黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試卷

2021年黑龍江省佳木斯一中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共60分.）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}．B＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，2}2．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z＝|3﹣4i|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第四象限 C．第二象限 D．第三象限3．已知x，y∈R，且x＞y，則下列說法是正確的是（）A． B．sinx＞siny C．2x?3y＜2y?3x D．4．近些年，我國在治理生態(tài)環(huán)境方面推出了很多政策，習(xí)總書記明確提出大力推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)，努力建設(shè)美麗中國！某重型工業(yè)企業(yè)的生產(chǎn)廢水中某重金屬對環(huán)境有污染，因此該企業(yè)研發(fā)了治理回收廢水中該重金屬的過濾裝置，廢水每通過一次該裝置，可回收20%的該重金屬．若當(dāng)廢水中該重金屬含量低于最原始的4%時(shí)，至少需要經(jīng)過該裝置的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301）A．12 B．13 C．14 D．155．已知單位向量，的夾角為120°，設(shè)．則||＝（）A． B． C． D．6．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n可能相交或異面 B．若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n一定平行 C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直 D．若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行7．已知cosα＝﹣，，則的值為（）A．7 B．﹣7 C． D．﹣8．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”該問題可用如圖所示的程序框圖來求解，則輸入的x的值為（）A． B． C． D．49．已知y＝f（x）為奇函數(shù)且對任意x∈R，f（x+2）＝f（﹣x），若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝log2（x+a），則f（2021）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．11．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)g（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象．已知函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的說法正確的是（）A．f（x）的最小正周期為 B．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對稱 D．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱12．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺傳名錄．已知某蹴鞠內(nèi)切于三棱錐S﹣ABC，SA⊥面ABC，AB⊥BC，SA＝4，AB＝3，BC＝4，則該蹴鞠的體積為（）A．π B．π C．π D．4π二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）13．已知圓C的圓心坐標(biāo)是（0，m），若直線2x﹣y+3＝0與圓C相切于點(diǎn)A（2，7），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，C＝，c＝2，D為BC中點(diǎn)，cosB＝，求AD的長度為．15．下列說法正確的有．①統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱．②在線性回歸模型中，計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈0.6，表明解釋變量解釋了60%預(yù)報(bào)變量的變化．③為了了解本校高三學(xué)生1159名學(xué)生的三模數(shù)學(xué)成績情況，準(zhǔn)備從中抽取一個(gè)容量為50的樣本，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法，需要從總體中剔除9個(gè)個(gè)體，在整體抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率和每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別是和．④隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．⑤身高x和體重y的關(guān)系可以用線性回歸模型y＝bx+a+e來表示，其中e叫隨機(jī)誤差，則它的均值E（e）＝0．16．若兩曲線y＝x2+1與y＝alnx+1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（本題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題.第22，23題為選考題.）17．已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝2n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．18．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．19．已知函數(shù)f（x）＝+（a+1）x+lnx（a≠0）．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＜0時(shí)，證明f（x）≤﹣2﹣．20．我國探月工程嫦娥五號探測器于2020年12月1日23時(shí)11分降落在月球表面預(yù)選著陸區(qū)，在順利完成月面自動(dòng)采樣之后，成功將攜帶樣品的上升器送入到預(yù)定環(huán)月軌道，這是我國首次實(shí)現(xiàn)月球無人采樣和地外天體起飛，對我國航天事業(yè)具有重大而深遠(yuǎn)的影響．某校為了解高中生的航空航天知識(shí)情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷，從該校高中生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生參加測試，記錄了他們的分?jǐn)?shù)，將收集到的學(xué)生測試的評分?jǐn)?shù)據(jù)按照[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分組，繪制成評分頻率分布直方圖，如下：（1）在測試評分不低于80分的12名學(xué)生中隨機(jī)選取3人作為航空航天知識(shí)宣傳大使，記這3名學(xué)生中測試評分不低于90分的人數(shù)為X，求X的分布列；（2）為激勵(lì)學(xué)生關(guān)注科技，該?？萍忌鐖F(tuán)預(yù)在高一學(xué)年1000名學(xué)生中，舉辦航天知識(shí)大賽，計(jì)劃以知識(shí)問答試卷形式，以分?jǐn)?shù)高低評比等級，一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)為航天模型，三等獎(jiǎng)無獎(jiǎng)品，且一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品價(jià)值為二等獎(jiǎng)的二倍，每個(gè)等級都頒發(fā)相應(yīng)證書．獎(jiǎng)品費(fèi)用需社團(tuán)自行聯(lián)系商家贊助，已籌集到贊助費(fèi)6000元．現(xiàn)以問卷調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)競賽結(jié)果，以在測試評分不低于90分頻率記為一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率，不低于80分不足90分頻率記為二等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率，不低于70分不足80分頻率記為三等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率，若要求贊助費(fèi)盡量都使用，試估計(jì)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)應(yīng)為多少元？21．曲線Γ上動(dòng)點(diǎn)M到A（﹣2，0）和到B（2，0）的斜率之積為﹣．（1）求曲線Γ的軌跡方程；（2）若點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）為直線x＝4上任意一點(diǎn)，PA，PB交橢圓Γ于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最大值．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（α為參數(shù)且0＜α＜π），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線C3：θ＝（ρ∈R）．（1）求曲線C1，C2的普通方程；（2）若C2上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)α＝，Q為C1上的點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線C3距離d的最小值．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥6．（2）已知a＞0，b＞0，g（x）＝f（x）﹣|x+1|的最大值m，＝m，求a2+b2的最小值．

參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}．B＝{x∈Z|﹣1≤x≤1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，2}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故選：B．2．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z＝|3﹣4i|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第四象限 C．第二象限 D．第三象限解：由題意得z＝＝＝，其對應(yīng)的點(diǎn)（，﹣）在第四象限．故選：B．3．已知x，y∈R，且x＞y，則下列說法是正確的是（）A． B．sinx＞siny C．2x?3y＜2y?3x D．解：A：當(dāng)x＝3，y＝﹣1時(shí)，則＞，∴A錯(cuò)誤，B：當(dāng)x＝π，y＝時(shí)，則sinπ＝0，siny＝1，∴B錯(cuò)誤，C：∵y＝為減函數(shù)，又∵x＞y，∴＜，∴＜，∴2x?3y＜2y?3x，∴C正確，D：當(dāng)x＝8，y＝﹣1時(shí)，則＝2，＝﹣1，∴＞，∴D錯(cuò)誤．故選：C．4．近些年，我國在治理生態(tài)環(huán)境方面推出了很多政策，習(xí)總書記明確提出大力推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)，努力建設(shè)美麗中國！某重型工業(yè)企業(yè)的生產(chǎn)廢水中某重金屬對環(huán)境有污染，因此該企業(yè)研發(fā)了治理回收廢水中該重金屬的過濾裝置，廢水每通過一次該裝置，可回收20%的該重金屬．若當(dāng)廢水中該重金屬含量低于最原始的4%時(shí)，至少需要經(jīng)過該裝置的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301）A．12 B．13 C．14 D．15解：設(shè)廢水中最原始的該重金屬含量為a，則經(jīng)過x次該裝置過濾后，該重金屬含量為a×（1﹣20%）x＝a，由題意知a×a，所以，兩邊取對數(shù)，得x＝≈14.4，所以x取最小整數(shù)為15．故選：D．5．已知單位向量，的夾角為120°，設(shè)．則||＝（）A． B． C． D．解：單位向量，的夾角為120°，設(shè)．則||＝＝＝．故選：A．6．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n可能相交或異面 B．若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n一定平行 C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直 D．若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行解：m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，對于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；對于B，若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；對于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對于D，若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選：A．7．已知cosα＝﹣，，則的值為（）A．7 B．﹣7 C． D．﹣解：因?yàn)閏osα＝﹣，，所以sinα＝＝，tanα＝＝﹣，則＝＝7．故選：A．8．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”該問題可用如圖所示的程序框圖來求解，則輸入的x的值為（）A． B． C． D．4解：第一次輸入x＝x，i＝1執(zhí)行循環(huán)體，x＝2x﹣1，i＝2，執(zhí)行循環(huán)體，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，執(zhí)行循環(huán)體，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，輸出8x﹣7的值為0，解得：x＝，故選：B．9．已知y＝f（x）為奇函數(shù)且對任意x∈R，f（x+2）＝f（﹣x），若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝log2（x+a），則f（2021）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2解：因?yàn)閥＝f（x）為奇函數(shù)，即f（﹣x）＝﹣f（x），因?yàn)閷θ我鈞∈R，f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝log2（x+a），所以f（0）＝log2a＝0，所以a＝1，則f（2021）＝f（505×4+1）＝f（1）＝log22＝1．故選：C．10．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．解：∵雙曲線＝1（a＞0，b＞0），∴雙曲線的漸近線方程是y＝±x，又∵拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝﹣，∵雙曲線＝1的兩條漸近線與拋物線x2＝4x的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x＝和x＝﹣，∵△AOB的面積為，∴××＝，∴b＝a，c＝＝2a，∴e＝＝2．故選：C．11．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)g（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象．已知函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的說法正確的是（）A．f（x）的最小正周期為 B．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對稱 D．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱解：根據(jù)g（x）的部分圖象，可得A＝2，?＝+，∴ω＝2．結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得2×（﹣）+φ＝，∴φ＝，故g（x）＝2sin（2x+）．由題意，把g（x）的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再向右平移個(gè)單位，可得f（x）＝2sin（3x+﹣π）＝2sin（3x﹣）的圖象，故f（x）的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；在區(qū)間上，3x﹣∈[0，]，f（x）沒有單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，f（x）的圖象不關(guān)于直線x＝對稱，故C錯(cuò)誤；令x＝，求得f（x）＝0，故f（x）的圖象關(guān)于（，0）對稱，故D正確，故選：D．12．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺傳名錄．已知某蹴鞠內(nèi)切于三棱錐S﹣ABC，SA⊥面ABC，AB⊥BC，SA＝4，AB＝3，BC＝4，則該蹴鞠的體積為（）A．π B．π C．π D．4π解：如圖，∵SA⊥面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，且SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB，∵SA＝4，AB＝3，BC＝4，∴三棱錐S﹣ABC的體積V＝；表面積S＝＝32．設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為R，由等體積法可得：，得R＝．∴內(nèi)切球的體積為V＝×＝．故選：B．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）13．已知圓C的圓心坐標(biāo)是（0，m），若直線2x﹣y+3＝0與圓C相切于點(diǎn)A（2，7），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣8）2＝5．解：如圖所示，由圓心C（0，m）與切點(diǎn)A的連線與切線垂直，得＝﹣，解得m＝8．所以圓心為（0，8），半徑為r＝＝．所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣8）2＝5．故答案為：x2+（y﹣8）2＝5．14．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，C＝，c＝2，D為BC中點(diǎn)，cosB＝，求AD的長度為．解：因?yàn)閏osB＝，所以sinB＝，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝＝，由正弦定理得，所以a＝2，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，BD＝，△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BDcosB＝26，所以AD＝．故答案為：．15．下列說法正確的有②⑤．①統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱．②在線性回歸模型中，計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈0.6，表明解釋變量解釋了60%預(yù)報(bào)變量的變化．③為了了解本校高三學(xué)生1159名學(xué)生的三模數(shù)學(xué)成績情況，準(zhǔn)備從中抽取一個(gè)容量為50的樣本，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法，需要從總體中剔除9個(gè)個(gè)體，在整體抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率和每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別是和．④隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．⑤身高x和體重y的關(guān)系可以用線性回歸模型y＝bx+a+e來表示，其中e叫隨機(jī)誤差，則它的均值E（e）＝0．解：①統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，線性相關(guān)系數(shù)|r|越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，故①錯(cuò)誤；②在線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r可以衡量兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)指數(shù)R2≈0.6，表明解釋變量解釋了60%預(yù)報(bào)變量的變化，故②正確；③為了了解本校高三學(xué)生1159名學(xué)生的三模數(shù)學(xué)成績情況，準(zhǔn)備從中抽取一個(gè)容量為50的樣本，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法，需要從總體中剔除9個(gè)個(gè)體，在整體抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率和每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別是和，故③錯(cuò)誤；④隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，故④錯(cuò)誤；⑤隨機(jī)誤差是衡量預(yù)報(bào)精確度的一個(gè)量，它滿足E（e）＝0，故⑤正確；綜上可知②⑤正確，故答案為：②⑤．16．若兩曲線y＝x2+1與y＝alnx+1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2e]．解：設(shè)公切線與曲線y＝x2+1和y＝alnx+1的交點(diǎn)分別為（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，對于y＝x2+1，y′＝2x，所以與曲線y＝x2+1相切的切線方程為：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12+1，對于y＝alnx+1，y′＝，所以與曲線y＝alnx+1相切的切線方程為y﹣（alnx2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+alnx2，所以，即有﹣＝alnx2﹣a，由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，記f（x）＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′（x）＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），當(dāng)x＜時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）max＝f（）＝2e，又x→0時(shí)，f（x）→0，x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，所以0＜a≤2e．故答案為：（0，2e]．三、解答題（本題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題.第22，23題為選考題.）17．已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝2n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則∴，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）bn＝2n，∴＝，∵＝＝4，∴數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為4，∴Sn＝＝．18．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB1中點(diǎn)，∵D為AC中點(diǎn)，∴PD∥B1C，又∵PD?平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD…解：（Ⅱ）取AB中點(diǎn)為O，A1B1中點(diǎn)為E點(diǎn)，由于△ABC為等邊三角形所以CO⊥AB，又因?yàn)槭钦庵?，所以平面ABCC，且平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，則CD⊥平面ABB1A1以O(shè)為原點(diǎn)OA為x軸，OE為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．顯然平面ABB1A1的法向量為，設(shè)平面A1BD的法向量為，，，cos＜所求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值為…19．已知函數(shù)f（x）＝+（a+1）x+lnx（a≠0）．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＜0時(shí)，證明f（x）≤﹣2﹣．解：（1）f′（x）＝ax+（a+1）+＝（x＞0），當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時(shí)，＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）遞增，在（﹣，+∞）遞減，綜上：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，﹣）遞增，在（﹣，+∞）遞減．（2）證明：由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）max＝f（﹣）＝﹣1﹣+ln（﹣），令g（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），則g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，故g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故g（x）的最大值是g（1）＝0，故g（x）≤0即lnx≤x﹣1，故ln（﹣）≤﹣﹣1，故f（x）max＝﹣1﹣+ln（﹣）≤﹣1﹣﹣﹣1＝﹣2﹣，故當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）≤﹣2﹣．20．我國探月工程嫦娥五號探測器于2020年12月1日23時(shí)11分降落在月球表面預(yù)選著陸區(qū)，在順利完成月面自動(dòng)采樣之后，成功將攜帶樣品的上升器送入到預(yù)定環(huán)月軌道，這是我國首次實(shí)現(xiàn)月球無人采樣和地外天體起飛，對我國航天事業(yè)具有重大而深遠(yuǎn)的影響．某校為了解高中生的航空航天知識(shí)情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷，從該校高中生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生參加測試，記錄了他們的分?jǐn)?shù)，將收集到的學(xué)生測試的評分?jǐn)?shù)據(jù)按照[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分組，繪制成評分頻率分布直方圖，如下：（1）在測試評分不低于80分的12名學(xué)生中隨機(jī)選取3人作為航空航天知識(shí)宣傳大使，記這3名學(xué)生中測試評分不低于90分的人數(shù)為X，求X的分布列；（2）為激勵(lì)學(xué)生關(guān)注科技，該校科技社團(tuán)預(yù)在高一學(xué)年1000名學(xué)生中，舉辦航天知識(shí)大賽，計(jì)劃以知識(shí)問答試卷形式，以分?jǐn)?shù)高低評比等級，一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)為航天模型，三等獎(jiǎng)無獎(jiǎng)品，且一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品價(jià)值為二等獎(jiǎng)的二倍，每個(gè)等級都頒發(fā)相應(yīng)證書．獎(jiǎng)品費(fèi)用需社團(tuán)自行聯(lián)系商家贊助，已籌集到贊助費(fèi)6000元．現(xiàn)以問卷調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)競賽結(jié)果，以在測試評分不低于90分頻率記為一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率，不低于80分不足90分頻率記為二等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率，不低于70分不足80分頻率記為三等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)概率，若要求贊助費(fèi)盡量都使用，試估計(jì)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)應(yīng)為多少元？解：（1）不低于80分的12名學(xué)生中[80，90）：12×＝8（人）；[90，100]：12×＝4（人）；∴X的可能取值為0，1，2，3，∴P（X＝0）＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝；P（X＝3）＝；分布列如下：x0123p（2）不低于90分的人數(shù)為：1000××10＝150；不低于80不足90的人數(shù)為：100××10＝300；設(shè)二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品單價(jià)為x元，則一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為2x元，則有300x+2×x×150≤6000，解得x≤10，又因?yàn)橐筚澲M(fèi)盡量都使用，所以x取10，即二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為10元．21．曲線Γ上動(dòng)點(diǎn)M到A（﹣2，0）和到B（2，0）的斜率之積為﹣．（1）求曲線Γ的軌跡方程；（2）若點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）為直線x＝4上任意一點(diǎn)，PA，PB交橢圓Γ于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最大值．解：（1