遼寧省遼陽(yáng)市宗舜中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

遼寧省遼陽(yáng)市宗舜中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量滿足，則向量的夾角為(

)A． B． C． D．參考答案：B2.直線與直線分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為（1，－1），則直線的斜率為

（

）

A．

B．

C．－

D．－參考答案：C3.已知向量，且與互相垂直，則k的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)＝

(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略5.雙曲線與拋物線有一個(gè)公共焦點(diǎn)，雙曲線上過點(diǎn)且垂直實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率等于

（

）A. B.

C.

D.

參考答案：B略6.如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120，232，354等），那么所有小于700的凸數(shù)的個(gè)數(shù)為（） A．44 B．86 C．112 D．214參考答案：D【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題；分類討論；數(shù)學(xué)模型法；排列組合． 【分析】按照中間一個(gè)數(shù)字的情況分8類，當(dāng)中間數(shù)為2時(shí)，百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可以選1和0，當(dāng)中間數(shù)為3時(shí)，百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有3種選擇，以此類推，寫出其他情況，利用加法原理得到結(jié)果． 【解答】解：按照中間一個(gè)數(shù)字的情況分8類， 當(dāng)中間數(shù)為2時(shí)，百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可以選1和0，有1×2=2種； 當(dāng)中間數(shù)為3時(shí)，百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有3種選擇，有2×3=6種； 以此類推 當(dāng)中間數(shù)為4時(shí)，有3×4=12種； 當(dāng)中間數(shù)為5時(shí)，有4×5=20種； 當(dāng)中間數(shù)為6時(shí)，有5×6=30種； 當(dāng)中間數(shù)為7時(shí)，有6×7=42種； 當(dāng)中間數(shù)為8時(shí)，首位只有6種選擇，末尾有8種選擇，故有6×8=48種， 當(dāng)中間數(shù)為9時(shí)，首位只有6種選擇，末尾有9種選擇，故有6×9=54種， 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知故共有2+6+12+20+30+42+48+54=214種． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】數(shù)字問題是排列中的一大類問題，條件變換多樣，把排列問題包含在數(shù)字問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏． 7.已知三角形△ABC的三邊長(zhǎng)成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A．18 B．21 C．24 D．15參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列與三角函數(shù)的綜合．【分析】設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，設(shè)公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，則a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因?yàn)閟inA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因?yàn)槿龡l邊不相等，則必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三邊長(zhǎng)，從而得到這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，設(shè)公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，則a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，因?yàn)槿龡l邊不相等，則必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA====﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7．∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+5+7=15．故選D．8.已知R上可導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象求出f′（x）＞0的解集與f′（x）＜0的解集，因此對(duì)原不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到原不等式的答案．【解答】解：由圖象可得：當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，所以f′（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣1），（1，+∞），當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以f′（x）＜0的解集為（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即與不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由題意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等價(jià)于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故選D．9.若函數(shù)在x＝1處有極值，則的值等于（）A．2

B．3

C．5

D．6參考答案：C略10.已知雙曲線C1：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線C1的一條漸近線上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面積為16，且雙曲線C1與雙曲線C2：﹣=1的離心率相同，則雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A．32 B．16 C．8 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由雙曲線C1的一條漸近線為y=x，利用點(diǎn)到直線的距離公式可知：丨F2M丨==b，丨OM丨==a，△OMF2的面積S=丨F2M丨?丨OM丨=16，則ab=32，雙曲線C2的離心率e=，即可求得a和b的值，雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)2a=16．【解答】解：由雙曲線C1：﹣=1（a＞b＞0）的一條漸近線為y=x，∵OM⊥MF2，F(xiàn)2（c，0），∴丨F2M丨==b，∵丨OF2丨=c，丨OM丨==a△OMF2的面積S=丨F2M丨?丨OM丨=ab=16，則ab=32，雙曲線C2：﹣=1的離心率e===，∴e===，解得：a=8，b=4，雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)2a=16，故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓x2＋4y2＝4長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A，以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是

．參考答案：16/25略12.若圓x2＋y2＝4和圓x2＋y2＋4x－4y＋4＝0關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為__________.參考答案：略13.給出下列命題：①若，則；②若，且，則；③若，則；④若，則.其中假命題是________(只需填序號(hào))．參考答案：③④略14.已知是圓為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)題意可知|BP|+|PF|正好為圓的半徑，而PB|=|PA|，進(jìn)而可知|AP|+|PF|=2．根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)A，F(xiàn)求得a，c，進(jìn)而求得b，答案可得．【解答】解：依題意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|∴|AP|+|PF|=2根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，a=1，c=，則有b=故點(diǎn)P的軌跡方程為故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用定義法求軌跡方程的問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．15.已知x2+y2=4x，則x2+y2的取值范圍是．參考答案：[0，16]【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離公式．【專題】函數(shù)思想；換元法；直線與圓．【分析】三角換元，令x﹣2=2cosθ，y=2sinθ，代入式子由三角函數(shù)的知識(shí)可得．【解答】解：∵x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4，故令x﹣2=2cosθ，y=2sinθ，∴x2+y2=（2+2cosθ）2+（2sinθ）2=4+8cosθ+4cos2θ+4sin2θ=8+8cosθ，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴8+8cosθ∈[0，16]故答案為：[0，16]【點(diǎn)評(píng)】本題考查式子的最值，三角換元是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．16.下列說(shuō)法及計(jì)算不正確的是

。

①6名學(xué)生爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，冠軍的獲得情況共有種．

②在某12人的興趣小組中，有女生5人，現(xiàn)要從中任意選取6人參加2012年數(shù)學(xué)奧賽，用x表示這6人中女生人數(shù)，則P(X=3)=。

③|r|≤1，并且|r|越接近1，線性相關(guān)程度越弱；|r|越接近0，線性相關(guān)程度越強(qiáng)．

④.

⑤在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,PA=，那么點(diǎn)A到平面PBD的距離為．參考答案：①③17.函數(shù)在處的切線方程是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（10分）設(shè)均為正數(shù),且,證明:

(1);

(2).

參考答案：略19.（本小題滿分12分)已知定義在上的三個(gè)函數(shù)，，，且在處取得極值．（Ⅰ）求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立.參考答案：（Ⅰ），，，∴………………2分而，，令得；令得．∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是…………4分（Ⅱ）∵，∴，∴，欲證，只需要證明，即證明……6分20.已知函數(shù)f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；參考答案：21.2019年4月26日，鐵人中學(xué)舉行了盛大的成人禮.儀式在《相信我們會(huì)創(chuàng)造奇跡》的歌聲中拉開序幕，莊嚴(yán)而神圣的儀式感動(dòng)了無(wú)數(shù)家長(zhǎng)，4月27日，鐵人中學(xué)官方微信發(fā)布了整個(gè)儀式精彩過程，幾十年眾志成城，數(shù)十載砥礪奮進(jìn)，鐵人中學(xué)正在創(chuàng)造著一個(gè)又一個(gè)奇跡．官方微信發(fā)布后，短短幾個(gè)小時(shí)點(diǎn)擊量就突破了萬(wàn)人，收到了非常多的精彩留言.學(xué)校從眾多留言者中抽取了100人參加“學(xué)校滿意度調(diào)查”，其留言者年齡集中在[25,85]之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，做出頻率分布直方圖如下：（Ⅰ）求這100位留言者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差S2（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，留言者年齡x服從正態(tài)分布，其中近似為樣本均數(shù)，近似為樣本方差．(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求；（ii）學(xué)校從年齡在[45,55]和[65,75]的留言者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“精彩留言”表彰大會(huì)，現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間[45,55]的人數(shù)是Y，求變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，.參考答案：（Ⅰ）60，180；（Ⅱ）(ⅰ)；（ii）.【分析】（Ⅰ）利用頻率分布圖中的平均數(shù)公式和方差公式求這100位留言者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差；（Ⅱ）(ⅰ)利用正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)求；（ii）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這7人中年齡在內(nèi)有3人，在內(nèi)有4人，故可能的取值為0，1，2，3，再求概率