2023學(xué)年完整公開(kāi)課版511任意角

511任意角第五章51任意角和弧度制知識(shí)點(diǎn)一任意角1角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條繞著它的端點(diǎn)所成的2角的表示：如圖，OA是角α的，OB是角α的，O是角α的角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”射線旋轉(zhuǎn)圖形始邊終邊頂點(diǎn)思考角的概念中主要包含哪些要素？答案角的概念包含的三要素為：頂點(diǎn)、始邊、終邊3角的分類：名稱定義圖示正角按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角

負(fù)角按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線

作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

逆時(shí)針順時(shí)針沒(méi)有知識(shí)點(diǎn)二角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，為角α的相反角1α＋β：把角α的旋轉(zhuǎn)角β2α－β：α－β＝－α終邊α＋－β知識(shí)點(diǎn)三象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾；如果角的終邊在，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限原點(diǎn)終邊象限角坐標(biāo)軸上思考“銳角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？答案銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以大于360°，還可能是負(fù)角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角知識(shí)點(diǎn)四終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝__________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和{β|β＝α＋·360°，∈}思考終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？答案終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角終邊相同思考辨析判斷正誤SIAOBIANIPANDUANHENGWU1第二象限角是鈍角2終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同3終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍×√√例1下列結(jié)論：①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；③小于90°的角為銳角；④鈍角比第三象限角??；⑤小于180°的角是鈍角、直角或銳角其中正確的結(jié)論為_(kāi)_____填序號(hào)一、任意角的概念②解析①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；③小于90°的角可以是零角，也可以是負(fù)角，故③不正確；④鈍角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正確；⑤0°角或負(fù)角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故⑤不正確反思感悟理解與角的概念有關(guān)的問(wèn)題關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可解析由于時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為負(fù)數(shù)，跟蹤訓(xùn)練1若手表時(shí)針走過(guò)4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為A120° B－120° C－60° D60°√二、終邊相同的角及象限角例2將下列各角表示為·360°＋α∈,0°≤α<360°的形式，并指出是第幾象限角1420°；2－510°；31020°解420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角2－510°；解－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角31020°解1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角反思感悟首先把各角寫(xiě)成·360°＋α∈,0°≤α<360°的形式，然后只需判斷α所在的象限即可跟蹤訓(xùn)練21在四個(gè)角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的個(gè)數(shù)為A0 B1 C2 D3√2與－460°角終邊相同的角可以表示成A460°＋·360°，∈ B100°＋·360°，∈C260°＋·360°，∈ D－260°＋·360°，∈√解析因?yàn)椋?60°＝260°＋－2×360°，故－460°可以表示成260°＋·360°，∈，故選C解終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋·180°，∈}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋·180°，∈}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋·180°≤α<105°＋·180°，∈}三、區(qū)域角的表示例3已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍反思感悟表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－180°～180°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{|α<<β}；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，寫(xiě)出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角的集合解如題圖1所示，以O(shè)B為終邊的角有330°角，可看成是－30°，∴以O(shè)A，OB為終邊的角的集合分別是：S1＝{|＝75°＋·360°，∈}，S2＝{|＝－30°＋·360°，∈}∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|·360°－30°≤θ≤·360°＋75°，∈}如題圖2所示，以O(shè)B為終邊的角有225°角，可看成是－135°，∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|－135°＋·360°≤θ≤135°＋·360°，∈}核心素養(yǎng)之邏輯推理HEINSUYANGHILUOJITUILI確定nα及

所在的象限典例已知α是第二象限角，求角

所在的象限.延伸探究1在本例條件下，求角2α的終邊的位置2.若本例條件中角α變?yōu)榈谌笙藿牵蠼?/p>

是第幾象限角.解方法一∵α是第二象限角，∴·360°＋90°<α<·360°＋180°∈當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)，得方法二如圖，先將各象限分成2等份，再?gòu)妮S正半軸的上方起，按逆時(shí)針?lè)较颍来螌⒏鲄^(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，延伸探究1在本例條件下，求角2α的終邊的位置解∵α是第二象限角，∴·360°＋90°<α<·360°＋180°∈∴·720°＋180°<2α<·720°＋360°∈∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上2.若本例條件中角α變?yōu)榈谌笙藿?，求?/p>

是第幾象限角.解如圖所示，先將各象限分成2等份，再?gòu)妮S正半軸的上方起，按逆時(shí)針?lè)较?，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，素養(yǎng)提升分類討論時(shí)要對(duì)的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：被n整除；被n除余1；被n除余2，…，被n除余n－1然后方可下結(jié)論幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)單直觀通過(guò)該類問(wèn)題，提升邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)課堂小結(jié)ETANGIAOJIE1知識(shí)清單：1任意角的概念2終邊相同的角與象限角3區(qū)域角的表示2方法歸納：數(shù)形結(jié)合，分類討論3常見(jiàn)誤區(qū)：銳角與小于90°角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉∈3隨堂演練PARTTHREE123451與－30°終邊相同的角是A－330° B150° C30° D330°√解析因?yàn)樗信c－30°終邊相同的角都可以表示為α＝·360°＋－30°，∈，?。?，得α＝330°123452－240°是A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角√解析因?yàn)椋?40°角的終邊落在第二象限，故為第二象限角134523下列說(shuō)法正確的是A銳角是第一象限角 B第二象限角是鈍角C第一象限角是銳角 D第四象限角是負(fù)角√解析由于銳角范圍是0°<α<90°，顯然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是鈍角；380°是第一象限角，但不是銳角；330°是第四象限角，但不是負(fù)角134524終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合是A{α|α＝·360°，∈} B{α|α＝·180°＋90°，∈}C{α|α＝·180°，∈} D{α|α＝·90°，∈}√解析終邊在坐標(biāo)軸上的角大小為90°或90°的