應(yīng)力狀態(tài)理論

應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論一、應(yīng)力狀態(tài)的概念二、平面應(yīng)力狀態(tài)三、空間應(yīng)力狀態(tài)四、廣義虎克定律五、強(qiáng)度理論全應(yīng)力：——

A上的內(nèi)力分解為兩個(gè)分量：

：

正應(yīng)力——截面法向分量。

：切應(yīng)力——截面切向分量。

P過一點(diǎn)可以截取無限個(gè)平面，因此，一點(diǎn)的應(yīng)力是方位的描述量。問題：是否可以根據(jù)有限方位上的應(yīng)力，表示“一點(diǎn)的應(yīng)力”？此問題稱為“一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析”。又稱“應(yīng)力張量分析”

P單元體的應(yīng)力狀態(tài)單元體：——變形固體內(nèi)按一定方位截割的邊長趨于無窮小的正六面體。n一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：圍繞變形固體內(nèi)一點(diǎn)所取的單元體的6個(gè)面上應(yīng)力的大小，可以反映該點(diǎn)任意方向上應(yīng)力的狀態(tài)。單元體稱為應(yīng)力狀態(tài)單元體。描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)所需要的單元體6個(gè)面上的應(yīng)力分量是yxz

x——x方向正應(yīng)力

y——y方向正應(yīng)力

z——z方向正應(yīng)力

x

'x

y

'y

'z

z

'x——x反向正應(yīng)力

'y——y反向正應(yīng)力

'z——z反向正應(yīng)力xyz

xy—x平面指向y方向的切應(yīng)力；τ′xy—x平面指向y反向的切應(yīng)力

xy

yx—y平面指向x方向的切應(yīng)力；τ′yx—y平面指向x反向的切應(yīng)力

yx

yz

zy

xz

zx

yz—y平面指向z方向的切應(yīng)力;

xz—x平面指向z方向的切應(yīng)力

zy—z平面指向y方向的切應(yīng)力;

zx—z平面指向x方向的切應(yīng)力一共18個(gè)應(yīng)力分量，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力張量應(yīng)用內(nèi)力平衡關(guān)系，可以證明材料力學(xué)中以引起的變形的方向確定應(yīng)力的符號(hào)應(yīng)力張量寫成矩陣形式,有9個(gè)元素另外，可以證明——切應(yīng)力互等定理

xy

yx

yz

zy

xz

zxxyz獨(dú)立的應(yīng)力張量分量為6個(gè)寫成矩陣為一點(diǎn)任意方向的應(yīng)力可以由這6個(gè)應(yīng)力分量確定。另一種敘述為：已知一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)單元體上6個(gè)應(yīng)力分量，求該點(diǎn)任意方向的應(yīng)力?！獞?yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析xyz

xy

yx

x

'x

y

'y

'z

z如圖，當(dāng)Z平面上切應(yīng)力為零，即

xy

yx

yz

zy

xz

zxxyz

x

'x

y

'y

'z

z單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖n單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖這時(shí)，獨(dú)立的應(yīng)力分量為，，和與XY平面垂直的平面上的應(yīng)力沒有Z方向的分量，并且由

x，y及xy決定?！矫鎽?yīng)力狀態(tài)已知

x，y及xy，求任意斜截面n上的應(yīng)力——平面應(yīng)力狀態(tài)分析。xyz

xy

yx

y

'y

z

x

'x平面應(yīng)力狀態(tài)單元體的表示：n截面上的應(yīng)力分解為xyz

xy

yx

y

'y

z

x

'xn

正應(yīng)力

切應(yīng)力

是截面法向與x軸的夾角，規(guī)定：逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)。

，

的符號(hào)規(guī)定同前。平面應(yīng)力狀態(tài)單元體表示

x

x

y

y

xy

yx

yx

xyxn

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

x

x

y

y

xy

yx

yx

xyxn

已知平面應(yīng)力狀態(tài)單元體

x，

y

，

xy（

yx=-

xy）求

和

xy

yx

x

y

n

xdA

dAxdAy應(yīng)力符號(hào)定義角度

符號(hào)：逆時(shí)針：+

；順時(shí)針：-單元體內(nèi)力平衡關(guān)系主應(yīng)力，主平面——主平面最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力主平面與最大切應(yīng)力作用平面的關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法消去2

得：若以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，得原點(diǎn)半徑圓方程主平面主應(yīng)力最大切應(yīng)力（最小切應(yīng)力）單元體應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系已知一點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖，求：A點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面。（應(yīng)力單位為MPa）2552622A2552622A解：將A點(diǎn)的兩個(gè)截面看成平面應(yīng)力狀態(tài)單元體的兩個(gè)截面則：代入2552622A22

兩式消去2

得：解得于是該單元體應(yīng)力狀態(tài)為222222225534.634.6222222225534.634.6主應(yīng)力：主平面：

46.346.36.76.728.3°應(yīng)力圓（單位：MPa）特殊應(yīng)力狀態(tài)單元體

Ax(

，0)Ay(0，0)“單向拉伸”應(yīng)力狀態(tài)單元體與應(yīng)力圓

Ay(0,

)Ax(0,-

)“純剪切”應(yīng)力狀態(tài)單元體與應(yīng)力圓

0

Ax(

，-)Ay(0，)

“三向拉伸應(yīng)力”狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)分析xyz

xy

yx

x

'x

y

'y

'z

z考慮特殊情況：

z

是主應(yīng)力

2

3

1主單元體，三個(gè)主應(yīng)力規(guī)定：應(yīng)變狀態(tài)分析和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變——單元體變形大小的度量。應(yīng)變的形式有兩種線應(yīng)變——單元體尺寸改變的度量。用

表示，定義為xyzdxdydzx方向的線應(yīng)變

x單元體x

方向變形量線應(yīng)變的符號(hào)：伸長為正；縮短為負(fù)線應(yīng)變的單位：表示在單位長度上發(fā)生10-6的變形量。同理，定義其中δv

，δw表示單元體在y，z方向的變形量。一般地，任意方向的線應(yīng)變表示為——原長；

l——（原長的）變形量。切應(yīng)變（剪應(yīng)變）——單元體形狀改變的度量。用

表示，定義為xyzdxdydz

xy——單元體xy平面內(nèi)直角的改變量。同樣，可以定義切應(yīng)變具有角度的單位——弧度。切應(yīng)變符號(hào):直角增加為正;直角減小為負(fù);切應(yīng)力與切應(yīng)變的符號(hào)關(guān)系平面應(yīng)變狀態(tài)分析

x

x

y

y

xy

yx

yx

xyxn

與平面應(yīng)力狀態(tài)分析類似，應(yīng)用幾何的方法可以建立單元體正應(yīng)變

x、

y，切應(yīng)變

xy、

yx

與任意方向上正應(yīng)變

，切應(yīng)變

的變換關(guān)系。首先，可以證明dxdyoabcmnoabcmn主應(yīng)變，主平面主應(yīng)變：主平面：主平面上切應(yīng)變?yōu)榱?。?duì)于各向同性材料，可以證明，任意點(diǎn)的應(yīng)變主方向與應(yīng)力主方向是一致的。平面應(yīng)變測(cè)量在工程中，可以應(yīng)用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，從而確定主平面和主應(yīng)變。方法是在測(cè)點(diǎn)選定三個(gè)方向

1，

2，

3

測(cè)出對(duì)應(yīng)的正應(yīng)變

1，

2，

3，于是有解出

x

，y，xy代入主應(yīng)變關(guān)系式和主平面關(guān)系即可。45o90o應(yīng)用0o-45o-90o“直角應(yīng)變花”測(cè)量的應(yīng)變

0

，

45

，

90

計(jì)算測(cè)點(diǎn)的主應(yīng)變與主方向。解：取

0

為x方向；

90為y方向，有代入45o90oxy解出有于是主應(yīng)變：主方向：應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)分析——利用平衡條件；應(yīng)變狀態(tài)分析——利用幾何條件?！c材料的特性無關(guān)。相同受力條件下不同材料的變形不同。材料的受力與變形之間的關(guān)系——把這種關(guān)系稱為物理關(guān)系——取決于材料自身性質(zhì)，由試驗(yàn)確定，稱為材料的力學(xué)性質(zhì)?；疚锢黻P(guān)系：材料應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系——胡克定律。適用于線性彈性材料

材料單向拉伸變形，當(dāng)應(yīng)力不超過一定量值時(shí)，線應(yīng)變與正應(yīng)力成正比，表示為E——材料的彈性模量材料純剪切變形，當(dāng)應(yīng)力不超過一定量值時(shí)，切應(yīng)變與切應(yīng)力成正比，表示為G——材料的切變模量胡克定律橫向變形與泊松比試驗(yàn)證實(shí)，幾乎所有的材料在產(chǎn)生縱向線應(yīng)變

時(shí)，會(huì)產(chǎn)生與

垂直方向上的線應(yīng)變

′，且方向與

相反，大小成比例。稱為橫向變形效應(yīng)。

——無量綱比例常數(shù)，材料性質(zhì)。稱為泊松比對(duì)任何材料泊松比值

0<

<0.5對(duì)于普通碳鋼，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系——廣義胡克定律

xy

yx

yz

zy

xz

zxxyz

x

y

z一個(gè)方向（如x方向）的線應(yīng)變由三個(gè)線應(yīng)變構(gòu)成：廣義胡克定律1）各向同性材料2）小變形——正應(yīng)力不引起切應(yīng)變；切應(yīng)力不引起線應(yīng)變3）對(duì)于任意方向(包括主單元體)成立此定律適用于:——主應(yīng)力與主應(yīng)變平面應(yīng)力狀態(tài)各向同性材料彈性模量E、泊松比

、切變模量G之間的關(guān)系體積應(yīng)變

平均應(yīng)力

1

2

3例：從鋼構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)的周圍取出一單元體如圖所示。根據(jù)理論計(jì)算已經(jīng)求得

=30MPa，

=15MPa。材料E=200GPa。

=0.30。試求對(duì)角線AC的長度改變

l。解:將單元體看成一平面應(yīng)力狀態(tài)于是：由廣義胡克定律45°

0

45已知某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，現(xiàn)測(cè)得該點(diǎn)x方向線應(yīng)變

0=25010-6

；與x成45方向的線應(yīng)變

45=14010-6

。材料彈性模量E=210GPa；泊松比=0.28。求：該點(diǎn)的主應(yīng)力大小及主方向。45°

0

45解：由廣義胡克定律由應(yīng)變狀態(tài)分析于是主應(yīng)力：主平面：45°

0

458.67°53.75MPa-1.25MPa另法：45°

0

45由廣義虎克定律：由廣義虎克定律：解出45°

0

45一鋼塊開一個(gè)直徑d=50.001mm

的凹槽，放入一直徑d1=50mm的鋁合金柱，彈性模量E=70GP