線性代數(shù)練習(xí)題活頁答案

精品文檔線性代數(shù)練習(xí)題活頁答案一填空題◆1．設(shè)A為3階方陣且A?2，則3A*?1?2A??；**只要與A有關(guān)的題AA?AA?E，從中推你要的結(jié)論。這里A?AA*?1?2A?1代入?1A3A?1?2AA?1?3A?1?，首先要想到公式，注意：為什么是◆2．設(shè)?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1，如?1,?2,?3線性相關(guān)，則?1,?2,?3線性______如?1,?2,?3線性無關(guān)，則?1,?2,?3線性______對于此類題，最根本的方法是把一個向量組由另一個向量表示的問題轉(zhuǎn)化為矩陣乘法的關(guān)系，然后用矩陣的秩加以判明。?101??[?1,?2,?3]?[?1,?2,?3]?110??，記此為B?AK??011??這里r?r?r，切不可兩邊取行列式?。∫驗榫仃嚥灰欢ㄊ欠疥嚕?！你來做下面的三個題：已知向量組?1,?2,?,?m線性無關(guān)。設(shè)?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1試討論向量組?1,?2,?,?m的線性相關(guān)性。已知?1,?2,?3線性無關(guān)，試問常數(shù)m,k滿足什么條件20161/29

精品文檔時，向量組k?2??1,m?3??2,?1??3線性無關(guān)？線性相關(guān)？教材P103第2題和P110例4和P113第4題◆3．設(shè)非齊次線性方程Am?4x?b，r?2，?1,?2,?3是它的三個解，且?1??2?T,?2??3?T,?3??1?T求該方程組的通解。對于此類題，首先要知道齊次方程組基礎(chǔ)解系中向量的個數(shù)是多少，通解是如何構(gòu)造的。其次要知道解得性質(zhì)。你再做教材P147第3題◆4．當(dāng)k?時，??能由?1?,?2?線性表示一個向量能否用一個向量組表示的問題，可轉(zhuǎn)化為非齊次方程組有無解的問題。你來做：設(shè)??T，?1?T，?2?T，?3?T，問t為何值時，?不能由?1,?2,?3線性表示；?能由?1,?2,?3線性表示且表法唯一；?能由?1,?2,?3線性表示且表法無窮多并寫出所有的表示方法。注意：關(guān)于含參數(shù)的方程組求解，如果系數(shù)矩陣是方陣，用行列式的方法往往簡單，如20162/29

精品文檔果不是方陣只有用初等行變換的方法了?！?．設(shè)?1?1T?k1T?k2T，形式不13T，求?2,?3使Q1,?2,?3?為正交矩陣求與一個向量正交的問題，就是解方程組的問題?1Tx?0當(dāng)然要根據(jù)題之要求，還要使用Schimidt正交化，單位化過程你寫一寫正交矩陣的充要條件有哪些，如果給你兩個正交向量求一個向量與它們都正交你也應(yīng)該會！二選擇題◆1．設(shè)A,B為滿足AB?0的兩個非零矩陣，則必有A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)遇到Am?nBn?p?0，就要想到r?r?n以及B的列向量均是線性方程組Ax?0的解。另外：遇到C?AB要想到C的列組都是A的列組的線性組合，C的行組都是B的行組20163/29

精品文檔的線性組合。從這個角度也可做此題，你來想想。◆2．設(shè)r?m?n，則。A[Em,O]A[Em,O]n對?b?R，Ax?b必有無窮多解rc若BA?O?B?OTAA?0和是化標(biāo)準(zhǔn)形的問題。這里A是行滿秩矩陣，必有m階子式非零，這個m階子式所在的行就是A的所有的行，只用列變換可把它所在的m列調(diào)到前面來CA[Bm?m,C]此時B是非奇異矩陣，可只用列變換化為單位矩陣，然后用此單位矩陣只用列變換把后面的矩陣C消為零。故是對的。不對。對于要知道，如果A是行滿秩矩陣，則Ax?b一定是有解的，這是因為m?r?r?m?r?r至于是否有唯一解還是有無窮多解還要把增廣矩陣的秩與未知數(shù)的個數(shù)，由題設(shè)r?m?n，故有無窮多解也是對的。對于這是書上定理AX?O只有零矩陣解的充要條件20164/29

精品文檔是A是列滿矩陣的變形BA?O?AB?O這里A是列滿秩,故也是對的。對于要了解形如AA的是一個非常重要的矩陣，你必須知道這兩個結(jié)TT論一是AA是一個對稱半正定的矩陣，二T是r?r。用第二個結(jié)論立即知AA可逆的充要條件是A是列滿秩。這樣就是對的。另外：對于Am?nBn?m型的矩陣，如果m?n，一定有Am?nBn?m?0果是方陣的話）◆3．設(shè)A為n階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B，則交換A的第１列與第２列得B交換A的第１行與第２行得B交換A的第１列與第２列得?B交換A的第１行與第２行得?B對于此類題你不僅要熟悉伴隨矩陣的運算還要熟悉初等矩陣的性質(zhì)。交換A和第1行和第2行得B，則有EA?B，從而?A?B，由此關(guān)系找A與B的關(guān)系：**********B*?BB?1??A?1E?1??AA?1E??A*E由此知是對的。20165/29

精品文檔◆4．設(shè)A為方陣，?1,?2是齊次線性方程組Ax?0的兩個不同的解向量，則是A的特征向量?1與?2，?1??2，?1??2，、、都是齊次方程組有有兩個不的解，當(dāng)然必有非零解，從而必有特征值0，對應(yīng)的特征向量就是其非零解。這里要選才能保證是非零的。把此題變化一下：設(shè)?1,?2是齊次線性方程組Ax?0的兩個不同的解向量，r?n?1，則是Ax?0的基礎(chǔ)解系。?1?2，?1??2，?1??2?1??1?相似的矩陣是◆5．與矩陣?????2????110??100??111??100011?，110?010，010，002???002???002???1?12??首先相似矩陣有相同的特征值，都是1和2，如有不是的就該排除，這里沒有。這就要靠矩陣可對角化的充要條件是任一特征值的重數(shù)等于它所對應(yīng)的無關(guān)特征向量的個數(shù)去判別。即ni?n?r亦即，只需考慮多r?n?n?ni，對于單重的不需要考慮重的。這里只需考慮r3?2?120166/29

精品文檔三計算題?122?2222?2◆1．計算行列式Dn?223?2222?n提示此行列式特點是對角元不等，其余相等。每一行減第一行。你還有更好的方法嗎。答案?2?!）評注關(guān)于行列式的計算重點掌握化三角形，以及特殊分塊行列式的計算?1?◆2．解矩陣方程?*?XA?1?2AX?12E?2??1?1?1其中A0??02030000?10?0??，求X??0?提示先化簡方程為：X?12E?2?40??2?20答案X002?0?1?00?0?2?評注關(guān)于解矩陣方程一定要先化簡，變?yōu)槿缦滦问街籄X?B,XA?B,AXB?C主要考察矩陣的基本運算，矩陣求逆等知識。注意左乘還右乘的關(guān)系，這是同學(xué)們最容易錯的?！?．設(shè)向量組?1??1,2,3,4?,?2?T,?3?T,?4?TT求此向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余向量用該極20167/29

精品文檔大無關(guān)組線性表示。第一部分選擇題一、單項選擇題在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式A.m+nC.n-m.設(shè)矩陣a11a21a12a22=m，0??0??3?a13a23a11a21=n，則行列式a11a21a12?a13a22?a23等于020B.-D.m-n?1?A=?0??0，則A-1等于20168/29

精品文檔??1??00???0?0??1??3?13000120A.?0??0??10??0?1??2?B.01201300010C.D.12000130?0??0??13.設(shè)矩陣?3?A=?12?10121??4?，A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于的元素是A.–B.C.D.–2.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有A.A=0B.B?C時A=0C.A?0時B=CD.|A|?0時20169/29

精品文檔B=CT5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩等于A.1B.C.D.6.設(shè)兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，則A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1+λ2+…+λs=0C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1+λ2+…+λs=0D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs和不全為0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的是A.η1+η2是Ax=0的一個解B.12η1+12201610/29

精品文檔η2是Ax=b的一個解C.η1-η2是Ax=0的一個解D.2η1-η2是Ax=b的一個解.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有A.秩A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λ是A的屬于特征值λ的特征向量α，使α=0，則λ是A的特征值C.A的2個不同的特征值可以有同一個α，則αB.如存在數(shù)λ和非零向量特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬于λ1，λ2，3的特征向量，則α2，α3有可能線性相關(guān)0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于λ0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k，則必有設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是A.|A|2必為1B.|A|λα1，11.設(shè)λA.k≤B.k12.必為1C.A-1=ATD.A的行向量組是正交單位向量是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則A.A與B相似B.A與B不等價組13.設(shè)AC.A與B有相同的特征值D.A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為A.??2?33??4?02?303??5?B.?201611/29

精品文檔?3?24??6?1201??0??2??1?C.?0??0?1?D.?1??1第二部分非選擇題二、填空題不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。1152516?3615.3911??13????1?24?216.設(shè)A=??1?1?11，B=?.則A+2B17.設(shè)A=3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式,則2+2+218.設(shè)向量與向量線性相關(guān)，201612/29

精品文檔則19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為.20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r，則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為.21.設(shè)向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內(nèi)積.2.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為.23.設(shè)矩陣A=?0??1210?31063??8?，已知α=?21????2?是它的一個特征向量，則α所對應(yīng)的特征值為.24.設(shè)實二次型f的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為.三、計算題5.設(shè)?1?A=?312420??0??1?，B=?110?53??0??3?201613/29

精品文檔?23?1????240??13132?4?1?3.求ABT；|4A|.326.試計算行列式?521.27.設(shè)矩陣?4?A=?11212，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.?13?2=?2????4?062326?3??4??30?3=?2?1??01?4=?4????9?28.給定向量組α??21?1=?03??24?13201614/29

精品文檔，α，α，α.試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。9.設(shè)矩陣?1??2A=??2??3?1203.求：秩；A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。?0?30.設(shè)矩陣A=??2??2?2?342??43?的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形222?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，f=x1并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且-1=E+A+A2.201615/29

精品文檔33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.試證明η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；η0，η1，η2線性無關(guān)。答案：一、單項選擇題1.D2.B3.B4.D5.C.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題15.16.?313?37??7?17.18.–1019.η1+c，c為任意常數(shù)0.n-r1.–22.–23.12222?z2?z3?z24.z1三、計算題?1?25.解ABT=?31?8?=?18??32420??2??0??3??116??10??10??2??4??0?201616/29

精品文檔.|4A|=43|A|=64|A|，而124200??21|A|=3?1.所以|4A|=64·=-1283110?5511?512?510?0?131312?4?1?3?5?110?5110?5?13131?10026.解?521201617/29

精品文檔=?11?55?10=?6?5?6?52?5?30?10?40.27.解AB=A+2B即B=A，而?2?-1=?112?123??0??1??1?111?4?56?4?56?33?.?4?2123??0??3?所以?1?B=-1A=?1201618/29

精品文檔1?3??43??1??41?3?=?22?8?912?66?.?9?28.解一??2??1?0??31?324302?1010001000??01??1?04???9??0318?140010?5?3113301?10100?2???1?2??12?3110?1??0?0??0?1??0?0??05??1??2??0?08?14??05?201619/29

精品文檔?2?1??0?2??1?,1??0?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為.解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即??2x1?x2?3x3?0??x1?3x2??1??2x2?2x3?4?3x1?4x2?x3?9.?方程組有唯一解T，組合系數(shù)為.29.解對矩陣A施行初等行變換A?1??0?0??0?2039?2300?1200?10260683086?2122??22??1??0?0??02??13??0201620/29

精品文檔?0?2???7??0?2300?120008302???3??1??0?=B.秩=3，所以秩=秩=3.由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。30.解A的屬于特征值λ=1的2個線性無關(guān)的特征向量為ξ1=T，ξ2=T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η?25/5=?/5?10??，η?25/15???=45/15?2201621/29

精品文檔/3??.λ=-8的一個特征向量為《線性代數(shù)》練習(xí)題庫一、填空題1．設(shè)A、B為n階方陣，則?A?2AB?B的充要條件是．一個n級矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則A的秩為n。.設(shè)P、Q都是可逆矩陣，若PXQ?B，則X?PBQ。?1?1222??12214.設(shè)A??21?2?2?，則R?。1?1?4?3?1?112???5.設(shè)矩陣A??3??12?，且R?2,則??,??。?53?66.設(shè)A為n階矩陣，且A?1,則R?____n____。．設(shè)5階行列式A?3,201622/29

精品文檔B??4，則ATB?-1。8.含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是A?0或r?n。9.線性方程組有解Ax?b的充分必要條件是r?r。10.A是n?n矩陣，對任何bn?1矩陣，方程AX?b都有解的充要條件是r?n或A?0。11.若?1??2s?0，則向量組?1,?2,?,?s必線性12.已知向量組?1?，?2?，?3?，?3?，則該向量組的秩是2。13.設(shè)?1,?2,?,?m為n維向量組,且R?n，則n?m。14.n?1個n維向量構(gòu)成的向量組一定是線性相關(guān)的。15.已知向量組?1?,?2?,?3?線性相關(guān)，則t?__5_____。二、計算題12341.求行列式D?23413412的值。D=160412331?122.求行列式D?201623/29

精品文檔?513?4201?1的值。D=401?53?313?513.求行列式5?27?221?4?1的值。D=222?3?463?a1?14.計算n階行列式11?a?1n?1=a11?1?axy0...000xy...005.計算n階行列式D...=xn?n?1n?...............yn000...xyy201624/29

精品文檔0...xxa?a6.計算n階行列式Dax?an?=a)n?1aa?x?127.已知??,??，試求：①?T?=?3??123；??1?2?3???0②??T??2=?00??000??。??000???00a??b11201625/29

精品文檔b12b13?8．設(shè)矩陣A0a0??，B???bbbc?212223?，C??0?a00b31b32b33????000?c0??，0c??求A2010BC2011=a2010c2011B.??210??12?11??1?13?2?是否可逆,若可逆，則求出逆矩陣A=?3?9.判別矩陣A=?34。?22??5?41???167?10?21??634?0?2?，用矩陣的初等變換求A的逆矩陣。A?1??423?10.已知矩陣A=?3??23?946?011.判別向量組?1=,?2=，?3=，?4=是否線性相關(guān)，并求?1,?2,?3,?4的一個極大線性無關(guān)組。?1,?2,?3,?4線性相關(guān)，?1,?2,?4為?1,?2,?3,?4的201626/29

精品文檔一個極大線性無關(guān)組。12.求向量組??，??，??的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合。。?,?為一個極大線性無關(guān)