八年級數(shù)學(xué)幾何重難點(diǎn)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法：專題01 與三角形有關(guān)線段重難點(diǎn)知識(shí)（解析版）

專題01與三角形有關(guān)線段重難點(diǎn)知識(shí)知識(shí)清單三角形——不在同一條直線上三條線段首尾順次連接的圖形.三角形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)內(nèi)角（角）.三角形ABC，記作“△ABC”，字母順序可以改變.三角形分類三角形分類按角分直角三角形銳角三角形鈍角三角形按邊分等腰三角形（等邊三角形）三邊都不相等的三角形三邊關(guān)系原理：兩點(diǎn)之間，線段最短三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差（較長邊減較短邊）小于第三邊.三角形的高、中線、角平分線1.高表述：AD是△ABC的BC邊上的高；AD⊥BC于D；D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.注意：銳角三角形三條高均在內(nèi)部；直角三角形一條高在內(nèi)部，其余兩條為其直角邊；鈍角三角形一條高在內(nèi)部，其余兩條在外部.三角形面積計(jì)算時(shí)，可選不同的底和高.三角形的高為線段.2.中線表述：AD是△ABC中BC邊的中線.注意：三角形三條中線均在內(nèi)部，交于同一點(diǎn)，該點(diǎn)為三角形重心.三角形的中線是一條線段.一條中線將三角形面積一分為二.3.角平分線表述：AD是△ABC的角平分線.注意：角平分線將角一分為二；三角形角平分線是一條線段，一個(gè)角的平分線是一條射線.三角形的穩(wěn)定性幾何模型BD·AC=AE·BCAD、BE、CF是△ABC的中線，交于點(diǎn)OSAOF=SAOE=SBOF=SBOD=SCOD=SCOE=S△ABC典例解析【知識(shí)點(diǎn)1：三角形三邊關(guān)系】例1-1.（2021·四川成都期中）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【答案】C.【解析】解：A、3+4<8，不能組成三角形；

B、8+7=15，不能組成三角形；

C、13+12>20，能夠組成三角形；

D、5+5＜11，不能組成三角形．

故答案為：C．例1-2．（2021·山西臨汾期末）三角形的三邊長分別為，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A.【解析】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：8-5＜1+2x＜5+8，解得：1＜x＜6，故答案為：A．例1-3．（2021·廣東期末）已知一個(gè)三角形三邊長為a、b、c，則|a-b-c|-|a+b-c|=（）A．﹣2a+2c B．﹣2b+2c C．2a D．﹣2c【答案】A.【解析】解：∵a、b、c是一個(gè)三角形三邊長，∴b+c＞a，a+b＞c，∴|a-b-c|-|a+b-c|=-(a-b-c)-(a+b-c)=-a+b+c-a-b+c=-2a+2c，故答案為：A．例1-4．（2021·湖南期末）已知某三角形的三條邊長分別為，且不等式﹣x＋2a＞0有且只有4個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍是___________．【答案】＜a≤．【解析】解：∵三角形的三條邊長分別為，a，a+1，∴a﹣＋a＞a＋1，解得：a＞，解不等式﹣x＋2a＞0得：x<2a，∵不等式﹣x＋2a＞0有且只有4個(gè)正整數(shù)解，∴∴2＜a≤，∴a的取值范圍是＜a≤，故答案為：＜a≤．【變式1-1】（2021·河北期末）在一次數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生進(jìn)行畫圖，你覺得學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是（）A．三條線段首尾順次相接能構(gòu)成三角形B．三角形的內(nèi)角和是180°C．三角形的任意一個(gè)外角大于和它不相鄰的內(nèi)角D．三角形任意兩邊之和大于第三邊【答案】D.【解析】解：①∵a＝8，b＝5，c＝1，∴a＞b+c，∴三條線段不能組成三角形；②∵a＝8，b＝6，c＝2，∴a＝b+c，∴三條線段不能組成三角形；③∵a＝8，b＝6，c＝3，∴a＜b+c，∴三條線段能組成三角形；∴學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是三角形任意兩邊之和大于第三邊，故答案為：D．【變式1-2】（2021·陜西）在△ABC中，AB＝10，BC＝1，并且AC的長為偶數(shù)，則△ABC的周長為（）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B.【解析】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：10﹣1＜AC＜10+1，即9＜AC＜11，∵AC為偶數(shù)，∴AC＝10，∴△ABC的周長為：10+10+1＝21，故答案為：B．【變式1-3】（2021·浙江期末）邊長都是整數(shù)的不等邊三角形的最大邊為8，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C.【解析】解：設(shè)另兩邊是x，y．且x＜y＜8，x+y＞8，x，y都是整數(shù)．滿足條件的值有：2，7；3，6；3，7；4，5；4，6；4，7；5，6；5，7；6，7共有9種情況，因而滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為9個(gè)．故答案為：C．【變式1-4】（2021·山東）已知a，b，c是三角形的三邊長，化簡：|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b|＝___．【答案】.【解析】解：∵a，b，c是△ABC的三邊的長，∴b+c＞a，a+b＞c，∴a﹣b﹣c<0，b﹣c＋a>0，c﹣a﹣b<0，∴|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b||===故答案為：．【變式1-5】（2021·黑龍江中考）三個(gè)數(shù)3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則的取值范圍為______【答案】.【解析】解：∵3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，∴，解得，∵這三個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，∴，解得，綜上所述，的取值范圍為，故答案為：．【變式1-6】如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，PC，延長BP交AC于D．（1）圖中有幾個(gè)三角形；（2）求證：AB+AC＞PB+PC．【答案】（1）5個(gè)；（2）見解析．【解析】解：（1）圖中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5個(gè)．（2）證明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【知識(shí)點(diǎn)2：三角形的高】例2-1．（2021·山東濟(jì)南期中）如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，GC⊥BC于點(diǎn)C，CF⊥AB于點(diǎn)F，下列關(guān)于高的說法中正確的是（）A．△ABC中，AD是BC邊上的高B．△ABC中，GC是BC邊上的高C．△GBC中，CF是BC邊上的高D．△GBC中，GC是BG邊上的高【答案】A.例2-2．（2021·江蘇期中）如圖，用三角板作的邊上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B．C． D．【答案】B.例2-3．（2021·河北期末）若線段AM，AN分別是△ABC中BC邊上的高線和中線，則AM與AN的數(shù)量大小關(guān)系為________．【答案】AM≤AN【解析】解：∵線段AM，AN分別是△ABC中BC邊上的高線和中線，∴根據(jù)垂線段最短，AM＜AN∵當(dāng)三角形的中線和高線重合時(shí)，AM=AN綜上所述：AM≤AN，故答案為：AM≤AN．例2-4．（2021·河北期末）如圖，已知中，，．（1）畫出的高和；（2）若，求的長：（3）求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【解析】解：（1）如圖：（2）∵，∴，即CE=；（3）由（2）知，AD·BC=AB·CE故．【變式2-1】（2021·河南期末）如圖，△ABC中，AC邊上的高是（）A．線段CD B．線段AF C．線段BE D．線段CE【答案】C.【變式2-2】（2021·河北期末）如圖所示，△ABC為鈍角三角形，則邊AC上的高是（）A．AD B．AE C．BF D．CH【答案】C.【變式2-3】（2021·北京期中）如圖，點(diǎn)A在的一邊上，按要求畫圖并填空．（1）過點(diǎn)畫直線于點(diǎn)，與的另一邊相交于點(diǎn)．（2）過點(diǎn)畫的垂線段，垂足為點(diǎn)．（3）過點(diǎn)畫直線，交直線于點(diǎn)．（4）__________．（5）如果，，，則點(diǎn)A到直線的距離為__________．【答案】（1）（2）（3）見解析；（3）90；（5）．【解析】解：（1）如圖；（2）如圖；（3）如圖；（4）∵CD∥OA，∴∠CDB=∠OAB=90°；

故答案為：90；（5）∵∴故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)3：三角形的中線】例3-1．（2021·廣東）如圖，△ABC的周長是21cm，AB＝AC，中線BD分△ABC為兩個(gè)三角形，且△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，求AB，BC．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】解：∵BD是中線，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周長比△BCD的周長大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6①，∵△ABC的周長是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21②，聯(lián)立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．例3-2．（2021·江蘇期中）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)、、、、、、在小正方形的頂點(diǎn)上，則的三條邊中線的交點(diǎn)是（）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】A.【解析】解：根據(jù)圖形可知，三條邊中線的交點(diǎn)是：點(diǎn)．故答案為：A．例3-3．（2021·江蘇鎮(zhèn)江月考）如圖，的中線、相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論正確的有（）①；②；③S四邊形EFDC；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C.【解析】解：連接CF，∵AD，BE為中線，∴D，E分別為BC和AC中點(diǎn)，∴，故①正確；∵E為AC中點(diǎn)，∴，，∴，同理可證，，∴，故④正確；∵，∴，故②正確；∵，即，故③錯(cuò)誤；綜上：正確的有①②④，故答案為C．例3-4．（2021·揚(yáng)州市期中）如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H依次是各邊中點(diǎn)，O是形內(nèi)一點(diǎn)，若四邊形AEOH、四邊形BFOE、四邊形CGOF，的面積分別為6、8、10，則四邊形DHOG的面積為________．【答案】8.【解析】解：連接OC，OB，OA，OD，∵E、F、G、H依次是各邊中點(diǎn)，∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，同理，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，∴S四邊形AEOH+S四邊形CGOF=S四邊形DHOG+S四邊形BFOE，∵S四邊形AEOH=6，S四邊形BFOE=8，S四邊形CGOF=10，∴6+10=8+S四邊形DHOG，解得：S四邊形DHOG=8，故答案為：8．例3-5．（2021·江蘇期末）如圖，△ABC中，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，其中AB＝10，DE＝3，若BD＝5，則點(diǎn)A到BC的距離為___．【答案】6.【解析】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB=10，DE=3，∴S△ABD=15∵D為BC中點(diǎn)∴S△ABC=2S△ABD=30∵BC=2BD=10∴AF=6故答案為：6．【變式3-1】（2021·遼寧）如圖，的三條中線，，相交于點(diǎn)，且四邊形的面積是12，則圖中陰影部分的面積為______A．16 B．12 C．10 D．6【答案】B.【解析】解：設(shè)△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，S6，根據(jù)中線平分三角形面積可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1＋S2＋S3＝S4＋S5＋S6①，S2＋S3＋S4＝S1＋S5＋S6②，由①?②可得S1＝S4，同理：S3＝S5，∴S1=S2=S3=S4=S5=S6=12÷2=6，故陰影部分的面積=2×6=12．故答案為：B．【變式3-2】（2021·河北）如圖，在中，，，為中線，則與的周長之差為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.【解析】解：∵AD為中線，∴BD=CD，∵AB=8，AC=5，∴，，∴；故答案為：B．【變式3-3】如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多2，則的長為（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B.【解析】解：∵AE是△ABC的邊BC上的中線，∴CE=BE，∵△ACE的周長比△ABE的周長多2，∴AC-AB=2，∴AC=10．故答案為：B．【變式3-4】（2021·四川眉山）如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BE上，且BE＝3FE，若△DEF的面積為2，則△ABC的面積為_____．【答案】24.【解析】解：∵BE＝3FE，△DEF和△DBE等高，∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6，又∵E為CD中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，S△ABC＝2S△BDC＝2×2S△BDE＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案為：24．【變式3-5】（2021·蘇州市吳江區(qū)月考）如圖，分別是的中點(diǎn)，若四邊形的面積是，則四邊形的面積為_______．【答案】25.【解析】解：連接AF、AC、CH、BG、BD、DE，∵A、B、C、D分別是BE、CF、DG、AH的中點(diǎn)，∴S△AEF=S△ABF=S△ABC，S△BFG=S△BCG=S△BCD，S△CGH=S△CDH=S△ADC，S△DHE=S△DAE=S△ABD，∴S△BEF+S△CFG+S△DGH+S△AHE=2（S△ABC+S△BCD+S△ACD+S△ABD）=4S四邊形ABCD，∴四邊形EFGH的面積=5S四邊形ABCD=5×5=25cm2，故答案為：25．【變式3-6】（2021·湖南期中）如圖所示，把△ABC的三邊BA、CB和AC分別向外延長一倍，將得到的點(diǎn)A’、B’、C’順次連接成△A’B’C’，若△ABC的面積是4，則△A’B’C’的面積是____________．【答案】28.【解析】解：連接AB'、BC'、CA'，如圖所示：由題意得：AB=AA'，BC=BB'，AC=CC'，∴△AA'B'的面積=△ABB'的面積=△ABC的面積=△BCC'的面積=△AA'C的面積=△BB'C'的面積=△A'C'C的面積=4，∴△A′B′C′的面積=4×7=28；故答案為：28．【變式3-7】（2021·吉林長春市期末）已知△ABC的面積是60，請完成下列問題：（1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積△ACD的面積（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如圖2，若CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，CD和BE交于點(diǎn)O．求四邊形ADOE的面積可以用如下方法：連接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△BDO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△ADO＝x，S△AEO＝y(tǒng)，由題意得：S△ABE＝S△ABC＝，S△ADC＝S△ABC＝，可列方程組為：．解得，通過解這個(gè)方程組可得四邊形ADOE的面積為；（3）如圖3，若點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在線段AB和AC上，滿足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE交于點(diǎn)O．請你計(jì)算四邊形ADOE的面積，并說明理由．【答案】（1）＝；（2）30；30；；20；（3）25，見解析.【解析】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AD是△ABC的BC邊上的中線，∴BD＝DC．∵，∴S△ABD＝S△ACD．故答案為：＝．（2）連接AO，∵AD＝DB，由（1）得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，設(shè)S△BDO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△ADO＝x，S△AEO＝y(tǒng)，∵CD、BE分別是△ABC的AB、AC邊上的中線，∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝S△ABC＝30，∵S△ABE＝S△BDC+S四邊形ADOE，S△ADC＝S△CEO+S四邊形ADOE，∴，解得：∴四邊形ADOE的面積為：x+y＝20．故答案為：30；30；；20；（3）∵AD：DB＝1：1，∴AD＝DB．由（1）知：S△ADO＝S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴AE＝2CE．∴設(shè)S△ADO＝x，S△CEO＝y(tǒng)，則S△BDO＝x，S△AEO＝2y，∵AE＝2CE，∴∵AD＝BD，∴∵S△ABE＝S△BDO+S四邊形ADOE，S△ACD＝S△CEO+S四邊形ADOE，∴，解得：∴S四邊形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝25．【知識(shí)點(diǎn)4：三角形的面積】例4-1．（2021·遼寧本溪）如圖，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是△ABC邊BC和AC上一點(diǎn)，BD＝2CD，AE＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為12，則△BDF與△AEF的面積之差為（）A．1 B．1.5 C．1.75 D．2【答案】D.【解析】解：∵AE=CE∴S△BCE=6同理，SACD=4△BDF與△AEF的面積之差=S△BCE－SACD=6-4=2故答案為：D．例4-2．（2021·江蘇期末）如圖，D、E分別在△ABC的邊BC、AC上，，AD與BE交于點(diǎn)O，已知△ABC的面積為12，則△ABO的面積為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C.【解析】解：連接OC，∵，，∴S△ACD=S△BCE=4，又∵S△ACD－S四邊形ODCE=S△BCE-S四邊形ODCE，即S△AOE=S△BOD，又AE:CE=DB:CD=2：1，∴S△OCE=S△OCD，∴S△ODC=1，∴S△AOE=S△BOD=2∴S△ABO=S△ABC－S△ADC－S△BOD=6故答案為：C．例4-3.（2021·重慶期末）如圖，D，E分別是△ABC邊BC，AB邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)且3AF＝FD，若陰影部分的面積為9，則△ABC的面積是（）A．16 B． C．8 D．12【答案】A.【解析】解：設(shè)△ABC的面積為S，∵D是△ABC邊BC邊上的中點(diǎn)，∴△ADC和△ADB的面積為，∵E是△ABC邊AB邊上的中點(diǎn)，∴△ADE的面積為，∵3AF=FD，即AD=4AF，∴△FDC的面積為，△EDF的面積為，∵陰影部分的面積為9，∴，∴，故答案為：A．例4-4．（2021·山東濟(jì)南期中）如圖，D、E分別是△ABC邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝3BD，BE＝CE，設(shè)△ADF的面積為S1，△CEF的面積為S2，若S△ABC＝8，則S1﹣S2的值為___．【答案】2.【解析】解：∵S△ABC＝8，AD＝3BD，BE＝CE，∴，∴，，∴S1﹣S2＝S△ABE﹣S△CBD＝4﹣2＝2，故答案為：2．例4-5．（2021·四川達(dá)州期末）在中，已知點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，且，則圖中陰影部分的面積是_______________________．【答案】12.【解析】解：∵2CE=3DE，∴2CD=5DE∴S△ABE=S△ABC=36又AF=2EF，∴S△BEF=S△ABE=12故答案為：12．【變式4-1】（2021·重慶期中）如圖，在中，延長至點(diǎn)，使得，延長至點(diǎn)，使得，延長至點(diǎn)，使得，連接、、，若，則為（）A． B． C． D．【答案】A.【解析】解：連接BF和CD，設(shè)S△ABC=x∵AF=AC，∴S△ABC=S△ABF=x，S△BCF=2x，∵CE=3CB，∴BE=4BC，∴S△EBD=4S△CBD=4×2x=8x，S△BEF=4S△BCF=4×2x=8x同理可得：S△FBD=2S△ABF=2x，∴S△DEF=S△BEF+S△BED+S△FBD=8x+8x+2x=18x=36，解得，x=2∴S△ABC=2故答案為：A．【變式4-2】（2021·江蘇常州期末）如圖，在中，是中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)，連接．若的面積是4，則的面積是__________．【答案】30.【解析】解：∵D為AB中點(diǎn)，∴S△ACD=S△BCD，S△AFD=S△BFD，∴S△ACF=S△BCF，∵BE＝4EC，S△BEF=4，∴，S△ABC=5S△ACE，∴S△BCF=5=S△ACF，∴S△ACE=6，∴S△ABC=5S△ACE=30．故答案為：30．【變式4-3】（2021·陜西渭南期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在線段AC上且EC＝2AE，線段AD與線段BE交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為6，則四邊形EFDC的面積為________．【答案】.【解析】解：連接CF，∵CE=2AE，△ABC的面積為6，∴S△ABE=×6=2，S△BCE=×6=4，S△AEF：S△CEF=1：2，∵AD是BC邊上的中線，∴，，設(shè)S△AEF=S，則S△CEF=2S，∴S△ABF=2﹣S，則S△BCF=4﹣2S，設(shè)S△ABF=x=2-S，則S△BDF=S△CDF=3-x，∵AD是BC邊上的中線，∴S△ABF＋S△BDF＝S△CDF＋S△AEF＋S△CEF，即3=3-x+3S，即x=3S，∴，∴，∴S四邊形EFDC=．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)5：三角形的角平分線】例5-1．（2021·福建期末）如圖，CD⊥AB于D點(diǎn)，BE⊥AC于E點(diǎn)，CD與BE相交于O點(diǎn)，連接AO并延長交BC于點(diǎn)F．則∠AFC的度數(shù)為_______．【答案】90°.例5-2．（2021·江蘇）如圖，在中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為___________．【答案】14°.【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．故答案為14°．【變式5-1】（2021·四川）如圖所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的高，則∠DAE＝___．【答案】25°.【解析】解：在△ABC中，∵∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD=35°．又∵AE是BC邊上的高，∴∠AEB=90°，∵在△ABE中∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=25°，故答案為：25°．【知識(shí)點(diǎn)6：三角形的穩(wěn)定性】例6-1．（2021·黑龍江哈爾濱期末）工程師設(shè)計(jì)屋頂時(shí)通常把鋼架屋頂設(shè)計(jì)成三角形，這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是___________．【答案】三角形具有穩(wěn)定性.【變式6-1】（2021·浙江）下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有_______個(gè)．①自行車的三角形車架；②校門口的自動(dòng)伸縮柵欄門；③照相機(jī)的三腳架；④長方形門框的斜拉條【答案】3.【解析】解：①自行車的三角形車架，利用了三角形的穩(wěn)定性；②校門口的自動(dòng)伸縮柵欄門，利用了四邊形的不穩(wěn)定性；③照相機(jī)的三腳架，利用了三角形的穩(wěn)定性；④長方形門框的斜拉條，利用了三角形的穩(wěn)定性．故利用了三角形穩(wěn)定性的有3個(gè)．故答案為：3．【知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)學(xué)思想】例7-1.根據(jù)下圖所示的形⑴、⑵、⑶三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中的三角形的個(gè)數(shù)是()

A．6(n-1)； B．6n； C．6(n+1)； D．12n；【答案】C.【解析】圖（1）中，三角形的個(gè)數(shù)是6×2,圖（2）中，三角形的個(gè)數(shù)是6×3,圖（3）中，三角形的個(gè)數(shù)是6×4,第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是6（n+1），故答案為：C．【變式7-1】（2021·重慶南開中學(xué)月考）如圖，圖①中有3個(gè)以為高的三角形，圖②中有10個(gè)以為高的三角形．圖③中有為高的三角形，…，以此類推．則圖⑥中以為高的三角形的個(gè)數(shù)為（）A．55 B．78 C．96 D．105【答案】B.【解析】解：第①個(gè)圖形中有1+2=3個(gè)三角形；第②個(gè)圖形中有1+2+3+4=10個(gè)三角形；第③個(gè)圖形中有1+2+3+4+5+6=21個(gè)三角形；…第n個(gè)圖形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)個(gè)三角形∴第⑥個(gè)圖形三角形個(gè)數(shù)為1+2+3+…+12=6×13=78個(gè)，故答案為：B．例7-2．（2021·四川月考）已知等腰三角形兩邊的長為a，b，且滿足|a﹣4|+（b﹣5）2＝0．則這個(gè)等腰三角形的周長為___．【答案】13或14．【解析】解：∵|a﹣4|+（b﹣5）2＝0．∴a﹣4＝0，b﹣5＝0，解得a＝4，b＝5，①4是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、5，∵4+4＝8＞5，∴能組成三