhì)的應(yīng)用題型二:比較數(shù)(式)的大小與比較法證明不等式題型三:已知不等式的關(guān)系,求目標(biāo)式的取值范圍題型四:不等式的綜合問(wèn)題【典例例題】題型一:不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1.(2023·北京海淀·二模)已知,且,則(
)A. B.C. D.答案:B【解析】分析:取特殊值即可判斷A、C、D選項(xiàng),因式分解即可判斷B選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,令,顯然,錯(cuò)誤;對(duì)于B,,又不能同時(shí)成立,故,正確;對(duì)于C,取,則,錯(cuò)誤;對(duì)于D,取,則,錯(cuò)誤.故選:B.例2.(2023·山東日照·二模)若a,b,c為實(shí)數(shù),且,,則下列不等關(guān)系一定成立的是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】分析:由不等式的基本性質(zhì)和特值法即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),由不等式的基本性質(zhì)知,不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,不等號(hào)方向不變,則,A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),由不等式的基本性質(zhì)知,不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變,若,,則,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),由不等式的基本性質(zhì)知,不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變,,,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)?,,所以無(wú)法判斷與大小,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.例3.(2023·山西·模擬預(yù)測(cè)(文))若,則下列結(jié)論中正確的是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】分析:對(duì)于A,利用不等式的性質(zhì)判斷,對(duì)于B,利用基本不等式判斷,對(duì)于C,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷,對(duì)于D,舉例判斷【詳解】∵,∴,∴,故A錯(cuò)誤;∵,∴,∴.∵,∴,故B正確;∵,∴.故C錯(cuò)誤;令,此時(shí).故D錯(cuò)誤.故選:B.(多選題)例4.(2023·遼寧·二模)己知非零實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列不等關(guān)系一定成立的是(
)A. B.C. D.答案:ABC【解析】分析:利用不等式的性質(zhì)及特殊值法判斷即可.【詳解】解:對(duì)于非零實(shí)數(shù),滿足,則,即,故A一定成立;因?yàn)?,故B一定成立;又,即,所以,故C一定成立;對(duì)于D:令,,滿足,此時(shí),故D不一定成立.故選:ABC(多選題)例5.(2023·重慶八中模擬預(yù)測(cè))已知,,且,則下列不等關(guān)系成立的是(
)A. B. C. D.答案:ABD【解析】分析:利用基本不等式以及適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式變形即可判斷.【詳解】對(duì)于A,由,
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,,
,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故A正確;對(duì)于B,由,得,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立;故B正確;對(duì)于C,若滿足,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,∵,∴,由B的結(jié)論得
,,,故D正確;故選:ABD.(多選題)例6.(2023·廣東汕頭·二模)已知a,b,c滿足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是(
)A.a(chǎn)c(a-c)>0 B.c(b-a)<0 C. D.答案:BCD【解析】分析:利用不等式的基本性質(zhì)求解.【詳解】解:因?yàn)閍,b,c滿足c<a<b,且ac<0,所以,所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,,,故選:BCD(多選題)例7.(2023·福建三明·模擬預(yù)測(cè))設(shè),且,則(
)A. B. C. D.答案:BC【解析】分析:根據(jù)條件可得,的符號(hào)不能確定,然后依次判斷即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,的符?hào)不能確定,當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤,因?yàn)?,,所以,故B正確,因?yàn)?,所以,故C正確,因?yàn)椋?,所以,所以,故D錯(cuò)誤,故選:BC【方法技巧與總結(jié)】1.判斷不等式是否恒成立,需要給出推理或者反例說(shuō)明.2.充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.3.小題可以用特殊值法做快速判斷.題型二:比較數(shù)(式)的大小與比較法證明不等式例8.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(文))設(shè),,,則(
)A. B. C. D.答案:B【解析】分析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷,再由作商法判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù),所以,所以,所以,所以故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.例9.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若a=,b=,則a____b(填“>”或“<”).答案:<【解析】分析:作商法比較大小,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算律和性質(zhì),即得解【詳解】易知a,b都是正數(shù),==log89>1,所以b>a.故答案為:<例10.(2023·全國(guó)·高一)(1)試比較與的大??;(2)已知,,求證:.答案:(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】分析:(1)與作差,判斷差的正負(fù)即可得出結(jié)論;(2)結(jié)合不等式的性質(zhì)分析即可證出結(jié)論.【詳解】(1)由題意,,所以.(2)證明:因?yàn)?,所以,即,而,所以,則.得證.例11.(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí))比較與的大?。鸢福?lt;【解析】分析:做差比較大小即可.【詳解】,<.例12.(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí))比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?1)與;(2)與.答案:(1)(2)【解析】分析:利用作差法得出大小關(guān)系.(1)因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).即(2)因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).故.【方法技巧與總結(jié)】比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是:(1)作差;(2)變形;(3)判斷差式與0的大??;(4)下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商式與1的大小;(4)下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形的方法主要有通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)(式)大小最為常用的方法,如果要比較的兩數(shù)(式)均為正數(shù),且是冪或者因式乘積的形式,也可考慮使用作商法,作商法比較大小的原理是:若,則;;; 若,則;;.題型三:已知不等式的關(guān)系,求目標(biāo)式的取值范圍例13.(2023·浙江·模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的取值范圍(
)A. B. C. D.答案:A【解析】分析:設(shè),求出,再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解:設(shè),則,解得,故,又因,所以,所以.故選:A.例14.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知,,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】分析:先求的范圍,再根據(jù)不等式的性質(zhì),求的范圍.【詳解】因?yàn)椋?,由,?故選:A.例15.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若滿足,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】分析:根據(jù)不等式的性質(zhì),求得,且,即可求解.【詳解】由,可得,又由,可得,因?yàn)?,可得,所以,即的取值范圍?故選:A.例16.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(文))已知-3<a<-2,3<b<4,則的取值范圍為(
)A.(1,3)B.C.D.答案:A【解析】分析:先求出a2的范圍,利用不等式的性質(zhì)即可求出的范圍.【詳解】因?yàn)椋?<a<-2,所以a2∈(4,9),而3<b<4,故的取值范圍為(1,3),故選:A.例17.(2023·江西·二模(文))已知,,則6x+5y的取值范圍為_(kāi)_____.答案:【解析】分析:由結(jié)合不等式的性質(zhì)得出答案.【詳解】解:,即故6x+5y的取值范圍為.故答案為:例18.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)二次函數(shù),若函數(shù)的值域?yàn)椋?,則的取值范圍為_(kāi)__________.答案:[1,13]【解析】分析:根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到m與n的關(guān)系,化簡(jiǎn)后利用不等式即可求出其范圍.【詳解】二次函數(shù)f(x)對(duì)稱(chēng)軸為,∵f(x)值域?yàn)?,∴且,n>0.,∵====∴,,∴∈[1,13].故答案為:[1,13].例19.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知有理數(shù)a,b,c,滿足,且,那么的取值范圍是_________.答案:【解析】分析:根據(jù)不等式的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】由于,且,所以,,,所以.故答案為:例20.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,則____________.答案:-3【解析】分析:可以取特殊值時(shí),恒成立,從而求出a和b﹒【詳解】當(dāng)時(shí),恒成立,則對(duì)任意恒成立,則時(shí),恒成立①②③④①+②③+④,代入①代入③,,﹒證明滿足題意:,則,1↗極大值:1↘極小值:↗1由表可知,|f(x)|≤1在[-1,1]上恒成立滿足題意﹒故答案為:-3.【點(diǎn)睛】本題考察恒成立問(wèn)題,根據(jù)函數(shù)和區(qū)間的特殊性,可取特殊值得到關(guān)于a和b的不等式組,求出a和b的范圍,從而確定a和b的取值﹒例21.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知正數(shù)a,b滿足5﹣3a≤b≤4﹣a,lnb≥a,則的取值范圍是___.答案:[e,7]【解析】分析:由題意可求得7;由lnb≥a可得(b),設(shè)函數(shù)f(x)(x),利用其導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的極小值,也就是的最小值.【詳解】∵正數(shù)a,b滿足5﹣3a≤b≤4﹣a,∴5﹣3a≤4﹣a,∴a.∵5﹣3a≤b≤4﹣a,∴31.從而7,∵lnb≥a,∴(b),設(shè)f(x)(x),則f′(x),當(dāng)0<x<e時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x>e時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x=e時(shí),f′(x)=0,∴當(dāng)x=e時(shí),f(x)取到極小值,也是最小值.∴f(x)min=f(e)=e.∴e,∴的取值范圍是[e,7].故答案為:[e,7].例22.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知均為正實(shí)數(shù),且,那么的大值為_(kāi)_________.答案:【解析】分析:本題目主要考察不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì),將已知條件進(jìn)行簡(jiǎn)單變形即可【詳解】因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù),所以由題可得:,即,,,三式相加得:,所以所以的最大值為4故答案為:4【方法技巧與總結(jié)】在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí),不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍,否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大,而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.題型四:不等式的綜合問(wèn)題例23.(2023·江西鷹潭·二模(理))已知,且則下列不等式中恒成立的個(gè)數(shù)是(
)①
②
③
④A.1 B.2 C.3 D.4答案:B【解析】分析:①,分析得到所以正確;②,構(gòu)造函數(shù)舉反例判斷得解;③,構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性判斷得解;④,轉(zhuǎn)化為判斷,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即得解.【詳解】解:①,若,所以矛盾,所以所以正確;②,,設(shè),所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以不恒成立,如,所以該命題錯(cuò)誤;③,,設(shè)在單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以恒成立,所以該命題正確;④,,設(shè),所以,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.取設(shè),所以在單調(diào)遞增,,,所以存在,此時(shí),所以該命題錯(cuò)誤.故選:B例24.(2023·江西·臨川一中高三期中(文))若實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列選項(xiàng)中一定成立的有(
)A. B. C. D.答案:D【解析】分析:先由得到或,再利用不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定.【詳解】因?yàn)?,所以,顯然,所以,所以或,即或;若,則,,,;若,則,,,;即一定成立的是選項(xiàng)D.故選:D.例25.(2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí))若,,則下列選項(xiàng)中正確的是(
)A. B.C. D.答案:C【解析】分析:對(duì)于A,作商比較,對(duì)于B,令判斷,對(duì)于C,利用在單位圓中,內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷,對(duì)于D,利用放縮法判斷【詳解】解:對(duì)于A選項(xiàng),由于,,故由對(duì)數(shù)的定義得,,所以,所以,故錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),令,則,此時(shí),故錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)?,在單位圓中,內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積,所以,故正確;對(duì)于D選項(xiàng),由于,故錯(cuò)誤.故選:C(多選題)例26.(2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè))已知,直線與曲線相切,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.答案:BCD【解析】分析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,再根據(jù)基本不等式與柯西不等式可判斷出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,因?yàn)椋?,得,所以,所以,?duì)于A,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故A不正確;對(duì)于B,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故B正確;對(duì)于C,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),等號(hào)成立,故C正確;對(duì)于D,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),又,即時(shí),等號(hào)成立.故選:BCD(多選題)例27.(2023·遼寧遼陽(yáng)·二模)已知,,且,則(
)A. B.C. D.答案:BD【解析】分析:由不等式的性質(zhì)與基本不等式對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A,,,所以,故A錯(cuò)誤,對(duì)于B,,即,,,故B正確,對(duì)于C,,,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故D正確.故選:BD(多選題)例28.(2023·重慶八中模擬預(yù)測(cè))已知,,且,則下列不等關(guān)系成立的是(
)A. B. C. D.答案:ABD【解析】分析:利用基本不等式以及適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式變形即可判斷.【詳解】對(duì)于A,由,
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,,
,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故A正確;對(duì)于B,由,得,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立;故B正確;對(duì)于C,若滿足,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,∵,∴,由B的結(jié)論得
,,,故D正確;故選:ABD.例29.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若,,設(shè),則的最小值為_(kāi)_.答案:##【解析】分析:將化簡(jiǎn)可得,由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為:.例30.(2023·四川瀘州·三模(理))已知x、,且,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④.其中一定成立的結(jié)論是______(寫(xiě)出所有成立結(jié)論的編號(hào)).答案:①④【解析】分析:利用基本不等式可判斷①和④,取特殊值x=0、y=3可判斷②,取特殊值y=可判斷③.【詳解】對(duì)于①,∵,∴由得,,即,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故①一定成立;對(duì)于②,當(dāng)3時(shí),成立,但不成立,故②不一定成立;對(duì)于③,當(dāng)時(shí),由得,則,即,故③不一定成立;④將兩邊平方得,∴,由①可知:,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),因此④一定成立﹒故答案為:①④﹒【點(diǎn)睛】本題①和④利用基本不等式即可求解,需要熟練運(yùn)用基本不等式求范圍.對(duì)于②和③,取特殊值驗(yàn)算即可快速求解﹒【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1.(2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè))小李從甲地到乙地的平均速度為,從乙地到甲地的平均速度為,他往返甲乙兩地的平均速度為,則(
)A. B.C. D.答案:D【解析】分析:平均速度等于總路程除以總時(shí)間【詳解】設(shè)從甲地到乙地的的路程為s,從甲地到乙地的時(shí)間為t1,從乙地到甲地的時(shí)間為t2,則,,,∴,,故選:D.2.(2023·甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知,則(
)A. B.C. D.答案:A【解析】分析:利用特殊值法,結(jié)合已知逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?,所以,選項(xiàng)A正確;當(dāng)時(shí),顯然滿足,但,選項(xiàng)B不正確;當(dāng)時(shí),顯然滿足,但,選項(xiàng)C不正確;當(dāng)時(shí),顯然滿足,但是,選項(xiàng)D不正確,故選:A3.(2023·陜西寶雞·三模(理))若,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C. D.答案:B【解析】分析:對(duì)于A、B,構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)單調(diào)性比大??;對(duì)于C,沒(méi)有意義;對(duì)于D,取特值判斷.【詳解】對(duì)于A,構(gòu)造函數(shù),因?yàn)閱握{(diào)遞增,又,所以,,,故A答案不對(duì);對(duì)于B,構(gòu)造函數(shù),因?yàn)閱握{(diào)遞增,又,所以,,故B答案正確;對(duì)于C,,沒(méi)有意義,故C答案不對(duì);對(duì)于D,取時(shí),,故D答案不對(duì);故選:B.4.(2023·重慶·二模)若非零實(shí)數(shù)a,b滿足,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】分析:根據(jù)不等式的基本性質(zhì)、基本不等式的條件和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,逐項(xiàng)判定,即可求解.【詳解】對(duì)于A中,由,因?yàn)?,可得,?dāng)不確定,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B中,只有當(dāng)不相等時(shí),才有成立,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C中,例如,此時(shí)滿足,但,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D中,由不等式的基本性質(zhì),當(dāng)時(shí),可得成立,所以D正確.故選:D.5.(2023·安徽黃山·二模(文))設(shè)實(shí)數(shù)、滿足,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】分析:對(duì)于A,B,C可以取特殊值驗(yàn)證,對(duì)于D,根據(jù)題意得,,利用基本不等式求解即可.【詳解】對(duì)于A:當(dāng),時(shí)不成立,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:當(dāng),,所以,,即,故C錯(cuò)誤;對(duì)于C:當(dāng)時(shí)不成立,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)?,所以,又,所以(等?hào)成立的條件是),故D正確.故選:D.6.(2023·安徽·蕪湖一中高三階段練習(xí)(理))已知,,,則以下正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則答案:D【解析】分析:A:取特例即可判斷;B:求出,,根據(jù)冪函數(shù)在(0,1)之間的性質(zhì)即可判斷;C:根據(jù)不等關(guān)系即可求解判斷;D:構(gòu)造并判斷其范圍,表示出,結(jié)合C項(xiàng)范圍即可判斷.【詳解】A:若,取,則,故A錯(cuò)誤;B:若,則,,∴,故B錯(cuò)誤;C:當(dāng)時(shí),∵,∴,∴,∴,故C錯(cuò)誤;D:當(dāng)時(shí),,,由C知,,,,故D正確.故選:D.7.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(理))已知,,則下列結(jié)論正確的有(
)①
②
③
④A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)答案:B【解析】分析:求出、的值,比較、的大小,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法、不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,則,.對(duì)于①,,則,從而,,則,則,即,①對(duì);對(duì)于②,,因?yàn)椋瑒t,,所以,,②錯(cuò);對(duì)于③,,所以,,所以,,③錯(cuò);對(duì)于④,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,因?yàn)椋瑒t,即,可得,所以,,④對(duì).故選:B.8.(2023·安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))若數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】分析:對(duì)選項(xiàng)A,令即可檢驗(yàn);對(duì)選項(xiàng)B,令即可檢驗(yàn);對(duì)選項(xiàng)C,令即可檢驗(yàn);對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公比,然后作差即可.【詳解】若,則可得:,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;若,則可得:,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;若,則可得:,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;不妨設(shè)的首項(xiàng)為,公差為,則有:則有:,故選項(xiàng)D正確故選:D二、多選題9.(2023·遼寧·一模)已知不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a和b,滿足,下列不等式正確的是(
)A. B.C. D.答案:BD【解析】分析:A選項(xiàng),利用作出判斷;B選項(xiàng),利用基本不等式即函數(shù)單調(diào)性求解;CD選項(xiàng),用作差法求解.【詳解】由于兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a和b,滿足,所以a和b可取一個(gè)比1大,一個(gè)比1小,即,故,A錯(cuò)誤;由題意得:,所以,B正確;,其中,但不知道a和b的大小關(guān)系,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,C錯(cuò)誤;,其中,,所以,即,D正確.故選:BD10.(2023·湖南省隆回縣第二中學(xué)高三階段練習(xí))已知,且,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B. C. D.答案:BCD【解析】分析:根據(jù)不等式的基本性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A:由且,可知a>0,c<0,b的值不確定,故由,不能推出,故A錯(cuò)誤;B:由,得,故B正確;C:由于,,得,故C正確;D:由得.所以,故D正確,故選:BCD.11.(2023·廣東·廣州市第四中學(xué)高三階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,則下列不等式一定成立的有(
)A. B.C. D.答案:BD【解析】分析:對(duì)于A,利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷,對(duì)于BC,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷,對(duì)于D,利用不等式的性質(zhì)分析判斷【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,所以,所以A錯(cuò)誤,對(duì)于B,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,所以,所以B正確,對(duì)于C,因?yàn)椋?,所以,所以C錯(cuò)誤,對(duì)于D,因?yàn)?,所以,所以,所以D正確,故選:BD12.(2023·河北保定·一模)已知、分別是方程,的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則下列選項(xiàng)中正確的是(
).A. B.C. D.答案:BD【解析】分析:在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象,可判斷AB,然后結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象如下:所以,所以所以所以,故選:BD三、填空題13.(2023·四川瀘州·三模(文))已知x,,滿足,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④.其中一定成立的結(jié)論是______(寫(xiě)出所有成立結(jié)論的編號(hào)).答案:①④【解析】分析:根據(jù)基本不等式,結(jié)合特殊值法逐一判斷即可.【詳解】①:因?yàn)?,所以有,故本結(jié)論一定成立;②:當(dāng)時(shí),顯然成立,但是不成立,故本結(jié)論不一定成立;③:當(dāng)時(shí),顯然成立,但是不成立,故本結(jié)論不一定成立;④:因?yàn)椋?,由①可知:,所以,因此本結(jié)論一定成立,故答案為:①④14.(2023·全國(guó)·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知實(shí)數(shù)、滿足,,則的取值范圍為_(kāi)_____.答案:【解析】分析:設(shè),利用待定系數(shù)法求出的值,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】解:設(shè),則,解得,所以,因?yàn)?,,所以,,所以,故答案為?15.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))如果a>b,給出下列不等式:①;②a3>b3;③;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序號(hào)是________.答案:②⑥【解析】分析:對(duì)分別賦值,然后對(duì)各個(gè)不等式進(jìn)行排除,對(duì)于無(wú)法排除的選項(xiàng)利用函數(shù)的單調(diào)性和差比較法證明成立.【詳解】令,,排除①,,排除③選項(xiàng),,排除⑤.當(dāng)時(shí),排除④.由于冪函數(shù)為上的遞增函數(shù),故,②是一定成立的.由于,故.故⑥正確.所以一定成立的是②⑥.【點(diǎn)睛】本小題主要考查實(shí)數(shù)比較大小,使用的方法較多,一個(gè)是特殊值比較法,也就是對(duì)問(wèn)題中的舉出一些具體的數(shù)值,然后對(duì)不等式的正確與否進(jìn)行判斷.第二個(gè)是用函數(shù)的單調(diào)性的方法來(lái)比較,即是如果要比較的兩個(gè)數(shù)和某個(gè)函數(shù)有點(diǎn)接近,如本題中②,用冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷.第三個(gè)是用差比較法來(lái)判斷,如本題中的⑥.16.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)x,y為實(shí)數(shù),滿足,,則的最小值是______.答案:【解析】利用方程組形式,可得,求得后結(jié)合不等式性質(zhì)即
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