山東高考理科數(shù)試卷及答案

絕密★啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)理科數(shù)學(xué) 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共4頁(yè)．滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．考試結(jié)束后，將將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上． 2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案卸載試卷上無(wú)效． 3.第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效． 4.填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.參考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的（1）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)為單位，則（A） （B） （C） （D）【解析】設(shè)，則，所以，故選（B）（2）已知集合，則（A） （B） （C） （D）【解析】由題意，所以，故選（C）（3）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（A）56 （B）60 （C）120 （D）140自習(xí)時(shí)間/小時(shí)自習(xí)時(shí)間/小時(shí)頻率/組距0.020.040.080.100.16o17.522.5202527.530【解析】由圖可知組距為2.5，每周的自習(xí)時(shí)間少于22.5小時(shí)的頻率為所以，每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是人，故選D．（4）若變量滿足，則的最大值是（A）4 （B）9 （C）10 （D）12111【解析】由是點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，111故只需求出三直線的交點(diǎn)，所以是最優(yōu)解，的最大值是10，故選C（5）有一個(gè)半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（A） （B） （C） （D）三、解答題：本答題共6小題，共75分．（16）（本小題滿分12分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知(Ⅰ)證明：；（Ⅱ）求的最小值．【解析】(Ⅰ)由得，所以，由正弦定理，得．（Ⅱ）由．所以的最小值為．（17）（本小題滿分12分）在如圖所示的圓臺(tái)中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，是圓臺(tái)的一條母線．(Ⅰ)已知分別為的中點(diǎn)，求證：平面；(Ⅱ)已知，求二面角的余弦值．【解析】(Ⅰ)連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，在上底面?nèi)，不在上底面內(nèi)，EFBACGH所以上底面，所以EFBACGH又因?yàn)?，平面，平面，所以平面；所以平面平面，EFBACO，OxyEFBACO，Oxyz(Ⅱ)連結(jié)，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．，，于是有，，，，可得平面中的向量，,于是得平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則．二面角的余弦值為．（18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)令．求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，當(dāng)時(shí)，，又對(duì)也成立，所以．又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(Ⅱ)由，于是，兩邊同乘以２，得，兩式相減，得．（19）（本小題滿分12分）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：(Ⅰ)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；(Ⅱ)“星隊(duì)”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】(Ⅰ)“至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”包括“恰好猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”和“猜對(duì)4個(gè)成語(yǔ)”．設(shè)“至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”為事件；“恰好猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”和“猜對(duì)4個(gè)成語(yǔ)”分別為事件，則；．所以．(Ⅱ)“星隊(duì)”兩輪得分之和的所有可能取值為0,1,2,3,4,6于是；；；；；；的分布列為：012346的數(shù)學(xué)期望．（20）（本小題滿分13分）已知(Ⅰ)討論的單調(diào)性；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立．【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，或，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增，(3)當(dāng)時(shí)，，或，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，于是，，令，，，于是，，的最小值為；又設(shè)，，因?yàn)?，，所以必有，使得，且時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；又，，所以的最小值為．所以．即對(duì)于任意的成立．（21）（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．（i）求證：點(diǎn)在定直線上；（ii）直線與軸交于點(diǎn),記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】(Ⅰ)由離心率是，有，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，于是，所以橢圓的方程為．(Ⅱ)（i）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，因此切線的方程為，設(shè)，，將代入，得